Уравнение касательной к графику функции - урок в 11 классе по математике
Вид урока: Комбинированный урок.
Тема предыдущего урока: Производная сложной функции.
Домашнее задание: § 9 – повторить, номера: 153, 154 (а).
Цели
Предметные:
Актуализировать понятие касательной к графику функции.
Открыть алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
Формировать умение применять алгоритм к решению задач.
Метапредметные:
Регулятивные: Развивать познавательную активность обучающихся, умения применять полученные знания на практике, абстрактное мышление, способности выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия;
Познавательные: Формировать умения видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни.
Коммуникативные: Формировать и совершенствовать умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; работать индивидуально, аргументировать своё мнение, развивать навыки грамотной аргументированной речи.
Личностные: Воспитывать познавательную самостоятельность и интерес, целеустремленность, умение преодолевать трудности, содействовать формированию умения рационализировать свою деятельность на основе проделанной работы.
Структура урока:
Организационный момент
Организационный момент – 1 минута;
Актуализация знаний
Беседа с целью актуализации определения касательной к графику функции, геометрического смысла касательной к графику функции – 3 минуты;
Решение задачи у доски с целью актуализации алгоритма нахождения уравнения касательной к графику функции через предел – 3 минуты;
Решение задачи с целью создания проблемной ситуации – 3 минуты;
Беседа с целью анализа проблемной ситуации, формулировки цели урока – 1 минуты;
Формирование новых знаний, нового способа действия
Эвристическая беседа с целью открытия алгоритма нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 7 минут;
Фронтальное решение задачи, формулировка выводов- 3 минуты;
Решение задачи у доски с целью формирования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 4 минуты;
Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;
Применение новых знаний, нового способа действия.
Решение задачи в парах на местах с целью формирования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 5 минут;
Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;
Самостоятельное решение задачи на местах с целью совершенствования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 5 минут;
Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;
Контроль и оценка
Решение обратной задачи с целью закрепления геометрического смысла производной – 5 минут.
Беседа с целью анализа проведенного урока, формулировка выводов по уроку – 2 минуты;
Постановка Д/з – 1 минута.
Организационный момент
Учитель: На прошлых уроках мы с вами практиковались в применении основных производных функций к решению задач, и сегодня мы продолжим с вами работать в этом направлении.
Актуализация знаний
Учитель: Для начала, давайте с вами вспомним, в чем заключается геометрический смысл производной?
Ученики: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.
Учитель: Верно, на прошлых уроках мы с вами тренировались находить угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х0=а. С этим заданием вы все прекрасно справились, а сейчас, внимание на карточку у вас на столе, на ней изображено два графика:
Дана парабола 
и две прямые 
, имеющие с данной параболой одну общую точку М (1;1). Скажите мне, на каком из рисунков будет изображена касательная к графику функции и почему? 
Ученики: (Отвечают, что касательная изображена на втором рисунке).
Учитель: Напомните мне, что такое касательная к кривой в некоторой точке?
Ученики: Это предельное положение секущей, когда точка пересечения стремится к точке касания.
Учитель: А давайте с вами подумаем, а зачем в обще нужна касательная к графику функции?
Ученики: (Предлагают свои варианты)
Учитель: Представьте какой-нибудь график описывающий реально существующий процесс, например, скачок индексов на бирже.
График этой функции – некоторая кривая. Анализировать этот график с математической точки зрения абсолютно не удобно.
Теперь проведем касательную к графику в точках перегиба и экстремальных точках, какую особенность вы можете заметить?
Ученики: График становится более пологим.
Учитель: Все верно, подобный принцип упрощения исследования графика, представляющего из себя некоторую кривую и сведение его к более простому графику, носит название Линеаризации.
Таким образом, какой прикладной смысл касательной к графику функции?
Ученики: Упрощение графика функции.
Учитель: Хорошо, давайте с вами решим следующую задачу: Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 в точке с абсциссой х0 = 1.
С чего мы начнем решение данной задачи?
Ученики: Построим касательную в точке (1,1) y=kx+b.
Учитель: Исходя из геометрических представлений чему равняется угловой коэффициент к в точке с координатами (1,1)?
Ученики: 
Учитель: Скажите мне, чему равна производная функции?
Ученики: f`(x)=3x2.
Учитель: Чему равно значение производной в точке (1,1)
Ученики: f`(1)=3.
Учитель: Тогда чему будет равняться в?
Ученики: в=-2.
Учитель: Что же тогда будет представлять из себя уравнение касательной?
Ученики: y=3x-2.
Учитель: Хорошая работа, но только что мы с вами нашли уравнения касательной с помощью конкретного случая, а как действовать в случае, если не дается конкретной точки. Можем ли мы однозначно задать такое уравнение, которое будет удовлетворять всем точкам графика?
Ученики: Нет, не можем.
Учитель: Как бы сформулировали бы тему сегодняшнего урока, с учетом этого факта?
Ученики: Открыть алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.
Учитель: Очень хорошо, подписываем в тетрадях число, классная работа, тема урока: «Уравнение касательной к графику функции».
Ученики: (Записывают в тетрадях число, классная работа, тема урока).
Изучение новых знаний, нового способа действия.
Учитель: Для того, чтобы открыть этот алгоритм, выясним общий вид уравнения касательной в точке 
.
Пусть прямая задана уравнением 
Что нам известно про к?
Ученики: 
Учитель: Для вычисления b, воспользуемся тем фактом, что прямая проходит через некоторую точку с координатами (а, f(a)). Тогда, как мы можем найти b?
Ученики: 
Учитель: Подставим найденные значения К и b в уравнения прямой, что получится?
Ученики:
Учитель: Или в общем виде
Полученное уравнение – общий вид уравнения касательной к графику функции.
Теперь, когда мы знаем, что из себя представляет уравнение касательной в общем виде, что мы можем сделать?
Ученики: Сформулировать алгоритм, с помощью которого можно составить уравнение касательной.
Учитель: Верно, какой самый простой шаг можно осуществить?
Ученики: Вычислить f (х0).
Учитель: Какой шаг можно осуществить следующим?
Ученики: Найти производную функции 
.
Учитель: Что сделаем дальше?
Ученики: Вычислим f (х0).
Учитель: И каков будет последний шаг?
Ученики: Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х х0).
Учитель: Молодцы, таким образом, мы с вами только что открыли универсальный алгоритм для нахождения уравнения касательной к графику функции, записывать его не нужно, я заранее подготовил для вас карточки с алгоритмом:
Алгоритм:
Вычислить f (х0).
Найти f (х).
Вычислить f (х0).
Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х х0).
Ученики: (вклеивают карточки в тетрадь).
Учитель: Теперь, когда мы получили алгоритм, применим его к решению задачи
Составьте уравнение касательной к графику функции 
, 
Каков первый шаг?
Ученики: Находим f (х0).
Учитель: Какой следующий шаг?
Ученики: Найти производную функции
Учитель: Дальше что нам нужно сделать?
Ученики: Вычислить f (х0)
Учитель: И каков последний шаг?
Ученики: Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу
Учитель: И какой в итоге вид примет уравнение касательной после того как мы раскроем скобки и приведем подобные?
Ученики: 
Учитель: Таким образом, мы смогли с вами решить проблемную задачу. Проанализируем проведенное решение, что нам достаточно было знать, чтобы решить её?
Ученики: Открытый нами алгоритм?
Учитель: А каких знаний нам достаточно, чтобы суметь воспользоваться алгоритмом?
Ученики: Нам достаточно уметь находить производную функции.
Учитель: Все правильно, теперь когда мы с вами открыли алгоритм для нахождения уравнения касательной к графику функции, мы можем перейти к чему?
Ученики: К решению задач.
Применение новых знаний, нового способа действия.
Учитель: Все верно, первую задачу мы решим все вместе, чтобы вы еще раз потренировались в умении использовать алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции.
Дана функция f (x) = х 3х2, и известна абсцисса точки касания х0=2. Напишите уравнение касательной к графику функции. И так, первый шаг?
Ученики: Находим f (2) = 2 3·22 = 10.
Учитель: Второй шаг?
Ученики: Вычислим производную f (х) = 1 6х.
Учитель: Третий шаг?
Ученики: Найдем f (2) = 1 6·2 = 11.
Учитель: И в итоге?
Ученики: Подставим получившиеся значения в формулу
у = 10 + (11)(х 2).
у = 11х + 12.
Учитель: Проанализируем решение данной задачи, отличается ли она принципиально от проблемной задачи?
Ученики: Нет, не отличается.
Учитель: Как видите, для решения данной задачи, нам точно также достаточно было знать алгоритм и уметь находить производную функции.
Теперь немного усложним и возьмем тригонометрическую функцию
Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = sin x в точке с абсциссой х0 = . Постройте графики этих функций.
Эту задачу я хочу, чтобы вы решили в парах. Соответственно, при решении, можете совещаться, при этом, во время решения, постарайтесь про себя проговаривать алгоритм, так вам гораздо проще будет его запомнить. На решение я даю вам 5 минут. Трудимся. Если у кого-то возникают проблемы или вопросы, можете позвать меня, я вам помогу.
Ученики: (В парах на местах решают задачу)
Учитель: (Ходит по классу, контролирует решение учащихся).
Теперь я попрошу одного из вас из вас выйти к доске и построить графики получившихся функций. В то время как один строит, мы с вами обсудим, как вы решали данную задачу.
Ученики: (один строит графики на доске, учитель выборочно спрашивает фронтально у 5 учеников по 1 этапу решения задачи, попутно сверяя их с решениями других учащихся).
Учитель: Давайте проанализируем, в чем отличие данной задачи от предыдущей?
Ученики: Нам нужно было не только написать уравнение касательной, но и построить графики.
Учитель: Все верно, в остальном, эта задача абсолютно аналогична предыдущим.
Теперь разберем еще одну задачу, её условие еще немного усложнилось
Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2 0,5x х2 в точке пересечения его с осью ординат. Постройте график.
Эту задачу я хочу, чтобы вы решили самостоятельно. Даю вам 5 минут. Трудимся. Будут возникать вопросы, можете попросить, я подойду.
Ученики: (Самостоятельно на местах решают задачу).
Учитель: Теперь я вновь попрошу одного из вас выйти к доске и построить получившийся график.
Скажите мне, что в первую очередь нужно сделать, чтобы решить данную задачу?
Ученики: Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.
Учитель: И какая же это точка?
Ученики: Точка с координатами (0,2).
Учитель: Были ли у вас трудности с нахождением уравнения касательной к графику данной функции?
Ученики: (Высказывают свое мнение относительно решения задачи).
Учитель: И вновь я попрошу, правда уже 6 из вас, рассказать мне по одному шагу осуществляемого решения.
Ученики: (6 учеников фронтально рассказывают по одному этапу решения задачи).
Контроль и оценка.
Учитель: А теперь я хочу предложить вам решить обратную задачу, а именно Выясните, является ли прямая у = x+1 касательной к графику функции у = ех.
В чем принципиальное отличие данной задачи от предыдущих?
Ученики: В этой задачи нам уже написано уравнение касательной к графику функции и нужно узнать, будет ли оно верным для данной функции.
Учитель: Верно, нам дано уравнение касательной, значит что нам известно?
Ученики: Нам известен угловой коэффициент k=1.
Учитель: И что нам это дает?
Ученики: Значит, что значение производной функции в точке касания равняется 1.
Учитель: Чему равна производная функции ex?
Ученики: ex
Учитель: Значит?
Ученики: ex=1. А это значит, что абсцисса точки касания = 0.
Учитель: Чему в этом случае равно значение ординаты?
Ученики: у=1.
Учитель: Очень хорошо, давайте построим эти графики и посмотрим, будет ли являться у=х+1 касательной.
Ученики: Да, является.
Учитель: Давайте подведем итог нашего урока, что нового мы с вами сегодня открыли?
Ученики: Общий вид уравнения касательной к графику функции
И Алгоритм нахождения этого уравнения.
Учитель: Сформулируйте мне его еще раз, пожалуйста?
Ученики:
Вычислить f (х0).
Найти f (х).
Вычислить f (х0).
Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х х0).
Учитель: Что мы с вами сегодня научились делать?
Ученики: Решать задачи на применение данного алгоритма.
Учитель: Открываем дневники, записываем домашнее задание, дома разбираем параграф 5 во второй главе, решаем №75 (а,в), 76 (1). На этом у меня все, спасибо вам за урок.
