Уравнение касательной к графику функции - урок в 11 классе по математике

Тема урока: «Уравнение касательной к графику функции» Тип урока: Урок изучения нового.

Вид урока: Комбинированный урок.

Тема предыдущего урока: Производная сложной функции.

Домашнее задание: § 9 – повторить, номера: 153, 154 (а).

Цели

Предметные:

Актуализировать понятие касательной к графику функции.

Открыть алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Формировать умение применять алгоритм к решению задач.

Метапредметные:

Регулятивные: Развивать познавательную активность обучающихся, умения применять полученные знания на практике, абстрактное мышление, способности выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия;

Познавательные: Формировать умения видеть математическую задачу в контексте про­блемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни.

Коммуникативные: Формировать и совершенствовать умения оформлять свои мысли в устной форме; слушать и понимать речь других; работать индивидуально, аргументировать своё мнение, развивать навыки грамотной аргументированной речи.

Личностные: Воспитывать познавательную самостоятельность и интерес, целеустремленность, умение преодолевать трудности, содействовать формированию умения рационализировать свою деятельность на основе проделанной работы.

Структура урока:

Организационный момент

Организационный момент – 1 минута;

Актуализация знаний

Беседа с целью актуализации определения касательной к графику функции, геометрического смысла касательной к графику функции – 3 минуты;

Решение задачи у доски с целью актуализации алгоритма нахождения уравнения касательной к графику функции через предел – 3 минуты;

Решение задачи с целью создания проблемной ситуации – 3 минуты;

Беседа с целью анализа проблемной ситуации, формулировки цели урока – 1 минуты;

Формирование новых знаний, нового способа действия

Эвристическая беседа с целью открытия алгоритма нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 7 минут;

Фронтальное решение задачи, формулировка выводов- 3 минуты;

Решение задачи у доски с целью формирования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 4 минуты;

Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;

Применение новых знаний, нового способа действия.

Решение задачи в парах на местах с целью формирования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 5 минут;

Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;

Самостоятельное решение задачи на местах с целью совершенствования умения применять алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции с помощью производной – 5 минут;

Беседа с целью анализа проведенного решения – 1 минута;

Контроль и оценка

Решение обратной задачи с целью закрепления геометрического смысла производной – 5 минут.

Беседа с целью анализа проведенного урока, формулировка выводов по уроку – 2 минуты;

Постановка Д/з – 1 минута.

Организационный момент

Учитель: На прошлых уроках мы с вами практиковались в применении основных производных функций к решению задач, и сегодня мы продолжим с вами работать в этом направлении.

Актуализация знаний

Учитель: Для начала, давайте с вами вспомним, в чем заключается геометрический смысл производной?

Ученики: Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Учитель: Верно, на прошлых уроках мы с вами тренировались находить угловой коэффициент касательной к графику функции в точке х0=а. С этим заданием вы все прекрасно справились, а сейчас, внимание на карточку у вас на столе, на ней изображено два графика:

Дана парабола   и две прямые  , имеющие с данной параболой одну общую точку М (1;1). Скажите мне, на каком из рисунков будет изображена касательная к графику функции и почему?

Ученики: (Отвечают, что касательная изображена на втором рисунке).

Учитель: Напомните мне, что такое касательная к кривой в некоторой точке?

Ученики: Это предельное положение секущей, когда точка пересечения стремится к точке касания.

Учитель: А давайте с вами подумаем, а зачем в обще нужна касательная к графику функции?

Ученики: (Предлагают свои варианты)

Учитель: Представьте какой-нибудь график описывающий реально существующий процесс, например, скачок индексов на бирже.

График этой функции – некоторая кривая. Анализировать этот график с математической точки зрения абсолютно не удобно.

Теперь проведем касательную к графику в точках перегиба и экстремальных точках, какую особенность вы можете заметить?

Ученики: График становится более пологим.

Учитель: Все верно, подобный принцип упрощения исследования графика, представляющего из себя некоторую кривую и сведение его к более простому графику, носит название Линеаризации.

Таким образом, какой прикладной смысл касательной к графику функции?

Ученики: Упрощение графика функции.

Учитель: Хорошо, давайте с вами решим следующую задачу: Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 в точке с абсциссой х0 = 1.

С чего мы начнем решение данной задачи?

Ученики: Построим касательную в точке (1,1) y=kx+b.

Учитель: Исходя из геометрических представлений чему равняется угловой коэффициент к в точке с координатами (1,1)?

Ученики:

Учитель: Скажите мне, чему равна производная функции?

Ученики: f`(x)=3x2.

Учитель: Чему равно значение производной в точке (1,1)

Ученики: f`(1)=3.

Учитель: Тогда чему будет равняться в?

Ученики: в=-2.

Учитель: Что же тогда будет представлять из себя уравнение касательной?

Ученики: y=3x-2.

Учитель: Хорошая работа, но только что мы с вами нашли уравнения касательной с помощью конкретного случая, а как действовать в случае, если не дается конкретной точки. Можем ли мы однозначно задать такое уравнение, которое будет удовлетворять всем точкам графика?

Ученики: Нет, не можем.

Учитель: Как бы сформулировали бы тему сегодняшнего урока, с учетом этого факта?

Ученики: Открыть алгоритм составления уравнения касательной к графику функции.

Учитель: Очень хорошо, подписываем в тетрадях число, классная работа, тема урока: «Уравнение касательной к графику функции».

Ученики: (Записывают в тетрадях число, классная работа, тема урока).

Изучение новых знаний, нового способа действия.

Учитель: Для того, чтобы открыть этот алгоритм, выясним общий вид уравнения касательной в точке .

Пусть прямая задана уравнением Что нам известно про к?

Ученики:

Учитель: Для вычисления b, воспользуемся тем фактом, что прямая проходит через некоторую точку с координатами (а, f(a)). Тогда, как мы можем найти b?

Ученики:

Учитель: Подставим найденные значения К и b в уравнения прямой, что получится?

Ученики:

Учитель: Или в общем виде

Полученное уравнение – общий вид уравнения касательной к графику функции.

Теперь, когда мы знаем, что из себя представляет уравнение касательной в общем виде, что мы можем сделать?

Ученики: Сформулировать алгоритм, с помощью которого можно составить уравнение касательной.

Учитель: Верно, какой самый простой шаг можно осуществить?

Ученики: Вычислить f (х0).

Учитель: Какой шаг можно осуществить следующим?

Ученики: Найти производную функции .

Учитель: Что сделаем дальше?

Ученики: Вычислим f (х0).

Учитель: И каков будет последний шаг?

Ученики: Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х  х0).

Учитель: Молодцы, таким образом, мы с вами только что открыли универсальный алгоритм для нахождения уравнения касательной к графику функции, записывать его не нужно, я заранее подготовил для вас карточки с алгоритмом:

Алгоритм:

Вычислить f (х0).

Найти f (х).

Вычислить f (х0).

Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х  х0).

Ученики: (вклеивают карточки в тетрадь).

Учитель: Теперь, когда мы получили алгоритм, применим его к решению задачи

Составьте уравнение касательной к графику функции ,

Каков первый шаг?

Ученики: Находим f (х0).

Учитель: Какой следующий шаг?

Ученики: Найти производную функции

Учитель: Дальше что нам нужно сделать?

Ученики: Вычислить f (х0)

Учитель: И каков последний шаг?

Ученики: Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу

Учитель: И какой в итоге вид примет уравнение касательной после того как мы раскроем скобки и приведем подобные?

Ученики:

Учитель: Таким образом, мы смогли с вами решить проблемную задачу. Проанализируем проведенное решение, что нам достаточно было знать, чтобы решить её?

Ученики: Открытый нами алгоритм?

Учитель: А каких знаний нам достаточно, чтобы суметь воспользоваться алгоритмом?

Ученики: Нам достаточно уметь находить производную функции.

Учитель: Все правильно, теперь когда мы с вами открыли алгоритм для нахождения уравнения касательной к графику функции, мы можем перейти к чему?

Ученики: К решению задач.

Применение новых знаний, нового способа действия.

Учитель: Все верно, первую задачу мы решим все вместе, чтобы вы еще раз потренировались в умении использовать алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции.

Дана функция f (x) = х  3х2, и известна абсцисса точки касания х0=2. Напишите уравнение касательной к графику функции. И так, первый шаг?

Ученики: Находим f (2) = 2  3·22 =  10.

Учитель: Второй шаг?

Ученики: Вычислим производную f (х) = 1  6х.

Учитель: Третий шаг?

Ученики: Найдем f (2) = 1 6·2 = 11.

Учитель: И в итоге?

Ученики: Подставим получившиеся значения в формулу

у = 10 + (11)(х  2).

у = 11х + 12.

Учитель: Проанализируем решение данной задачи, отличается ли она принципиально от проблемной задачи?

Ученики: Нет, не отличается.

Учитель: Как видите, для решения данной задачи, нам точно также достаточно было знать алгоритм и уметь находить производную функции.

Теперь немного усложним и возьмем тригонометрическую функцию

Составьте уравнение касательной к графику функции f (x) = sin x в точке с абсциссой х0 = . Постройте графики этих функций.

Эту задачу я хочу, чтобы вы решили в парах. Соответственно, при решении, можете совещаться, при этом, во время решения, постарайтесь про себя проговаривать алгоритм, так вам гораздо проще будет его запомнить. На решение я даю вам 5 минут. Трудимся. Если у кого-то возникают проблемы или вопросы, можете позвать меня, я вам помогу.

Ученики: (В парах на местах решают задачу)

Учитель: (Ходит по классу, контролирует решение учащихся).

Теперь я попрошу одного из вас из вас выйти к доске и построить графики получившихся функций. В то время как один строит, мы с вами обсудим, как вы решали данную задачу.

Ученики: (один строит графики на доске, учитель выборочно спрашивает фронтально у 5 учеников по 1 этапу решения задачи, попутно сверяя их с решениями других учащихся).

Учитель: Давайте проанализируем, в чем отличие данной задачи от предыдущей?

Ученики: Нам нужно было не только написать уравнение касательной, но и построить графики.

Учитель: Все верно, в остальном, эта задача абсолютно аналогична предыдущим.

Теперь разберем еще одну задачу, её условие еще немного усложнилось

Составьте уравнение касательной к графику функции у = 2  0,5x  х2 в точке пересечения его с осью ординат. Постройте график.

Эту задачу я хочу, чтобы вы решили самостоятельно. Даю вам 5 минут. Трудимся. Будут возникать вопросы, можете попросить, я подойду.

Ученики: (Самостоятельно на местах решают задачу).

Учитель: Теперь я вновь попрошу одного из вас выйти к доске и построить получившийся график.

Скажите мне, что в первую очередь нужно сделать, чтобы решить данную задачу?

Ученики: Найти точку пересечения графика функции с осью ординат.

Учитель: И какая же это точка?

Ученики: Точка с координатами (0,2).

Учитель: Были ли у вас трудности с нахождением уравнения касательной к графику данной функции?

Ученики: (Высказывают свое мнение относительно решения задачи).

Учитель: И вновь я попрошу, правда уже 6 из вас, рассказать мне по одному шагу осуществляемого решения.

Ученики: (6 учеников фронтально рассказывают по одному этапу решения задачи).

Контроль и оценка.

Учитель: А теперь я хочу предложить вам решить обратную задачу, а именно Выясните, является ли прямая у = x+1 касательной к графику функции у = ех.

В чем принципиальное отличие данной задачи от предыдущих?

Ученики: В этой задачи нам уже написано уравнение касательной к графику функции и нужно узнать, будет ли оно верным для данной функции.

Учитель: Верно, нам дано уравнение касательной, значит что нам известно?

Ученики: Нам известен угловой коэффициент k=1.

Учитель: И что нам это дает?

Ученики: Значит, что значение производной функции в точке касания равняется 1.

Учитель: Чему равна производная функции ex?

Ученики: ex

Учитель: Значит?

Ученики: ex=1. А это значит, что абсцисса точки касания = 0.

Учитель: Чему в этом случае равно значение ординаты?

Ученики: у=1.

Учитель: Очень хорошо, давайте построим эти графики и посмотрим, будет ли являться у=х+1 касательной.

Ученики: Да, является.

Учитель: Давайте подведем итог нашего урока, что нового мы с вами сегодня открыли?

Ученики: Общий вид уравнения касательной к графику функции

И Алгоритм нахождения этого уравнения.

Учитель: Сформулируйте мне его еще раз, пожалуйста?

Ученики:

Вычислить f (х0).

Найти f (х).

Вычислить f (х0).

Подставить х0 и вычисленные значения f (х0) и f (х0) в формулу у = f (х0) + f (х0)(х  х0).

Учитель: Что мы с вами сегодня научились делать?

Ученики: Решать задачи на применение данного алгоритма.

Учитель: Открываем дневники, записываем домашнее задание, дома разбираем параграф 5 во второй главе, решаем №75 (а,в), 76 (1). На этом у меня все, спасибо вам за урок.