Селина Надежда Семёновна

Устный экзамен по геометрии (10 класс)

Материал опубликован 25 February 2024

Устный экзамен по геометрии в 10-х классах за II четверть

Декабрь 2023 г.

Цель: проверить знания учащихся по следующим темам «Аксиомы стереометрии. Скрещивающиеся прямые. Параллельность прямых и плоскостей. Построение сечения параллелепипеда, тетраэдра».

Задачи:

- выявить группу учащихся, для которой данные темы не составляют трудностей;

- определить темы, вызывающие затруднения у большинства учащихся, чтобы включить их в поурочные планы в качестве повторения;

- выявить учащихся, которым необходимы дополнительные занятия с целью устранения пробелов по тем или иным вопросам геометрии.

Работа проверяет умения:

- вычислять и решать задачи, оперируя полученными знаниями по текущим темам стереометрии;

- решать задачи, определяя вид сечения;

- определять вид расположения прямых в пространстве;

- строить сечение куба, параллелепипеда, тетраэдра.

Билет на экзамене состоит из четырех частей:

1 часть - определения и формулировки аксиом и теорем;

2 часть – доказательство теоремы;

3 часть – задача на построение сечения параллелепипеда, куба, тетраэдра;

4 часть – решение задачи.

Каждая часть оценивается по пятибалльной шкале.

Итоговая оценка за экзамен считается как среднее арифметическое полученных за каждую часть отметок.

ЗАДАНИЯ 1 ЧАСТИ:

Сформулируйте три аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

Определение параллельных прямых в пространстве. Привести примеры.

Сформулировать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми.

Случаи взаимного расположения прямой и плоскости. Определение параллельности прямой и плоскости.

Определение скрещивающихся прямых. Виды взаимного расположения двух прямых в пространстве.

Определение параллельных плоскостей. Привести примеры. Свойства параллельности плоскостей.

Определение тетраэдра, виды тетраэдров, их элементы.

Определение параллелепипеда, виды параллелепипеда, его элементы и свойства.

Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми.

ЗАДАНИЯ 2 ЧАСТИ:

Сформулировать некоторые следствия из аксиом. Доказать любое следствие на выбор.

Теорема о параллельных прямых.

Теорема: параллельность трех прямых в пространстве.

Теорема: признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема: признак скрещивающихся прямых.

Теорема: признак параллельности двух плоскостей.

Теорема об углах с сонаправленными сторонами

Теорема: свойства параллелепипеда (доказать одно на выбор)

ЗАДАНИЯ 3 ЧАСТИ:

Дан куб. На рёбрах куба отложены точки K, L и M. Построй сечение куба плоскостью KLM. Опиши ход построения.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

Ha рёбрах AA1, CC1 и DD1 соответственно находятся точки M, N и K. Построй сечение куба плоскостью MKN.

На боковых рёбрах KR, KV и KH тетраэдра KRVH расположены точки соответственно M, N и L.

Нарисуй сечение тетраэдра с плоскостью MNL.

Построй прямую сечения плоскости MNL с плоскостью основания тетраэдра.

4. Построй сечение тетраэдра плоскостью, в котором находятся данные точки.

Нарисуй прямую пересечения нижнего основания параллелепипеда с плоскостью, которая проходит через точки M, K и L.

Построй сечение куба через данные серединные точки рёбер куба, опиши вид и свойства многоугольника и рассчитай периметр этого сечения, если длина ребра куба — 19 см.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Ha рёбрах A1D1, BC и B1C1 соответственно расположены точки M, N и L. Построй сечение куба плоскостью MLN.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Ha рёбрах BB1, DD1 и CC1 соответственно расположены точки M, N и K. Построй сечение куба плоскостью MKN.

Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Ha рёбрах AA1, CC1 и DD1 соответственно находятся точки M, N и K. Построй сечение куба плоскостью MKN.

На боковых рёбрах KR, KV и KH тетраэдра KRVH расположены точки соответственно M, N и L. Нарисуй сечение тетраэдра с плоскостью MNL. Найди прямую сечения плоскости MNL с плоскостью основания тетраэдра.

На рёбрах тетраэдра даны три точки. Построй сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти точки.

Плоскость, содержащая данные точки, пересекает тетраэдр. Построй это сечение.

Построй сечение тетраэдра плоскостью, в которой находятся данные точки.

Тетраэдр пересечён плоскостью, проходящей через данные точки. Построй это сечение.

На рёбрах тетраэдра даны три точки. Построй сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через эти точки.

Построй сечение куба через данные серединные точки рёбер куба, опиши вид и свойства многоугольника и рассчитай периметр этого сечения, если длина ребра куба — 13 см.

Построй сечение куба через данные серединные точки рёбер куба, опиши вид и свойства многоугольника и рассчитай периметр этого сечения, если длина ребра куба — 11 см.

Построй прямую пересечения нижнего основания параллелепипеда с плоскостью, которая содержит точки M, K и L.

Построй прямую пересечения верхнего основания параллелепипеда с плоскостью, которая проходит через точки M, K и L.

ЗАДАНИЯ 4 ЧАСТИ:

№	Текст задачи	Чертеж
	Сторона AB правильного ABCDEF шестиугольника лежит в плоскости α. Опиши взаимное расположение данных прямых и плоскости α.
	Точка M не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Докажи, что прямая DC параллельна плоскости (AMB).
	Точки K и L лежат в плоскости α, а точка M не находится в этой плоскости. Через серединные точки отрезков KM и LM проведена прямая c. Докажи, что эта прямая параллельна плоскости α.
	Точка O не находится в плоскости треугольника ABC. Точки D, E, F являются соответственно серединами отрезков AO, BO, CO. Вычисли площадь треугольника DEF, если площадь треугольника ABC равна 132 см2.
	Точки M, N, P и Q являются соответственно серединами отрезков AD, CD, BC и AB. Вычисли периметр четырёхугольника MNPQ, если AC= 18 см и BD= 19 см.
	Через точку O, которая находится между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые c и d, пересекающие плоскости так, что точки A и B находятся в плоскости α, а точки C и D — в плоскости β. AB = 20 см, DO = 28 см и AC=3⋅AO. Вычисли: BD;CD.
	Стороны ∠N пересекают параллельные плоскости β и α в точках C,D и A,B. Вычисли длину отрезка AB, если NA = 13 см, NC = 20 см и CD = 58 см.
	Сумма всех рёбер параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна 240 cm. Определи длину рёбер AB, BC и BB1 если ABBC=23, а BCBB1=35.
	Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если DA= 8; DB= 7; DC= 8.
	Докажи, что сечение правильного прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проведённое через B1, D1 и серединную точку M ребра AB, является равнобедренной трапецией.
	Сумма всех рёбер параллелепипеда NMKLN1M1K1L1 равна 240 cm. Определи длину рёбер NM, MK и MM1 если NMMK=45, а MKMM1=56.
	Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если DA= 2; DB= 2; DC= 3.
	Дан тетраэдр DABC, у которого три ребра с общей вершиной D перпендикулярны. Назовём грани между этими рёбрами боковыми гранями. Определи общую площадь боковых граней, если DA= 8;DB= 7;DC= 8.
	Определи взаимное расположение данной прямой и плоскости. Прямая DD1 и плоскость (ADD1) . Прямая LP и плоскость (CDD1) . Прямая XY и плоскость (CDD1) . Прямая DC и плоскость (CDD1) . Прямая MS и плоскость (ABB1).