Задачи по алгебре повышенной сложности «Квадратичная функция» (9 класс)

Задачи повышенной сложности по теме «Квадратичная функция» (алгебра, 9 класс)

1. Найдите общий вид квадратного трехчлена, значения которого при целых значениях будут целыми числами.

Решение. Пусть .

, , .

То есть необходимо, чтобы , и (– целое и – целое. То есть их сумма – тоже целая). Покажем, что этого достаточно:

.

Число всегда четно, поэтому

, при сделанных предположениях.

Ответ: , где , , – целые.

2. Докажите, что многочлен , где , , - различные числа, имеет хотя бы один корень.

Решение.

;

.

Найдем

.

Коэффициент при больше 0. Поэтому квадратное уравнение имеет хотя бы один корень, что и требовалось доказать.

3. Решите уравнение: .

Решение. Пусть , тогда получим ;

.

Рассмотрим левую часть уравнения как квадратный трехчлен относительно .

Найдем .

; .

Решим каждое из этих уравнений:

а) .

.

; ;

б) .

.

; .

Ответ: , , , .

4. Корни уравнения являются натуральными числами. Докажите, что – составное число.

Решение. Пусть , – корни квадратного уравнения, по теореме Виета:

,

.

Ясно, что каждый из множителей натурален и строго больше 1. Поэтому – составное число.

5. Решите в целых числах уравнение .

Решение.

.

Имеем:

Если и – целые, то , – тоже целые. Поэтому возможно только 4 случая:

а) б) в) г)

Ответ: (3;10); (-3;-10).

6. Разложите на множители многочлен .

Решение.

Ответ: .

7. Докажите, что многочлен , где , – произвольные ненулевые числа, имеет хотя бы один корень.

Решение. Пусть

Вычислим значение в двух точках и .

Получим : ;

Откуда =, поэтому и разных знаков, вследствие непрерывности между -1 и 2 существует нуль функции , что и требовалось доказать.

8. Докажите, что уравнение , где , – целые нечетные числа, не может иметь рациональных корней.

Решение. Если данное уравнение имеет рациональные корни, то , где – дискриминант этого уравнения, тоже рациональное число. Так как – целое, то обязан быть целым, то есть , .

По условию, , , .

Если бы было бы четным, то было бы четным, что не так. Следовательно, .

,

,

,

.

Слева стоит четное число, а справа четное, значит не может быть нечетным, значит не может быть рациональным, то есть и уравнение не имеет рациональных корней, если , – целые нечетные числа.

9. Среди всех квадратичных функций , принимающих только неотрицательные значения, найдите ту, у которой сумма наименьшая.

Решение. Другими словами надо найти минимум при условии, что

. Всякий трехчлен такого вида можно представить в виде:

, где , , тогда

Обратно, всякий трехчлен вида обладает тем свойством, что принимает неотрицательные значения. Среди трехчленов и меньшей суммой будет обладать , так как , то есть минимум нужно искать среди трехчленов вида: ;

.

Следовательно, минимальная величина равна -1 и достигается на трехчлене .

Ответ: .

10. Известно, что уравнение имеет корень . Докажите, что .

Решение. Так как – корень, то . Рассмотрим квадратный трехчлен относительно : .

Найдем (так как при существует некоторое , такое, что равенство выполняется), следовательно,

, , , что и требовалось доказать.