Фракталы

Управление образования и науки Липецкой области Государственное областное автономное профессиональное образовательное учреждение «Липецкий металлургический колледж»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

2022 г.

Основная часть 1.История фракталов

Опираясь на найденные интересные артефакты, мы видим, что знаниями о фракталах располагали люди ещё в древности. Их изображение мы находим на керамике Трипольской культуры (с 5450 по 2700 год. до н. э.), в очертаниях построения селений и городищ, архитектуре зданий. Более подробно об этом будет рассказано во второй части статьи. На данный момент нам не известно, каким термином называли наши предки явление самоподобия объектов. Но точно можно сказать, что знания о фракталах входили в раздел «сакральной геометрии» прошлого. Понимание математической закономерности всего миропорядка было естественным ещё тысячелетия назад. К примеру, выдающемуся зодчему Древнего Египта Имхотепу удалось возвести первую в той стране ступенчатую пирамиду – грандиозное фрактальное сооружение с чёткими математическими пропорциями. К слову сказать, группа близких Имхотепу людей называли Бога не иначе как Великим Зодчим Мироздания. А во времена существования ордена Тамплиеров по всей Европе получил широкое распространение готический стиль архитектуры – воплощение сакральной геометрии и фрактальных узоров в камне. Однако, со временем учёные выбрали другой, материалистический путь развития науки, который увёл нас далеко от этих знаний, и божественные законы были забыты.

2.Виды фракталов

Фракталы бывают разных видов, рассмотрим некоторые из них: 

геометрические;

алгебраические;

стохастические;

концептуальные (социокультурные, непространственные и т.д.)

Геометрические фракталы

Геометрические виды фракталов являются самыми наглядными и простыми в строении. Увидеть их может любой человек. Множество таких фракталов можно нарисовать на обычном листке бумаги в клетку. Примером являются: Треугольник Серпинского, Снежинка Коха, Н-фрактал, Т-фрактал, Дракон, Кривая Леви, Дерево Пифагора.

Алгебраические фракталы

Это самая крупная группа фракталов, которая базируется на основе разных алгебраических формул. Ярким примером является фрактал Мандельброта. В настоящее время их принято отображать в цвете. Получаются красивейшие необычные орнаменты, которые используют, например, в дизайне одежды.

Стохастические фракталы

Строятся путём хаотического изменения некоторых параметров. При этом получаются объекты, очень похожие на природные. Фракталы данного вида широко применяются в киноиндустрии. С помощью компьютерной графики создаются искусственные горы, облака, поверхности моря, планеты, береговые линии, несимметричные деревья . Также представителем данного вида является – «плазма» в природе:

Молния

Ионосфера

Северное сияние

Пламя 

Концептуальные фракталы

Этот вид объединяет непространственные структуры, выходящие за рамки геометрической фрактальности. Принцип многоуровневого самоподобия заложен в культурных произведениях. В художественных текстах (стихах для детей, народных песнях, в музыкальных произведениях и сказках) часто встречается «рассказ в рассказе».

Рис.1 (геометрический фрактал) Рис.2 (алгебраический фрактал)

Рис.3 (Стохастические фракталы) Рис.4 (Концептуальные фракталы)

3. Свойства фракталов

Слово «фрактал» употребляется не только в качестве математического термина. Фракталом может называться предмет, обладающий, по крайней мере, одним из указанных ниже свойств:

- Обладает нетривиальной структурой на всех масштабах. В этом отличие от регулярных фигур (таких как окружность, эллипс, график гладкой функции): если рассмотреть небольшой фрагмент регулярной фигуры в очень крупном масштабе, то он будет похож на фрагмент прямой. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину.

- Является самоподобным или приближённо самоподобным.

- Обладает дробной метрической размерностью или метрической размерностью, превосходящей топологическую размерность.

Рис.5 (фракталы)


4. Применение фракталов Естественные науки

В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и тому подобное. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). После создания кривой Коха было предложено использовать её при вычислении протяжённости береговой линии.

Информатике

Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили.

Компьютерной графике

Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа).

Заключение

С каждым днем фракталы находят все большее и большее применение в науке и технике - они как нельзя лучше описывают реальный мир. Приводить примеры фрактальных объектов можно бесконечно долго, они повсюду окружают нас. Фрактал как природный объект представляет собой яркий пример вечного непрерывного движения, становления и развития. Таким образом, наша гипотеза о том, что фракталы можно увидеть во всех сферах жизни, подтвердилась. Цель проекта достигнута.

Рис.6 (фрактал)

Список использованных материалов

1. А. Д. Морозов “Введение в теорию фракталов” (Издательство Нижегородского университета, 2004г)

2. Б. Мальденброт “Фрактальная геометрия природы” (Институт компьютерных исследований, 2002г)

3. https://ru.wikipedia.org

4. https://3dnews.ru/754657

5. Мандельброт Б.Б. «Фракталы и хаос. Множество Мандельброта и другие чудеса»