Природная обусловленность существования фракталов

МОУ Фоминская СШ

Проект по теме

Природная обусловленность существования фракталов

                                                                                       Выполнен учеником 7 класса

                                                                                       МОУ Фоминская СШ

                                                                                       Гузановым Иваном

                                                                                       Научный руководитель:

                                                                                       Малова Светлана Васильевна,

                                                                                       учитель математики

Тутаевский муниципальный район

2020

Оглавление

стр.

Введение ……………………………………………………………..............................................................3

Фракталы: определение, история и классификация..…………...........................................4

Фракталы вокруг нас …………........................................................................................9

Заключение ……………………………………………………………………..................................................14

Список использованных источников и литературы ………………………......................….........15

Приложение 1. Примеры геометрических фракталов.........................................……......16

Приложение 2. Примеры алгебраических фракталов………………………...........................…..17

Приложение 2. Примеры фракталов в природе.................. …………………...............….......18

Приложение 3. Примеры фрактальных картин............................................................19

Введение

«Почему геометрию часто называют холодной и сухой?

Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.

Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности».

                                                                                                         Бенуа Мандельброт

Большинству людей кажется, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера, а также их комбинациями. Однако многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадёжным. Как, например, построить модель кроны дерева в терминах геометрии или как описать многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных.

Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха и другие). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды человека, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам.

Впервые о фрактальной природе нашего мира заговорил Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе «Фрактальная геометрия природы».

Конец ХХ века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных структур, названных фракталами, но и осознанием фрактального характера природы. Окружающий нас мир очень разнообразен, и его объекты не укладываются в жёсткие рамки евклидовых линий и поверхностей.

Цель проекта: знакомство и изучение мира фракталов, областей их применения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

изучить научно-популярную литературу по теме «Фрактал»;

дать определение термина «Фрактал»;

познакомиться с историей возникновения фракталов и их классификацией;

найти подтверждения теории фрактальности окружающего мира;

изобразить простейшие фракталы.

Объект: фракталы в математике и в реальном мире.

Методы работы: аналитический, поисковый.

Фракталы: определение, история и классификация

Фракталы – нечто такое, о  чем я не мог не написать, они поражают воображение многих людей, которые видят фрактальное изображение в первый раз. 

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников,.. Однако, этот набор, трудно применить для описания более сложных объектов. Поэтому возникла необходимость в новых геометрических понятиях и методов для их описания. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Основной идеей новой геометрии является идея самоподобия. Фрактальные структуры при различном увеличении не претерпевают значительных изменений. Например, у дерева есть ветви, на этих ветвях есть ветви поменьше и т.д. То же самое можно заметить, рассматривая горный рельеф, кровеносную систему человека и др. Очевидно, что с помощью строгой евклидовой геометрии сложно описывать природные объекты. В таких случаях и применяется теория фракталов. Фракталы используются при создании изображений деревьев, горных ландшафтов, облаков; при анализе сигналов сложной формы; во многих областях в физики, химии, биологии.

В отличие от евклидовой геометрии, которая рассматривает гладкие объекты, фрактальная геометрия рассматривает нерегулярные, сильно изломанные, изрезанные объекты. Для фрактальных кривых не существует понятия касательной, т.к. эти кривые в общем случае недифференцируемые.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие: небольшая часть фрактала содержит информацию о всём фрактале. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Слово фрактал было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался в своей научной деятельности.

                                                      Математика вся пронизана красотой и гармонией,

                                                      Только эту красоту надо увидеть.

                                                                                              Б. Мандельброт

Рождение фрактальной геометрии связано с выходом в 1977 г. его книги «The Fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы»).

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х гг. XX в., прочно вошли в обиход современных математиков и программистов:

Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Есть и другие определения фракталов:

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Пример кривой, имеющей фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для её построения разобьём данный квадрат на четыре равных квадрата меньшего размера и соединим их центры отрезками, как показано на рисунке. Повторяя описанную процедуру, можно получить более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.

Ломаные, участвующие в построении кривой Пиано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Кривая Пеано имеет бесконечную длину.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели чёткой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.

Основной классификацией фракталов является разделение их на геометрические и алгебраические.

Геометрические фракталы обладают точным самоподобием. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений: берется «затравка» – набор отрезков, на основании которых строится фрактал. Затем к ней применяют набор правил, преобразующих ее в какую-нибудь геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяет тот же набор правил несколько раз. Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Треугольник Серпинского. Другие примеры геометрических фракталов представлены в приложении № 1.

Свое название алгебраические фракталы получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. Они обладают приближённым самоподобием.

Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов - многократный расчет функции. Расчет продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится

точка. Знаменитое множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату, но увидеть его ученый не мог: вручную сделать необходимое число вычислений было физически невозможно. Для этого потребовались компьютеры, которыми воспользовался Бенуа Мандельброт для изучения уже описанного, но еще толком не исследованного. Примеры алгебраических фракталов представлены в приложении № 2.

Существует также разделение фракталов на рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при

любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

История фракталов началась именно с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX в. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Рассмотрим алгоритм построения наиболее известных геометрических фракталов: снежинка Коха, салфетка и ковер Серпинского.

Снежинка Коха изобретена в 1904 году немецким математиком Хельге фон Кохом. Эта фигура – одна из первых исследованных учеными фракталов.

Нильс Фабиан Хельге фон Кох — шведский математик, родился в 1870 г. в Стокгольме. В 1887—1892 гг. учился в Стокгольмском институте, по завершении которого стал доктором философии и доцентом. В 1905 г. получил звание профессора математики при Технологическом институте, а в 1910 г. стал членом Шведской Академии наук. Специалист преимущественно по теории чисел. В статье «Об одной непрерывной кривой, не имеющей касательных…» впервые описал кривую Коха — один из самых ранних и самых известных примеров фрактала.

Алгоритм построения снежинки Коха:

начертить на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник (со стороной 9 см);

каждую сторону треугольника разделить на 3 равные части и на средней части построить равносторонний треугольник;

повторить это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника;

чтобы получить снежинку, изображенную на рис.1 необходимо сделать еще один шаг построения.

Рис. 1. Этапы построения снежинки Коха

Треугольник Серпинского. В 1915 г. польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется - получится объект, состоящий из одних только дырок.

Вацлав Франциск Серпинский (14.03.1882 – 21.10.1969) – выдающийся польский математик, известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, теории чисел, теории функций, а также топологии. Его именем названы числа Серпинского, а также два широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского.

Рис. 2. Этапы построения треугольника Серпинского

Квадратная версия была описана В. Серпинским в 1916 г. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем тоже повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.

Рис. 3. Этапы построения ковра (квадрата, салфетки) Серпинского

Фракталы вокруг нас

То, что мы наблюдаем в природе, часто интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Причудливые формы береговых линий и замысловатые изгибы рек, изломанные поверхности горных хребтов и очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и коралловые рифы, робкое мерцание свечи и вспененные потоки горных рек – все это фракталы. Одни из них, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или горным массивам, сохраняют свою структуру неизменной. 

Фракталы – не изобретения Мандельброта, они существуют объективно в природных формах и процессах, в науке и искусстве. Фрактальной структурой являются системы и органы человека. Так, например, кровеносные сосуды многократно разветвляются, т.е. имеют фрактальную природу.

Фрактальное строение тела и присосок на всех восьми щупальцах имеет осьминог (Рис. 4), брюхоногий голожаберный моллюск Глаукус (Рис. 5), кораллы (Рис. 6) и морская раковина (Рис. 7).

Рис. 4. Осьминог

Рис. 5. Моллюск Глаукус

Рис. 6.  Кораллы

Рис. 7. Морская раковина

В природе фрактальными свойствами обладают и многие другие объекты. Некоторые примеры представлены в приложении № 3.

Среди многообразия живой природы встречаются фракталы среди овощей. Принцип фрактальности тот же, что и у матрёшки — вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. Фрактальную структуру имеет лук (Рис. 8), белокочанная капуста (Рис. 9), цветная капуста (Рис. 10), цветная коралловая капуста (Рис. 11) и капуста брокколи (Рис. 12).