Природная обусловленность существования фракталов

3
1
Материал опубликован 18 June 2020

МОУ Фоминская СШ





Проект по теме

Природная обусловленность существования фракталов







                                                                                       Выполнен учеником 7 класса

                                                                                       МОУ Фоминская СШ

                                                                                       Гузановым Иваном

                                                                                       Научный руководитель:

                                                                                       Малова Светлана Васильевна,

                                                                                       учитель математики






Тутаевский муниципальный район

2020

Оглавление

стр.


Введение ……………………………………………………………..............................................................3

Фракталы: определение, история и классификация..…………...........................................4

Фракталы вокруг нас …………........................................................................................9

Заключение ……………………………………………………………………..................................................14

Список использованных источников и литературы ………………………......................….........15

Приложение 1. Примеры геометрических фракталов.........................................……......16

Приложение 2. Примеры алгебраических фракталов………………………...........................…..17

Приложение 2. Примеры фракталов в природе.................. …………………...............….......18

Приложение 3. Примеры фрактальных картин............................................................19




Введение


«Почему геометрию часто называют холодной и сухой?

Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой.

Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности».

                                                                                                         Бенуа Мандельброт

Большинству людей кажется, что геометрия в природе ограничивается такими простыми фигурами, как линия, круг, многоугольник, сфера, а также их комбинациями. Однако многие природные системы настолько сложны, что использование только знакомых объектов классической геометрии для их моделирования представляется безнадёжным. Как, например, построить модель кроны дерева в терминах геометрии или как описать многообразие биологических конфигураций, которое мы наблюдаем в мире растений и животных.

Поэтому необходимы были новые геометрические понятия и методы для описания этих объектов. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Существует большое число математических объектов называемых фракталами (треугольник Серпинского, снежинка Коха и другие). Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, корни, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды человека, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам.

Впервые о фрактальной природе нашего мира заговорил Бенуа Мандельброт в своей основополагающей работе «Фрактальная геометрия природы».

Конец ХХ века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных структур, названных фракталами, но и осознанием фрактального характера природы. Окружающий нас мир очень разнообразен, и его объекты не укладываются в жёсткие рамки евклидовых линий и поверхностей.

Цель проекта: знакомство и изучение мира фракталов, областей их применения.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

изучить научно-популярную литературу по теме «Фрактал»;

дать определение термина «Фрактал»;

познакомиться с историей возникновения фракталов и их классификацией;

найти подтверждения теории фрактальности окружающего мира;

изобразить простейшие фракталы.

Объект: фракталы в математике и в реальном мире.

Методы работы: аналитический, поисковый.


Фракталы: определение, история и классификация

Фракталы – нечто такое, о  чем я не мог не написать, они поражают воображение многих людей, которые видят фрактальное изображение в первый раз. 

До недавнего времени геометрические модели природных объектов строились на основе сравнительно простых фигур: прямых, прямоугольников, окружностей, сфер, многогранников,.. Однако, этот набор, трудно применить для описания более сложных объектов. Поэтому возникла необходимость в новых геометрических понятиях и методов для их описания. Одним из таких понятий и явилось понятие фрактала.

Основной идеей новой геометрии является идея самоподобия. Фрактальные структуры при различном увеличении не претерпевают значительных изменений. Например, у дерева есть ветви, на этих ветвях есть ветви поменьше и т.д. То же самое можно заметить, рассматривая горный рельеф, кровеносную систему человека и др. Очевидно, что с помощью строгой евклидовой геометрии сложно описывать природные объекты. В таких случаях и применяется теория фракталов. Фракталы используются при создании изображений деревьев, горных ландшафтов, облаков; при анализе сигналов сложной формы; во многих областях в физики, химии, биологии.

В отличие от евклидовой геометрии, которая рассматривает гладкие объекты, фрактальная геометрия рассматривает нерегулярные, сильно изломанные, изрезанные объекты. Для фрактальных кривых не существует понятия касательной, т.к. эти кривые в общем случае недифференцируемые.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие: небольшая часть фрактала содержит информацию о всём фрактале. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

Слово фрактал было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался в своей научной деятельности.

                                                      Математика вся пронизана красотой и гармонией,

                                                      Только эту красоту надо увидеть.

                                                                                              Б. Мандельброт

Рождение фрактальной геометрии связано с выходом в 1977 г. его книги «The Fractal Geometry of Nature» («Фрактальная геометрия природы»).

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х гг. XX в., прочно вошли в обиход современных математиков и программистов:

Фрактал — термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком.

Есть и другие определения фракталов:

Фрактал (от латинского «fractus» - разбитый, дробленый, сломанный) представляет собой сложную геометрическую фигуру, которая составлена из нескольких бесконечной последовательности частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком, и повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба.

Фрактал — самоподобное множество нецелой размерности.

Первые идеи фрактальной геометрии возникли в XIX веке. Георг Кантор с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию и удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.


t1592490635aa.jpg

Пример кривой, имеющей фрактальный характер, был получен Д.Пеано (1858-1932) и называется кривой Пеано. Для её построения разобьём данный квадрат на четыре равных квадрата меньшего размера и соединим их центры отрезками, как показано на рисунке. Повторяя описанную процедуру, можно получить более сложные ломаные, приближающиеся к кривой Пеано.

t1592490635ab.jpg

Ломаные, участвующие в построении кривой Пиано, на каждом этапе проходят через все квадраты, а сами квадраты уменьшаются, стягиваясь к точкам исходного квадрата. Кривая Пеано имеет бесконечную длину.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели чёткой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек. А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.

Основной классификацией фракталов является разделение их на геометрические и алгебраические.

Геометрические фракталы обладают точным самоподобием. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений: берется «затравка» – набор отрезков, на основании которых строится фрактал. Затем к ней применяют набор правил, преобразующих ее в какую-нибудь геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяет тот же набор правил несколько раз. Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Треугольник Серпинского. Другие примеры геометрических фракталов представлены в приложении № 1.

Свое название алгебраические фракталы получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. Они обладают приближённым самоподобием.

Методов получения алгебраических фракталов несколько. Один из методов - многократный расчет функции. Расчет продолжается до выполнения определенного условия. И когда это условие выполнится - на экран выводится

точка. Знаменитое множество Мандельброта было описано в 1905 году Пьером Фату, но увидеть его ученый не мог: вручную сделать необходимое число вычислений было физически невозможно. Для этого потребовались компьютеры, которыми воспользовался Бенуа Мандельброт для изучения уже описанного, но еще толком не исследованного. Примеры алгебраических фракталов представлены в приложении № 2.

Существует также разделение фракталов на рукотворные и природные. К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при

любом масштабе обладают фрактальными свойствами. На природные фракталы накладывается ограничение на область существования — то есть максимальный и минимальный размер, при которых у объекта наблюдаются фрактальные свойства.

История фракталов началась именно с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX в. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Рассмотрим алгоритм построения наиболее известных геометрических фракталов: снежинка Коха, салфетка и ковер Серпинского.

Снежинка Коха изобретена в 1904 году немецким математиком Хельге фон Кохом. Эта фигура – одна из первых исследованных учеными фракталов.

t1592490635ac.jpg

Нильс Фабиан Хельге фон Кох шведский математик, родился в 1870 г. в Стокгольме. В 1887—1892 гг. учился в Стокгольмском институте, по завершении которого стал доктором философии и доцентом. В 1905 г. получил звание профессора математики при Технологическом институте, а в 1910 г. стал членом Шведской Академии наук. Специалист преимущественно по теории чисел. В статье «Об одной непрерывной кривой, не имеющей касательных…» впервые описал кривую Коха — один из самых ранних и самых известных примеров фрактала.

Алгоритм построения снежинки Коха:

начертить на листе нелинованной бумаги равносторонний треугольник (со стороной 9 см);

каждую сторону треугольника разделить на 3 равные части и на средней части построить равносторонний треугольник;

повторить это построение на каждой из 12 сторон получившегося многоугольника;

чтобы получить снежинку, изображенную на рис.1 необходимо сделать еще один шаг построения.

t1592490635ad.png

Рис. 1. Этапы построения снежинки Коха

Треугольник Серпинского. В 1915 г. польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д. По теории конца этому процессу не будет, и в треугольнике не останется живого места, но и на части он не распадется - получится объект, состоящий из одних только дырок.

t1592490635ae.jpg Вацлав Франциск Серпинский (14.03.1882 – 21.10.1969) – выдающийся польский математик, известен своими трудами по теории множеств, аксиоме выбора, теории чисел, теории функций, а также топологии. Его именем названы числа Серпинского, а также два широко известных фрактала: треугольник Серпинского, ковёр Серпинского.

t1592490635af.png

Рис. 2. Этапы построения треугольника Серпинского

Квадратная версия была описана В. Серпинским в 1916 г. Как и треугольник, квадрат можно получить из разных конструкций. Справа изображен классический способ: разделение квадрата на 9 частей и выбрасывание центральной части. Затем тоже повторяется для оставшихся 8 квадратов, и т. д.

t1592490635ag.png

Рис. 3. Этапы построения ковра (квадрата, салфетки) Серпинского

Фракталы вокруг нас

То, что мы наблюдаем в природе, часто интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Причудливые формы береговых линий и замысловатые изгибы рек, изломанные поверхности горных хребтов и очертания облаков, раскидистые ветви деревьев и коралловые рифы, робкое мерцание свечи и вспененные потоки горных рек – все это фракталы. Одни из них, типа облаков или бурных потоков, постоянно меняют свои очертания, другие, подобно деревьям или горным массивам, сохраняют свою структуру неизменной. 

Фракталы – не изобретения Мандельброта, они существуют объективно в природных формах и процессах, в науке и искусстве. Фрактальной структурой являются системы и органы человека. Так, например, кровеносные сосуды многократно разветвляются, т.е. имеют фрактальную природу.

Фрактальное строение тела и присосок на всех восьми щупальцах имеет осьминог (Рис. 4), брюхоногий голожаберный моллюск Глаукус (Рис. 5), кораллы (Рис. 6) и морская раковина (Рис. 7).

t1592490635ah.jpg

Рис. 4. Осьминог

t1592490635ai.jpg

Рис. 5. Моллюск Глаукус

t1592490635aj.jpg

Рис. 6.  Кораллы

t1592490635ak.jpg  

Рис. 7. Морская раковина

В природе фрактальными свойствами обладают и многие другие объекты. Некоторые примеры представлены в приложении № 3.

Среди многообразия живой природы встречаются фракталы среди овощей. Принцип фрактальности тот же, что и у матрёшки — вложенность. Именно поэтому фрактальность замечается не сразу. Фрактальную структуру имеет лук (Рис. 8), белокочанная капуста (Рис. 9), цветная капуста (Рис. 10), цветная коралловая капуста (Рис. 11) и капуста брокколи (Рис. 12).


t1592490635al.jpg

Рис. 8. Лук

t1592490635am.jpg

Рис. 9. Белокочанная капуста

Рассмотрим строение цветной капусты (рис 10). Если разрезать один из цветков, очевидно, что в руках остаётся всё та же цветная капуста, только меньшего размера. Можно продолжать резать снова и снова, даже под микроскопом - однако все, что мы получим - это крошечные копии цветной капусты. В этом простейшем случае даже небольшая часть фрактала содержит информацию обо всей конечной структуре.

t1592490635an.jpg Рис. 10. Цветная капуста

t1592490635ao.jpg

Рис. 11. Цветная коралловая капуста


t1592490635ap.jpg

Рис. 12. Капуста брокколи

   Среди литературных произведений есть такие, которые обладают текстуальной, структурной или фрактальной природой. Для примера обратимся к очень известной (докучной) сказке, в которой многократно повторяется один и тот же фрагмент текста:

У попа была собака,

он ее любил.

Она съела кусок мяса,

он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал:

У попа была собака…

и так далее. Это стихотворение никогда не заканчивается, потому что все время возвращается к своему началу. А вот еще один пример, на этот раз про ворону, которая всё никак не высохнет:

Шёл я как-то через мост –

Глядь – ворона сохнет.

Взял ворону я за хвост,

Положил её под мост –

Пусть ворона мокнет.

Снова шёл я через мост –

Глядь – ворона мокнет.

Снова взял её за хвост,

Положил её на мост –

Пусть ворона сохнет…

Следующим рукотворным использованием фрактальной теории и очень популярной сейчас стала фрактальная музыка. Зрелищность фрактальной анимации с успехом используют на концертах исполнителей электронной музыки. Она завораживает своей необычностью, абстрактностью и мелодичностью.

Фрактальность – это мера неправильности. Именно алгоритмом Мандельброта пользуется природа, создавая свои шедевры – фракталы золотого сечения – от листа травы до биологической популяции. Поэтому не удивительно, что фракталы поразительно красивы. Своей красотой и разнообразием форм они поразили не только математиков. В 1984 году Институтом Гете была устроена выставка «Границы хаоса», представлявшая собой портреты фрактальных структур, она имела сенсационный успех и обошла весь мир. Впервые в истории науки результаты математических расчетов демонстрировались широкой публике как произведения искусства. Еще через два года представленные на выставке материалы были собраны в книге Петера Рихтера и Ханца-Отто Пайтгена «Красота фракталов», которая в 1993 году вышла в России. Рихтер и Пайтген были буквально поражены красотой и разнообразием нелинейных фракталов.

Большой популярностью пользуются фрактальные картины. Примеры фрактальных картин представлены в приложении № 4.

Они производят совершенно фантастическое впечатление. Множество тонких линий, образующих одно целое, или же необычные элементы, сплетающиеся в единую картину. Вспышки яркого света и умеренные сглаженные линии. Фрактал кажется живым. Он горит, пылает, он завлекает, и нет сил отвести от него глаз, изучая даже самые крохотные и незначительные детали.

Заключение

Для современных учёных изучение фракталов − не просто новая область познания. Это открытие нового типа геометрии, которая описывает мир вокруг нас и которую можно увидеть не только в учебниках, но и в природе, и везде в безграничной Вселенной.

Каждый раз, рассматривая фракталы, приходит мысль, как прекрасен мир математики и что математика является неким божественным языком, который способен описать всё, что существует во Вселенной и чему только суждено появиться.

В работе приведены далеко не все области человеческих знаний, где нашла свое применение теория фракталов. Обращаем внимание на то, что со времени возникновения теории прошло немного времени, но с её помощью стали объяснять эволюцию галактик и развитие клетки, возникновение гор и образование облаков, движение цен на бирже и развитие общества и семьи.

Выводы:

Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. Она появилась в конце шестидесятых годов благодаря французскому математику Бенуа Мандельброту.

Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом.

Предполагаем, что самоподобие - один из видов симметрии.

Фракталы всё чаще используются в науке (в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии и других).

Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии, информационных технологиях и многих других областях.

Изучая фракталы, анализируя проявления фракталов в окружающей нас действительности, а также в научных открытиях, связанных с существованием фракталов, мы обнаружили удивительно тесную связь математики с окружающим нас миром.


Список использованных источников и литературы

Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: «Институт компьютерных исследований», 2002. – 656 с.

Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. – Н.Новгород: Изд-во Нижегородского Университета, 1999. – 140 с.

Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. – М.: «Мир», 1993. – 176 с.

Тихоплав В. Ю., Тихоплав Т. С. Гармония хаоса, или фрактальная реальность. – Спб.: ИД «Весь», 2003. – 340 с.

Федер Е. Фракталы. – М.: «Мир», 1991. – 254 с.

http://www.fractals.nsu.ru

http://www.fractalworld.xaoc.ru

http://www.multifractal.narod.ru

http://algolist.manual.ru


Приложение 1. Примеры геометрических фракталов


t1592490635aq.gifПятиугольник Дюрера


t1592490635ar.pngГубка Серпинского


t1592490635as.gif

Кривая Минковского


t1592490635at.gif                  Кривая Гильберта


t1592490635au.pngРешётка Серпинского


Приложение 2. Примеры алгебраических фракталов

t1592490635av.jpgt1592490635aw.png

t1592490635ax.pngt1592490635ay.jpg

t1592490635az.jpgt1592490635ba.jpg

Приложение 3. Примеры фракталов в природе

t1592490635bb.jpgt1592490635bc.jpg

t1592490635bd.jpgt1592490635be.jpg


t1592490635bf.jpgt1592490635bg.jpg

Приложение 4. Примеры фрактальных картин

t1592490635bh.jpg

t1592490635bi.jpg

t1592490635bj.jpg



в формате Microsoft Word (.doc / .docx)
Комментарии

Светлана Васильевна, очень интересная работа!!! Спасибо!

19 June 2020