Исследовательская работа "Николай Иванович Лобачевский"

Исследовательская работа для конкурса «Наука в лицах»

Тема: «Николай Иванович Лобачевский»

Подготовил: студент 1 курса, группа МР09.27-20
Лысенко Александр Сергеевич

Введение

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856 гг.) – великий русский математик, один из создателей неевклидовой геометрии. Также был народным просветителем и ярким деятелем университетского образования. Знакомый с биографией Лобачевского У. Клиффорд назвал своего коллегу “Коперником геометрии”.

Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября (1 декабря) 1792 г., в Нижнем Новгороде, в семье чиновника геодезического департамента, И. М. Лобачевского.

В 1802 г. поступил в Казанскую гимназию и закончил её в 1806 г. Особенно хорошие знания он показал в области математики, а также французского, немецкого и латинского языков.

В те годы в гимназии преподавал Г. И. Карташевский. Именно благодаря ему у Николая пробудился интерес к математике.

В феврале 1807 г. юный Лобачевский стал студентом Императорского Казанского училища.

Университет Лобачевский окончил в 1811 г. Получив степень магистра по физике, он был оставлен при университете. Летом 1811 г. он, совместно с И. М. Симоновым, наблюдал комету. В октябре этого же года принялся за изучение работ Гаусса и Лапласа. Это способствовало началу самостоятельных поисков.

В конце 1811 г. Лобачевский Николай Иванович представил свою работу “Теория эллиптического движения небесных тел”. В 1813 г. он написал еще одно исследование – “О разрешении алгебраического уравнения”.

Николай Иванович Лобачевский ушёл из жизни 12 (24) февраля 1856 г. В этот же день тридцать лет назад он впервые опубликовал свою теорию неевклидовой геометрии. Выдающийся русский математик был похоронен на казанском Арском кладбище.

Геометрия Лобачевского

Разрешить проблему параллелей удалось русскому математику Николаю Ивановичу Лобачевскому. Однако доказательство было выполнено косвенно. Он просто допустил, что пятый постулат неверен, и на основании этого вывел новую (так называемую не евклидову) геометрию. Тот факт, что новая геометрия непротиворечива, удалось доказать лишь спустя тридцать лет. Отсюда следует, что проблема параллелей снимается сама собой.

Лобачевский вместо пятого постулата сформулировал новую аксиому параллельных прямых, которая по смыслу оказалась прямо противоположна пятому постулату Евклида:

Через точку вне прямой можно провести не одну прямую, не встречающуюся с данной прямой, а по крайней мере две.

На основании этой теоремы и остальных четырех постулатов абсолютной геометрии Лобачевский и получил свою, которая была так же логически безупречна, как и геометрия Евклида.

Аксиома Лобачевского на первый взгляд может показаться абсурдной или как минимум странной. Кажется, что он подменяет очевидное неочевидным, противоречит установившимся геометрическим представлениям. Но если этот вопрос рассмотреть глубже, то неочевидность именно пятого постулата Евклида будет налицо.

Так, если внимательно прочитать первые четыре постулата Евклида, можно заметить, что они относятся к фигурам ограниченного размера, а пятый — нет. Он оперирует неограниченной, бесконечной прямой. В итоге если мы захотим проверить правильность данного постулата на практике, то не сможем это сделать, поскольку такой эксперимент осуществить невозможно. Можно представить следующую ситуацию. Например, если предположить, что угол MCL очень маленький, а затем продлить отрезки CL и AB, то, даже обладая необширной фантазией, можно представить, что при таких условиях эти прямые не пересекутся даже на расстоянии, выходящем за пределы нашей планеты! В то же время если взять какую-либо ограниченную часть пространства, например круг, то каким бы большим он ни был, мы можем провести множество прямых, проходящих через точку С и не пересекающих прямую AB.

Отличие двух противоположных по своей сути предположений заключается только в том, что евклидов постулат более понятен человеческому сознанию. Он соответствует нашему обыденному восприятию, в конце концов мы к нему привыкли… В этом случае можно вспомнить, что у древних было распространено представление, будто Земля плоская, а факт, что она круглая (как предполагала революционная гелиоцентрическая теория Коперника), полностью отрицался. Однако в отличие от теории Коперника, в которой говорилось об ином расположении и движении тел в пространстве, понимание идеи Лобачевского требует более абстрактного мышления.

Неудивительно, что свою геометрию Лобачевский назвал воображаемой, а Евклидову — употребительной, что подчеркивало ее более естественные основы. Более того, в поздних трудах для своей новой теории ученый применял термин «пангеометрия» (всеобщая геометрия). Такое название подчеркивало, что геометрия Евклида — всего лишь частный (предельный) случай геометрии Лобачевского.

Доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского

Не секрет, что геометрия Лобачевского не получила признания при его жизни из-за необычности. Более того, он был осмеян и к концу своих дней морально опустошен, так как считал, что теории суждено умереть вместе с создателем. Все осложнялось тем, что ученому не удалось найти объективных доказательств непротиворечивости своей теории. Для признания правоты Лобачевского потребовалось не только время, но и дальнейшее развитие математической науки, нахождение связей между различными ее разделами.

Теория Лобачевского прошла проверку временем и не оказалась пустышкой, которая, как думали его современники, в будущем сама уничтожит себя.

Фактический материал, который позволил устранить сомнения в непротиворечивости новой геометрии, был получен при разработке теории поверхностей. Если проследить за изменением свойств фигур, расположенных на изгибаемых поверхностях, то можно сделать некоторые неожиданные выводы. Сама теория поверхностей разрабатывалась немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом, а затем развивалась российским ученым Фердинандом Миндингом. Одним из главных понятий в теории поверхностей были так называемые геодезические линии, которые можно сравнить с обыкновенными прямыми на плоскости. И геодезические линии, и прямые выполняют одну и ту же функцию — определяют кратчайшее расстояние между точками. Разница лишь в том, что в искривленном пространстве геодезические линии представляют собой, грубо говоря, искривленные линии. Например, на сфере геодезическими линиями являются большие окружности, опоясывающие ее.

В результате Миндинг вывел формулы для геодезических треугольников (в них стороны образованы геодезическими линиями), которые совпали с планиметрией Лобачевского. Удивительно, но факт — доказательства непротиворечивости новой геометрии практически лежали на поверхности и существовали уже при жизни ученого. Однако ни один из математиков не заметил этого, так как они не были знакомы с работами друг друга. Потребовалось время, и только через 28 лет после открытия Миндинга (по прошествии 12 лет после смерти Лобачевского) итальянский геометр Эудженио Бельтрами сопоставил эти два исследования, провел строгие расчеты и вывел модель геометрии Лобачевского — три псевдосферические поверхности.

Таким образом и была убедительно доказана непротиворечивость, иными словами — верность геометрии Лобачевского. Она выражает свойства определенных криволинейных фигур в пространстве Евклида (таком, которое описывается аксиомами геометрии Евклида), а значит, не может быть противоречивой. Если бы она была таковой, то тогда геометрия Евклида противоречила бы сама себе, что не является истиной. Со временем было показано, что данная модель лишь частично доказывает непротиворечивость неевклидовой геометрии. Однако начало было положено.

Как только была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, идеи на ее основе стали оказывать влияние на дальнейшее развитие математической науки.

Сферы применения неевклидовой геометрии Лобачевского

Практическое применение неевклидовой геометрии нашли только в конце XIX века. В конце труда «О началах геометрии» Лобачевский высказал мысль: «Оставалось бы исследовать, какого рода перемена произойдет от введения воображаемой геометрии в механику…» Непризнание его достижений оставляло мало надежды на то, что пожелания ученого сбудутся. Однако время расставило все точки над «i», его теория не только была признана верной, но и получила практическое применение.

Лобачевский показал, что в пределах Солнечной системы для расчетов достаточно применять простую евклидову геометрию. Свою геометрию он использовал для математического анализа, а точнее — для вычисления определенных интегралов. Будучи уверенным в верности собственной теории и в том, что классическая геометрия — частный (а вернее — предельный) случай неевклидовой геометрии, ученый был убежден, что его система имеет гораздо больший потенциал: она не может не описывать более глобальные закономерности природы.

После того как непротиворечивость геометрии Лобачевского была доказана, на нее обратили внимание самые выдающиеся математики того времени. В 1881-м на ее основе была создана новая дисциплина — теория автоморфных функций, построенная великим французским математиком и физиком Анри Пуанкаре, которая имеет огромное значение для фундаментальной науки.

Важное практическое приложение геометрии Лобачевского нашел русский физик Александр Фридман. Используя в 1922 году идеи теории относительности и решая уравнение Эйнштейна, он пришел к выводу, что Вселенная расширяется с течением времени.

Вскоре эта теория блестяще подтвердилась на практике, но уже, как это часто бывает, после смерти Фридмана. Наблюдения американского астронома Эдвина Хаббла подтвердили это. В 1929 году он, не знакомый с теорией Фридмана, обнаружил, что удаленные туманности как бы «разбегаются» в разные стороны. При этом скорость этого «разбегания» оказалась пропорциональна расстоянию между ними.

Следующим важным применением геометрии Лобачевского является то, что она оказалась естественной частью теории относительности.

Законы сложения относительных скоростей, полученные Альбертом Эйнштейном, напрямую связаны с геометрией Лобачевского.

А в 1950-х годах советский физик Н. А. Черников стал успешно использовать геометрию Лобачевского для исследования столкновений элементарных частиц в ускорителе, а также при изучении других вопросов физики элементарных частиц и ядерных реакций.

Все идеи, которые были выдвинуты на основании геометрии Лобачевского, описать практически невозможно. Многие еще только находятся на пути развития, и до их практического применения остается еще много времени. Однако сама фундаментальность открытия дает полную уверенность в том, что неевклидова геометрия будет приводить к новым изобретениям, так как потенциал ее безграничен.