Исследовательская работа Тема: «Взаимосвязь между углами правильной n-угольной пирамиды»
Автор публикации: Н. Аванесов, ученик 11 класса
МБОУ ДОД Дворец творчества детей и молодежи г. Ростова-на-Дону
Донская академия наук юных исследователей им. Ю. А. Жданова
Математика
Исследовательская работа
Тема: «Взаимосвязь между углами правильной n-угольной пирамиды»
Автор работы: ученик 11 класса МБОУ СОШ №3
Руководитель: Новодранова И.Л.,
учитель математики
г.Ростов-на-Дону
2023 г.
Оглавление
Введение ………………………………………………………………….3
Взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды. Вывод формул………………………………..………………………4
Практическое применение полученных формул.……………….....8
Заключение …………………………………………………………...…12
Литература ………………………………………………………..…..…13
Введение
Одной из самых распространенных форм архитектурных сооружений является пирамида, в частности, пирамида правильная. Поэтому интерес к этой геометрической фигуре, к ее свойствам, ее секретам всегда был и остается и в наши дни поистине актуальным.
С пирамидой связана серия углов: двугранный угол при основании, двугранный угол при боковом ребре, угол наклона бокового ребра к основанию, плоский угол при вершине, плоский угол при основании.
Однако в математических учебниках нет сведений о том, существует ли взаимосвязь между этими углами и какие формулы их связывают.
Напрашивается гипотеза о том, что такая взаимосвязь должна существовать, и интерес вызывают формулы, устанавливающие эту взаимосвязь.
Поэтому в качестве объекта данного исследования рассматриваются формулы, устанавливающие взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды.
Предметом исследования являются все углы, относящиеся к такой пирамиде.
Цель исследования – теоретический вывод формул, устанавливающих взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды.
Из поставленной цели вытекают следующие задачи:
изучить теоретический материал по теме «Правильная пирамида»;
повторить соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника;
установить зависимость между углами правильной n – угольной пирамиды;
проанализировать полученные результаты и показать их практическое применение.
Методы исследования: использование теоретических данных, анализ, обобщение.
Взаимосвязь между углами правильной n – угольной пирамиды. Вывод формул
Определение 1. Пирамидой называется многогранник, основанием которого является n – угольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину.
Определение 2. Пирамида называется правильной, если в основании у нее – правильный n – угольник, а высота проходит через центр окружности, описанной около этого многоугольника (вершина проецируется в центр основания).
Рассмотрим правильную n – угольную пирамиду SA1A2…An. (рис.1)
рис.1
Построим линейные углы двугранных углов:
- линейный угол двугранного угла при основании, B – середина A1A2.
(так как пирамида правильная, 
). 
– линейный угол двугранного угла при боковом ребре.
Плоский угол при вершине 
, тогда 
.
Плоский угол при основании 
.
Угол между боковым ребром и основанием 
.
, 
.
Введем обозначения линейных элементов пирамиды:
– боковое ребро,
- сторона основания,
- апофема,
- радиус окружности, описанной около основания,
OB = r - радиус окружности, вписанной в основание,
h – высота.
.
(по двум сторонам и углу между ними) 
, 
.
- равнобедренный, 
в нем – медиана, а значит – высота. Таким образом, 
- прямоугольные.
Итак, в правильной n – угольной пирамиде обозначено пять углов: 
.
Но связь между углами 
общеизвестна: 
. Зная, например, 
, всегда можно найти и 
.
Значит, есть смысл найти взаимосвязь каждой пары из четырех углов: 
.
Очевидно, что таких пар 6: 
.
Найдем взаимосвязь между 
.
Для этого рассмотрим 
и 
– прямоугольные.
Из 
.
Но 
(в 
).
Таким образом, 
.
Из 
.
Получаем:
.
(1).
Установим связь между 
.
Для этого рассмотрим и 
.
Из 
.
Но 
(Из 
), 
.
Из 
.
Получаем: 
,
(2).
Установим связь между 
.
Рассмотрим 
и 
.
Из 
.
Из 
.
Но из 
= 
,
.
Получаем:
(3).
Установим связь между 
.
Для этого рассмотрим 
и 
.
Из 
.
Из 
(SA2⟘ плоскости 
, значит A2S⟘CD, т.е. 
).
Так как 
, то 
)=
cos 
)=
.
Тогда, CD=
CD=
.
Получаем:
,
(4).
Установим связь между 
.
Рассмотрим 
и 
.
Из 
.
Из 
, но 
; 
.
Получим:
,
(5).
Установим связь между
.
Для этого воспользуемся уже полученными формулами:
(1) и
(3).
Воспользуемся формулой 
, тогда из (1) и (3) получим:
(6).
Практическое применение полученных формул
Рассмотрим применение полученных формул к решению задач.
Задача 1. Найти плоский угол (γ) при вершине правильной n – угольной пирамиды, если угол наклона бокового ребра к основанию (φ) равен 450. Решить задачу для а) n=3; б) n=4; в) n=6.
Решение. Воспользуемся формулой
а) n=3
γ =2arcsin
б) n=4
=300
γ =600
в) n=6
γ =2arcsin
Задача 2. Найти двугранный угол, образованный двумя смежными боковыми гранями (β) правильной n-угольной пирамиды, если двугранный угол при основании (α) равен 300. Решить задачу для а) n=3; б) n=4; в) n=6.
Решение. Воспользуемся формулой
;
β =2arccos
а) n=3
β =2arccos
β =2arccos
б) n=4
β =2arccos
2arccos
в) n=6
β =2arccos
=2arccos
Задача 3. Измерили сторону основания правильной пятиугольной пирамиды a = 10 м и плоский угол при вершине γ =600. Вычислить объем пирамиды. (рис.2)
Дано: SA1…A5- правильная пирамида,
A1A2=10 м, 
Найти: Vпир.
рис.2
Решим задачу, не используя полученные формулы.
Vпир.= 
.
Из 
Из 
Из 
Vп= 
V=
Ответ. 
.
Решим задачу с использованием полученных в главе 1 формул.
Vпир.= .
Из 
V= 
.
Ответ. 
.
Способ с применением формулы, связывающей углы α и γ, оказался короче, так как не пришлось находить апофему SB.
Задача 4. Двугранный угол при боковом ребре правильной шестиугольной пирамиды равен 1400, апофема равна 20 см. Найдите высоту пирамиды. (рис.3)
Дано: SA1…A6- правильная пирамида,
SB =20 см – апофема,
Найти: h- высоту
Решение.
SB⟘
⇒ ОВ⟘, значит, 
- линейный угол двугранного угла при основании.
Воспользуемся формулой,
рис. 3 связывающей углы 
и 
⇒
Рассмотрим 
=13,680.
Ответ. 
13,68 см.
Рассмотрим решение задачи без использования формулы, связывающей углы и .
Построим линейный угол .
A1S⟘ пл (A2CA6) ⇒ A1S⟘CD.
(общий острый 
, треугольники прямоугольные).
Из подобия треугольников следует, что
(1)
Найдем искомые отрезки:
Из 
⇒
Из 
⇒h
(2)
(в
)
Из 
⇒
Из 
⇒
Подставим нужные элементы в равенство (1).
Сюда же подставим вместо h равенство (2).
Получим:
Сократим дробь и возведем обе части равенства в квадрат:
(
.
Раскроем скобки и найдем a2:
(
h
h
=
h≈20
.
Ответ. 13,6 см.
Решение без использования формулы, связывающей двугранные углы и , является очень громоздким.
На примере этой задачи отчетливо видно преимущество первого способа ее решения.
Заключение
В ходе выполнения исследовательской работы был проанализирован теоретический материал, относящийся к правильной n-угольной пирамиде, а именно, дано определение пирамиды, пирамиды правильной, раскрыто понятие ее основных углов. Выведены формулы, устанавливающие связь между этими углами, что является подтверждением гипотезы, выдвинутой в начале работы.
В данной исследовательской работе приводятся примеры решения задач с применением установленных формул, показано преимущество их использования, обеспечивающее более рациональное решение.
Литература
Атанасян Л.С. и др. Геометрия для 10-11 классов общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2017
Колягин Ю. М., Сидоров Ю. В., Ткачева М. В. И др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учеб для учащихся общеобразоват. учреждений (профильный уровень) — М.: Мнемозина, 2009
