Исследовательский проект по математике "Аликвотные дроби"

Исследовательский проект «Аликвотные дроби»

Содержание

Введение

С обыкновенными дробями я познакомилась на уроке математики в пятом классе. Именно тогда впервые столкнулась с новым понятием - «аликвотные дроби». Это дроби, числитель которых равен 1, а знаменатель – натуральное число. Сейчас (в шестом классе) я научилась выполнять различные действия с обыкновенными дробями, однако историческое название – аликвотные, совсем не используется на уроках. Мне стало интересно, когда появились аликвотные дроби и как использовались при решении задач, поэтому я занялась изучением литературы по данной теме и исследованием аликвотных дробей.

Готовясь к школьной олимпиаде по математике, я решала известную из древне задачу: «Разделите 7 хлебов между 8 людьми так, чтобы всем досталось поровну, сделав как можно меньше разрезов.»

Моё решение выглядело так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей, тогда каждому достанется по хлеба, т.е. сделать 49 разрезов.

Каково же было удивление, что древние египтяне с помощью аликвотных дробей решили эту задачу с меньшим числом разрезов, предлагая их сделать всего 17: = + + . Т.е. 4 хлеба надо разрезать пополам, 2 хлеба – на 4 равные части и только один хлеб – на 8 частей.

Так, собирая информацию, я еще больше увлеклась необычными дробями. Это и определило цель и задачи моего исследования.

Цель: исследовать свойства и закономерности аликвотных дробей. Применить теорию аликвотных дробей к решению задач.

Задачи:

Изучить исторические сведения об аликвотных дробях

Изучить свойства и закономерности аликвотных дробей на дробях со знаменателем не большим 50.

Научиться представлять дроби в виде суммы аликвотных дробей с использованием соответствующих формул

Научиться решать задачи с применением аликвотных дробей

Объект исследования: аликвотные дроби

Предмет исследования: свойства аликвотных дробей

Гипотеза: я предполагаю, что найду интересные факты об аликвотных дробях, рассмотрю формулы по разложению дробей на аликвотные дроби, что поможет решать сложные задачи и расширит знания в области математики.

Актуальность исследования: определение аликвотных дробей не рассматривается в школьном курсе математики. Но изучение аликвот не только позволяют потренироваться в сложении дробей и приведении их к общему знаменателю, но и знакомит с широким классом нестандартных задач, с которыми можно встретиться на олимпиаде по математике. Кроме того, исследование аликвотных дробей познакомит с понятиями конечной и бесконечной десятичной дроби.

Теоретическая часть

Аликвотные дроби начали использоваться ещё в древности. Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась у наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.[1]

Древние египтяне использовали суммы аликвот для записи рациональных чисел, такие суммы называют египетскими дробями. Проводить различные вычисления, выражая все дроби через единичные, было очень трудно и отнимало много времени. Поэтому египетские ученые составили специальные таблицы разложений дробей на простейшие. Тема египетских дробей представляет интерес и для современной теории чисел. Например,  гипотеза Эрдёша-Штрауса, сформулированная в 1948 году до сего дня остаётся не доказанной, хотя современные цифровые технологии позволили проверить её справедливость для чисел меньших 1014.

Египетские дроби продолжали использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков. К примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой (позиционная система исчисления).[2]

Фибоначчи (математик XIII века) провёл важную работу по исследованию египетских дробей. В своём труде «Liber Abaci» он описал первый дошедший до нас общий метод разложения произвольной дроби на египетские.

В настоящее время доказана формула разложения аликвотной дроби на две аликвотные: = +

Существует алгоритм, с помощью которого несократимую правильную дробь можно представить в виде суммы различных аликвотных дробей не более чем за (a – 1) ход.

Пусть b = ak + r, где 0 < r < a. Тогда

Далее применим алгоритм уже для дроби .

Различные приёмы по осуществлению операций над аликвотными дробями позволяют отточить рабочее орудие математика – умение вычислять и преобразовывать выражения с дробями.

Практическая часть

Работа с формулами преобразования аликвотных дробей
Применим формулу разложения аликвотной дроби на две аликвотные:

= +

= + = +

= + = +

Применим алгоритм, с помощью которого несократимую правильную дробь можно представить в виде суммы различных аликвотных дробей не более чем за (a – 1) ход.

Пусть b = ak + r, где 0 < r < a. Тогда

Далее применим алгоритм уже для дроби .

= + = +

= + = + = + + = + +

Исследование свойств аликвотных дробей

Рассмотрим аликвотные дроби со знаменателем не большим 50 и представим их в виде десятичной дроби. Приложение 1

В результате проделанной работы я поняла, что дроби по-разному представляются в виде десятичных. В одном случае числитель делится на знаменатель, в другом – получаем бесконечное деление. В первом случае получаем конечную десятичную дробь, в другом – бесконечную десятичную дробь.

Выполняя бесконечное деление, я заметила, что цифры в записи дробной части повторяются. Изучив параграф 37 учебника, я узнала, что если в записи дробной части десятичной дроби одна или несколько цифр повторяются много раз, то такая дробь называется периодической.[5]

В большинстве случаев период определить было просто, но дроби , ; и некоторые другие вызвали затруднение. При делении я вычислила 12 знаков после запятой, но повторяющихся цифр так и не было. В сети Интернет нашла онлайн-калькулятор, который переводит обыкновенную дробь в периодическую. [6] С помощью программы задача стала легковыполнимой.

= 0,(0588235294117647)

= 0, (052631578947368421)

= 0,(0434782608695652173913)

Изучая десятичные дроби, я выделила некоторые закономерности.

Аликвотные дроби со знаменателями кратным пяти и двум (и их произведениям) можно представить в виде конечной десятичной дроби.
= 0,5 = 0, 0625

= 0,25 = 0,05

= 0,2 = 0,04

= 0,125 = 0,03125

= 0,1 = 0, 025

Аликвотные дроби, знаменатель которых равен степени числа 2, в дробной части десятичной дроби являются степенями числа 5

= 0,5

= 0,25 4 = 22; 25=52

= 0,125 8=23; 125 = 53

= 0, 0625 16 = 24; 625 = 54

= 0,03125 32 = 25; 3125 = 55

Некоторые аликвотные дроби со знаменателем, кратным 11, имеют период, сумма цифр которого равна 9.

= 0,(09)

= 0, 0(45)

= 0,02(27)

Группа аликвотных дробей со знаменателями кратными 7 обладают интересной закономерностью: в периоде последняя цифра предыдущей дроби переходит в начало следующей дроби.

= 0, (142857)

= 0,0(714285)

= 0,03(571428)

Решение задач с практическим содержанием

Приведу примеры решения задач, в которых требуется разделить на несколько частей с наименьшим количеством действий. Их решение можно оформить в соответствии с теорией аликвотных дробей.

Задача 1. Требуется разделить 5 одинаковых яблок поровну между восемью мальчиками. Можете это сделать с наименьшим числом разрезов?

Решение.

Для решения задачи нужно число 5 разделить на 8. Представим дробь в виде суммы аликвотных дробей.

Имеем: 5: 8=

Сумма показывает, что каждый мальчик получил одну вторую и одну восьмую части яблока. Значит, четыре яблока надо разделить пополам и только одно яблоко разделить на 8 долей, сделав 4 + 7 = 11 разрезов.

Ответ: 11 разрезов.

Задача 2. К школьному завтраку надо 13 арбузов одного размера разрезать на 42 одинаковые порции. Как это сделать, не разрезая ни одного арбуза больше чем на 7 частей?

Решение.

Выполним решение аналогично. Число 13 разделим на 42. Преобразуем дробь , раскладывая её на сумму таких аликвотных дробей, чтобы их знаменатели не превосходили семи:

Сумма позывает, что каждый из шести арбузов надо разделить на 7 долей, а каждый из остальных семи арбузов разделить на 6 долей, тогда получится 42 части одного объема и 42 части другого.

Каждый ученик получит по одной части каждого из двух объемов, при этом будет соблюдено условие задачи.

Задача 3. Персидский крестьянин завещал трём своим сыновьям 17 верблюдов, причём первый должен был получить 1/2 часть всех верблюдов, второй — 1/3— часть, а третий — 1/9.  Братья думали долго, но разделить наследство по завещанию отца так и не смогли. Мимо на верблюде проезжал Ходжа Насреддин. Он предложил присоединить к верблюдам ещё и своего и решить таким образом возникшую проблему. И действительно, братья смогли разделить верблюдов так, как наказал отец, причём Ходжа Насреддин получил своего верблюда обратно. Сколько верблюдов досталось каждому сыну? [3]

Решение

17+1=18 (в)-стало, когда ХН присоединил своего верблюда

18*1/2=9 (в)- получил 1 сын

18*1/3=6 (в) – получил 2 сын

18*1/9=2(в)-получил 3сын
Ответ: 9верблюдов, 6 верблюдов, 2 верблюда

В сети Интернет можно найти много олимпиадных задач с использованием аликвотных дробей (Приложение 2), но более увлекательным оказалось придумать задачу самой.

Для организации концерта ко Дню Учителя, классный руководитель предложила распределить музыкальные номера следующим образом: половина учащихся готовит танец, четверть — поёт песню, седьмая часть учит стихотворения, а четырнадцатая часть – играет на музыкальных инструментах. Но в нашем классе 27 человек и даже поделиться пополам не получится! Тогда наша классная предложила добавить в общее количество и её, но ни в одну группу не включать. У задачи сразу нашлось решение:

. Итак: танцевали — 14 учащихся, пели песню — 7учащихся, учили стихотворение — 4 человека, 2 человека играли на музыкальных инструментах.

Заключение

Благодаря выполнению данного исследовательского проекта, я поняла, что изучение аликвотных дробей занятие познавательное. Рассмотрев материалы учебников и сети Интернет, исследовав аликвоты, я сделала следующие выводы:

аликвотные дроби – это первые дроби, которыми оперировали люди;

любую аликвоту с помощью формулы можно записать суммой меньших аликвотных дробей;

существует формула, с помощью которой каждая дробь вида может быть разложена на сумму аликвотных дробей;

изучив аликвотные дроби, я научилась решать задачи, которые могут встретиться на математической олимпиаде;

придумала свою задачу с использованием аликвотных дробей.

В результате исследования на конкретных примерах подтвердили выдвинутую гипотезу о том, что существуют аликвотные дроби, обладающие схожими свойствами. Я рассмотрела представление аликвотных дробей в виде десятичных и нашла закономерности в различных группах аликвот.

В современной математике вместо египетских дробей используются обыкновенные и десятичные дроби, однако аликвотные дроби продолжают представлять интерес. В Википедии я прочитала, что аликвоты используются в математике, физике и химии и даже музыке. Я планирую продолжить своё исследование и рассмотреть применение этих дробей в физике и химии, как только буду изучать эти предметы в школьном курсе.

Список используемой литературы

Животова А.Д. АЛИКВОТНЫЕ ДРОБИ ПРИ РЕШЕНИИ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ // Старт в науке. – 2020. – № 3. ;
URL: https://science-start.ru/ru/article/view?id=1924 (дата обращения: 14.01.2023).

Аликвотные дроби. Происхождение аликвотных дробей. URL: https://confetti-matematika.ru/египетские-дроби/ (дата обращения 14.01.2023)

Бунимович Е.А., Кузнецова Л.В., Минаева С.С. Задачник URL: https://klass-6.ru/index.php?option=com_content&view=article&layout=edit&id=5587 (дата обращения 14.01.2023)

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. «Удивительный мир чисел» – М: «Просвещение», 1999.

Н.Я.Виленкин Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных организаций: в 2ч. Ч.2/Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И.Шварцбурд М. Мнемозина, 2019

Онлайн-калькулятор URL: https://calcs.su/математика/дроби/перевести-обыкновенную-дробь-в-десятичную-дробь.html (дата обращения 17.01.2023)

Глоссарий

Аликвотная дробь (аликвота) - дробь, числитель которой равен единице

Десятичная дробь называется конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой.

Десятичная дробь называется бесконечной, если она содержит бесконечное число цифр после запятой.

Периодическая дробь — это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места, периодически повторяется определенная группа цифр.

Приложение 1

Приложение 2

Представьте дробь в виде суммы аликвотных дробей.

В детский сад утром привели 90 детей. В 17.00 забрали из сада половину детей. В 18.00 забрали третью часть детей. В 19.00 забрали шестую часть детей. Сколько детей забирали из сада в разное время?

Один рабочий выполняет работу за 4 дня. За сколько дней выполнит эту работу второй рабочий, если они, работая вместе, выполняют её за два дня?

Чтобы узнать в каком году в Казани проводилась Универсиада нужно сумму аликвотных дробей

+ + + … +

умножить на год проведения зимних олимпийских игр в городе Сочи.

Найти сумму + ++…+

Митя обнаружил, что 1/n часть класса написала работу лучше него, а 1/(n-1) часть класса – хуже него. Сколько учеников в классе?