Автор публикации: М. Сидорова, студентка 2 курса
Автор Сидорова Маргарита Автор Сидорова Маргарита Матвеюк В.С. , преподаватель математики и физики ГАОУ РХ СПО «Аграрный техникум» с. Шира Тема: ПУТЕШЕСТВИЕ В МИР ФРАКТАЛОВ.
Цель : знакомство с новой ветвью математики- фракталами. Задачи: 1.Ознакомиться с историей появления фракталов в науке. 2.Рассмотреть виды и способы построения фракталов. 3.Увидеть мир фракталов вокруг нас.
Содержание работы: Введение. 1.Что такое фрактал? 2.Кто придумал "фрактал"? 3. Множество Мандельброта 4.Типы фракталов 5.«Фракталы» вокруг нас 6.Красота «фракталов»
Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Б. Мандельброт "The Fractal Geometry of Nature"
Понятие "фрактал". Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского fractus и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта `The Fractal Geometry of Nature'. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Но только в наше время удалось объединить их работы в единую систему.
Бенуа Р. Мандельброт (Benoit Mandelbrot), математик - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. 1924—2010 Кто придумал "фрактал"?
Множество Мандельброта. В математике мно́жество Мандельброта — это фрактал, определённый как множество точек С на комплексной плоскости , Для которых итеративная последовательность не уходит на бесконечность.
С математической же точки зрения фракталы - это множества с дробной размерностью. По первому определению Мандельброта - множество, хаусдорфова размерность которого превосходит его топологическую размерность. По второму определению - самоподобная структура, то есть, ее элементы в какой-то мере подобны всей структуре. Иначе говоря, если смотреть на фрактал через микроскоп, то при любом увеличении мы будем видеть одну и туже картинку. Однако не одно из этих определений не дает возможность представить себе, что такое фрактал. Думаю, тут лучше было начать не с определения, а с примеров. Известно, что линия имеет одно измерение. Поверхность - два. Пространственная фигура - три. Фрактал же - это не первое, не второе, не третье. Это - что-то среднее. Квадрат на плоскости со стороной l - фигура, которая имеет площадь l2, аналогично куб имеет объем l3. Размерность показывает по какому законы растет его внутренняя область. Тогда, по аналогии с ростом размеров возрастает объем "фрактала", только размерность у него дробная. Поэтому граница фрактальной области не линия: при большом увеличении можно, заметить, что она размыта, и вся состоит из кусочков. Размерность объекта (показатель степени) показывает, по какому закону растет его внутренняя область
Типы фракталов. геометрические фракталы алгебраические фракталы стохастические фракталы Фрактал... У многих это слово ассоциируется с красивыми картинками. Что же это такое? Удивительно, но точного общепринятого определения этого понятия пока нет. Термин же "фрактал" происходит от латинского fractus (разбитый, сломанный), от него же происходят и слова fraction, fractional (дробь, дробный)
Геометрические фракталы Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.
Классические примеры геометрических фракталов - Снежинка Коха, Лист, Треугольник Серпинского). Снежинка Коха Из этих геометрических фракталов очень интересным и довольно знаменитым является первый - снежинка Коха. Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Она получается из трех копий кривой Коха, которая впервые появилась в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала. Один из вариантов этой кривой носит название «снежинка Коха».
Строится Снежинка Коха на основе равностороннего треугольника. Каждая линия которого ___ заменяется на 4 линии каждая длинной в 1/3 исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длинна кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Коха бесконечной длины.
Треугольник Серпинского Второе свойство фракталов - самоподобие. Например: Лист Серпинского
Идеи самоподобие фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал — С-кривая Леви. Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.
Алгебраические фракталы Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Это самая крупная группа фракталов. Свое название они получили за то, что их строят, на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Фрактал паук Бассейны Ньютона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов. Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости.
Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами. Наиболее изучен двухмерный случай. Нелинейные динамические системы могут обладать несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние (аттрактор) обладает некоторой областью начальных состояний, при которых система обязательно в него перейдёт. Таким образом, фазовое пространство разбивается на области притяжения аттракторов. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы (итерационного процесса). Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами. Неожиданностью для математиков стала возможность с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры Множество Жюли Фрактальная форма подвида цветной капусты
Стохастические фракталы. Фракталы, при построении которых случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Термин “стохастичность” происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”. Стохастическим природным процессом является броуновское движение. С помощью компьютера такие процессы строить достаточно просто: надо просто задать последовательности случайных чисел и настроить соответствующий алгоритм. При этом получаются объекты, очень похожие на природные, — несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.
Плазма Для её построения возьмём прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральные точки прямоугольника и его сторон, и раскрашиваем их в цвет, равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число, пропорциональное размеру разбиваемого прямоугольника. Прямоугольник разбиваем на 4 равных, к каждому из которых применяется та же процедура. Далее процесс повторяется. Чем больше случайное число — тем более «рваным» будет рису
Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система: от артерий отходят артериолы, а от них — мельчайшие капилляры, по которым кислород поступает в органы и ткани. Посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя. Это свойство объектов американский (правда, выросший во Франции) математик Бенуа Мандельброт назвал фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами (от латинского fractus — изломанный). С береговой линией, а точнее, с попыткой измерить ее длину, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран.
Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect).
Фракталы в природе
Фракталы в природе.
Фрактальные снежинки Природные фракталы
Фракталы на кухне. Фрактал, от которого плачут. Салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал.
Мангостин называют "королевой фруктов" Фрукт дракона (питайя). Очень сладкий и вкусный фрукт с белой мякотью, усыпанной мелкими съедобными косточками, как у киви. Многие, побывавшие в Таиланде Луло. Растет этот фрукт в странах Латинской Америки: Перу, Эквадоре, Колумбии и в Центральной Америке. По виду луло напоминает желтый помидор, а по вкусу – смесь ананаса, клубники и того же помидора.
Кто хотя бы раз видел фракталы — удивительно красивые и таинственные геометрические объекты, тот надолго заболел этим интересным и захватывающим научным явлением. Фрактальные рисунки — вершина вдохновения мастера на пути к совершенному единству математики, информатики и искусства. Такими представляются фракталы, которые строят современные компьютеры Так сказочно, обворожительно, волнующе красивы. Математика вся пронизана красотой и гармонией, только эту красоту надо увидеть. Вот как пишет сам Мандельброт в своей книге "The Fractal Geometry of Nature"-"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин лежит в ее неспособности описать форму облаков, гор или деревьев. Облака - это не сферы, горы - не углы, линия побережья - не окружность, кора не гладкая, а молния не прямая линия..."
Фракталы широко используются в: 1) компьютерной графике (для построения изображения природных объектов); 2) оценке курса фондовых бирж, финансовых и торговых рынков (мультифракталов); 3) физике и других естественных науках (моделирования пористых материалов, нелинейных процессов, сложных процессов диффузии, абсорбции; описания систем внутренних органов и т.д.) 4) литературе (фракталы — повторяющиеся фрагменты текста, например: «У попа была собака ... . 5) построении фрактальных антенн 6) алгоритмах для сжатия изображений (вместо изображений сохраняются отображения фрактальных сжатий) 7) децентрализованных сетях (для компактного хранения информации об узлах сети)
Склонность фракталов походить на горы, цветы и деревья эксплуатируется некоторыми графическими редакторами, например фрактальные облака из 3D studio MAX, фрактальные горы в World Builder. Фрактальные деревья, горы и целые пейзажи задаются простыми формулами, легко программируются и не распадаются на отдельные треугольники и кубики при приближении. Что принес компьютер в нашу жизнь нового, неведомого до него? Главное — он позволил увидеть и полюбить фракталы, которые завораживают своей таинственностью, проявляясь в различных областях: механике, биологии, географии, метеорологии, философии и даже истории
Литература Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной или семантической фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественные самим себе с любой итерации («У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…») неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями («У Пегги был веселый гусь…») и тексты с наращениями («Дом, который построил Джек») В структурных фракталах схема текста потенциально фрактальна венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков сонетов (2455 стихотворений) «рассказы в рассказе» («Книга тысячи и одной ночи», Я.Потоцкий «Рукопись, найденная в Сарагоссе») предисловия, скрывающие авторство (У.Эко «Имя розы») Т.Стоппард «Розенкранц и Гильденстерн мертвы» (сцена с представлением перед королем) В семантических и нарративных фракталах автор рассказывает о бесконечном подобии части целому Х. Л. Борхес «В кругу развалин» Х.Кортасар «Жёлтый цветок» Ж.Перек «Кунсткамера»
Информатика Сжатие изображений Основная статья: Алгоритм фрактального сжатия Фрактальное дерево Существуют алгоритмы сжатия изображения с помощью фракталов. Они основаны на идее о том, что вместо самого изображения можно хранить сжимающее отображение, для которого это изображение (или некоторое близкое к нему) является неподвижной точкой. Один из вариантов данного алгоритма был использован[источник не указан 895 дней] фирмой Microsoft при издании своей энциклопедии, но большого распространения эти алгоритмы не получили. Компьютерная графика Ещё одно фрактальное дерево Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений, см. Генератор фракталов (программа). Децентрализованные сети Система назначения IP-адресов в сети Netsukuku использует принцип фрактального сжатия информации для компактного сохранения информации об узлах сети. Каждый узел сети Netsukuku хранит всего 4 Кб информации о состоянии соседних узлов, при этом любой новый узел подключается к общей сети без необходимости в центральном регулировании раздачи IP-адресов, что, например, характерно для сети Интернет. Таким образом, принцип фрактального сжатия информации гарантирует полностью децентрализованную, а следовательно, максимально устойчивую работу всей сети.
мультифракталы
Естественные науки МЕХАНИКА ЖИДКОСТЕЙ В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов). Вихревая дорожка при обтекании цилиндра Изучение турбулентности в потоках очень хорошо подстраивается под фракталы. Турбулентные потоки хаотичны и поэтому их сложно точно смоделировать. И здесь помогает переход к из фрактальному представлению, что сильно облегчает работу инженерам и физикам, позволяя им лучше понять динамику сложных потоков.
Радиотехника Фрактальные антенны Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка внешних антенн на здания. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, затем присоединил к приёмнику. Коэн основал собственную компанию и наладил их серийный выпуск. Самодополнительные антенны и антенны на основе фрактальных структур. Наиболее широкое применение в метровом и дециметровом диапазонах для систем радиосвязи и в радиолюбительской практике.
Экономика и финансы А. А. Алмазов в своей книге «Фрактальная теория. Как поменять взгляд на рынки» предложил способ использования фракталов при анализе биржевых котировок, в частности — на рынке Форекс. Bill Williams "Trading chaos. Applying expert techiques to maximize your profits" Фрактальная геометрия при анализе рынков В последнее время растет популярность фракталов у трейдеров и используется для анализа состояния биржевых рынков. Фракталы рынка являются одним из индикаторов в торговой системе Била Вильямса. Считается, что он же впервые и ввел это название в трейдинг. Котировки акций на Нью-Йоркской бирже
Галерея фракталов Фрактал – наслаждение для глаз и чудо компьютерного творчества.
Красота и привлекательность цветов завораживает. И не удивительно, что многие дизайнеры используют их изображения в своих работах. Это же касается и фрактального искусства, которое само по себе является очень разносторонним видом проявления художественного потенциала, с точки зрения неординарных и многочисленных форм, цветовой гаммы, детализации и световых эффектов. А теперь представьте как может выглядеть такая работа в сочетании с красотой цветов. Такой дизайн может выглядеть просто удивительно и волшебно.
Постеры-Фракталы Как известно, каждый человек стремиться украсить свое жилье, добавить одну или несколько деталей, которые впоследствии станут изюминкой дома. Обычно такие штрихи интерьера моментально захватывают внимание гостей. Изобретено новое средство отделки, о котором мало кто знает – фрактальные постеры. Оснастив свой дом такой деталью, Вы сможете преобразить не только внешний вид своего жилища, но и отношение к Вам окружающих людей. Придя в Ваш дом и увидев фрактальный постер, первыми реакциями человека будут удивление и заинтересованность. Постеры-фракталы – это картины, которые можно рассматривать бесконечно. Фрактальные интерпретации выглядят поистине завораживающе.
Итоги работы. В результате своей работы я узнала: 1.Теория фракталов имеет совсем небольшой возраст. 2. Фрактал - самоподобная структура, чье изображение не зависит от масштаба. Это рекурсивная модель, каждая часть которой повторяет в своем развитии развитие всей модели в целом. 3. Сущетвует множество различных фракталов. 4. Можно считать, что самоподобие - один из видов симметрии. 5. Фракталы всё чаще используются в науке. Например, в компьютерных системах, механике жидкостей, медицине, биологии и других.
