Теорема Морли

Реферат по теме:

«Теорема Морли»

Выполнила:

Чеботюк София,

учащаяся 9А класса

МБОУ «Школа № 80 г. Донецка»

Учитель:

Лапко Ирина Валентиновна

Введение:

Теорема Морли — одна из основных теорем в математическом анализе, которая устанавливает условия сходимости последовательности функций. Теорема названа в честь французского математика Анри Леон Морли (1855-1921).
Формулировка теоремы Морли:
Пусть {f_n(x)} — последовательность функций, заданных на интервале [a, b], и существует такая функция f(x), определенная на этом интервале, что
1) Для любого x из [a, b] последовательность чисел {f_n(x)} сходится к f(x);
2) Существует такая функция g(x), также определенная на интервале [a, b], что для любого x из [a, b]
|f_n(x)| ≤ g(x) для всех n,
и интеграл от g(x) сходится.

Тогда для любого x из [a, b] выполняется

|f(x)| ≤ f(x), т.е. функция f(x) абсолютно интегрируема на [a, b].
Доказательство теоремы Морли:
Пусть ε > 0. Так как последовательность функций {f_n(x)} сходится равномерно на [a, b], то существует такое натуральное число N, что для всех n ≥ N и для любого x из [a, b] выполнено |f_n(x) - f(x)| < ε/2. Но из условия 2) теоремы следует, что для всех n и для любого x из [a, b] выполняется |f_n(x)| ≤ g(x). Поэтому для всех n ≥ N и для любого x из [a, b] имеем

|f(x)| ≤ |f(x) - f_n(x)| + |f_n(x)| < ε/2 + g(x) ≤ ε/2 + g(x).

Теперь возьмем интеграл от обеих частей последнего неравенства на интервале [a, b]. Получим:

∫[a,b] |f(x)| dx ≤ ∫[a,b] (ε/2 + g(x)) dx = ε(b - a)/2 + ∫[a,b] g(x) dx.

По условию теоремы интеграл от g(x) сходится, значит, существует такое число C > 0, что ∫[a,b] g(x) dx < C. Тогда

∫[a,b] |f(x)| dx ≤ ε(b - a)/2 + ∫[a,b] g(x) dx < ε(b - a)/2 + C.

Очевидно, что ε(b - a)/2 + C тоже является константным числом. Поэтому мы доказали, что функция f(x) абсолютно интегрируема на [a, b].

Таким образом, теорема Морли позволяет сделать вывод о сходимости последовательности функций и обеспечивает оценку ее абсолютной интегрируемости. Эта теорема имеет большое значение в анализе и используется в различных областях математики и физики.

Применение теоремы Морли при решении задач

Задача 1

 Дано: ΔABC, AZ, CZ, AQ, BQ, CD, BD трисектрисы, QD=12.

Найти: SΔZQD

Решение:

1)По теореме Морли ΔZQD равносторонний так как AZ, CZ, AQ, BQ, CD, BD трисектрисы.

2)По формуле площади равностороннего треугольника S=√3 * QD /4=√3

Ответ:36√3

Задача 2

  Дано: ΔABC равносторонний, AZ, CZ, AQ, BQ, CD, BD трисектрисы.

Доказать: ΔAZQ=ΔBQD= ΔCZD.

Рис.7

Решение:

1)Так как ΔABC равносторонний, то все углы, образованные трисектрисами равны. Следовательно, ZAC=ZAQ=QAB=ZCA=ZCD=DCB=CBD=DBQ=QBA

2)Рассмотрим ΔAZC, ΔBQA и ΔCDB они равны так как AC=AB=BC по свойству равностороннего треугольника

ZAC=ZAQ=QAB=ZCA=ZCD=DCB=CBD=DBQ=QBA Следовательно, ΔAZC=ΔBQA=ΔCDB

3)ΔAZC=ΔBQA=ΔCDB следует AZ=ZC=AQ=BQ=DB=CD

4)Рассмотрим ΔAZQ, ΔBQD и ΔCZD

AZ=ZC=AQ=BQ=DB=CD

AC=AB=BC по свойству равностороннего треугольника

Следовательно, ΔAZQ=ΔBQD= ΔCZD.

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли  внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества.

Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Родился в городке Вудбридж в графстве Саффолк. Родители владели небольшим магазином фарфора.

В 1884 году окончил Кингс-колледж в Кембридже, в 1887 году уехал в США, но оставался британским подданным. До 1900 года преподавал в Хэверфордском колледже (Пенсильвания), потом получил кафедру в Университете Джонса Хопкинса в Балтиморе.

Был широко известен как математик, в 1919—1920 годах был президентом Американского математического общества, а с 1900 по 1921 год — редактором ведущего математического журнала American Journal of Mathematics.

Наиболее известным результатом Фрэнка Морли является знаменитая теорема о трисектрисах его имени, гласящая, что точки пересечения смежных трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника.

Наряду с математикой Морли увлекался шахматами и даже однажды сумел выиграть партию у Эмануила Ласкера, тогдашнего чемпиона мира (и тоже математика).

Умер в Балтиморе.

Три сына Фрэнка Морли также достаточно известны: романист Кристофер Морли, журналист Феликс Морли, обладатель престижной Пулитцеровской премии и математик Фрэнк Морли-мл.

Доказательства теоремы Морли

У этой теоремы есть, к сожалению, один существенный «недостаток». До недавнего времени были известны лишь довольно сложные доказательства этой теоремы. Ниже предлагается три коротких доказательства, найденных не так давно.

Доказательство теоремы Морли

Пусть АВС – данный треугольник, а треугольник XYZ образован трисектрисами углов данного треугольника (рис.1). Докажем, что треугольник XYZ равносторонний.

Рис. 1 Рис.2

Введем обозначения: ∠А = 3α, ∠В = 3β, ∠С = 3γ. Рассмотрим произвольный равносторонний треугольник A1B1C1 (рис. 2).

Построим на стороне B1C1 треугольник A2B1C1 так, чтобы ∠A2B1C1=γ+600, а ∠A2C1B1=β+60°. Очевидно, что ∠ B1A2C1= α , так как α + β + γ = 60°.

Точно так же построим еще два треугольника A1C1B2 и A1B1C2 (см. рис.2).

Лучи A2 B1 и B2 A1 пересекутся в некоторой точке М, так как сумма углов B1A2B2 и A1B2A2 меньше 180 градусов. При этом для треугольника A2B2M выполняются условия задачи 3. Поэтому A2C1 будет биссектрисой угла B1A2B2, а B2C1 будет биссектрисой угла A1B2A2. Это означает, что ∠ C1A2B2 = α, а ∠C1B2A2= β.

Аналогичный результат получается и в остальных случаях (для A2B1, C2B1, C2A1 и B2A1).

Таким образом, оказывается, что в треугольнике A2B2C2 проведены трисектрисы, и они при своем пересечении определяют равносторонний треугольник. Но очевидно, что треугольники A2B2C2 и АВС подобны (по углам). Следовательно, и треугольник XYZ также равносторонний. Теорема Морли доказана. ​​​​​​​

Вывод:

В результате выполнения работы была достигнута поставленная цель изучить одну из самых элегантных теорем геометрии - теорему Морлея. Была исследована история открытия этой теоремы. Рассмотрены несколько современных вариантов ее доказательства. На различных задачах были исследованы возможности практического применения данной теоремы.

В ходе выполнения работы я узнала много нового из истории изучения трисектрис треугольника, открытии теоремы Морли, о классических и современных способах ее доказательства.

Проведенное исследование показало, что вопрос о трисектрисах треугольника и их свойствах изучен еще не всесторонне. Полученный продукт индивидуального проекта, представляет интерес с точки зрения расширения наших знаний о математике.