Удивительные методы умножения: исследование и их применение.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа № 73 с углубленным изучением предметов эстетического цикла г. Владивостока»

Удивительные методы умножения: исследование и их применение.

Выполнил: Сиверский Роман Денисович, ученик 5 класса

Руководитель работы: Саяпина Ирина Александровна

2024 год

г. Владивосток

Введение.

Современному человеку в повседневной жизни невозможно обойтись без вычислительных навыков. Именно этому умению нас учат на уроках математики – складывать, вычитать, умножать и делить. Делаем это традиционным способом. В рамках проекта мы рассмотрим разнообразные методы умножения, включая алгоритмы из различных культур, традиционные и старинные приёмы, а также их использование в повседневной жизни. Погружаясь в мир удивительных методов умножения, мы сможем расширить свои знания о математике, развить навыки анализа и решения задач, а также открыть для себя новые способы применения математики в реальном мире.

Цель исследования: выявление нетрадиционных методов умножения для изучения возможности их применения.

Задачи:

Найти как можно больше интересных способов умножения;

Выбрать для себя наиболее простые и эффективные способы умножения и использовать их при счёте;

Познакомить с этими методами других школьников.

Не секрет, что многие обучающиеся, имея в свободном доступе различные современные вычислительные машины, а также мобильные приложения, используют их для выполнения арифметических действий с многозначными числами. Это приводит к тому, что учащиеся затрудняются производить какие-либо расчеты, не имея под рукой различных таблиц и калькулятора. Знание простых приёмов вычисления даёт возможность не только производить быстро простые расчёты в уме, но и контролировать, оценивать, находить и исправлять ошибки в результате вычислений. Изучение нестандартных методов умножения помогает развить умение анализировать и решать задачи, а также способствует развитию креативного мышления.

Изучение методов умножения из различных культур позволяет понять разнообразие математических подходов и способствует межкультурному образованию. Это помогает учащимся понять и оценить различия между математическими системами различных народов.

Методика исследования.

В течении месяца я изучал различные способы умножения. В процессе исследования изучены разные источники, рассмотрены нестандартные способы умножения и выявлено, что современный используемый алгоритм умножения натуральных чисел – не единственный. С помощью анкеты, созданной в Яндекс-форме, провел онлайн опрос обучающихся 5-6 классов (Приложение 1). Этот опрос показал, что современные школьники не знают других способов умножения чисел, кроме традиционного.

Результаты анкетирования:

Немного истории.

Наблюдая за тем, как мама легко и просто готовит ужин или завтрак, я иной раз задумываюсь над тем, скольких трудов стоило нашим предкам, даже не очень отдаленным, выполнять этот процесс. Но мало кто подозревает, что нынешние способы выполнения арифметических действий тоже не всегда были так просты и удобны, так прямо и быстро приводили к результату. Предки наши пользовались гораздо более громоздкими и медленными приемами. И если бы школьник XXI века мог перенестись за четыре, за три века назад, он поразил бы наших предков быстротой и безошибочностью своих арифметических выкладок.

Умениями вычислять люди овладевали постепенно с давних времен. Представьте себе: земледельцы собрали с одного участка 25 мерок зерна, а с другого – 15 и засыпали в одно хранилище. Им надо знать, сколько всего у них зерна. Можно, конечно, перемерить и посчитать, но это неудобно и долго. Как сделать проще, вы уже знаете: надо найти сумму двух чисел. Такие жизненные задачи (а они встречались на каждом шагу) принуждали человека изобретать правила выполнения действий над ними. Если с операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена, то с операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай «сам-двадцать» (в двадцать раз больше собрали, чем посеяли), «сам-сорок» и т.д.

Сами названия арифметических операций показывают, с какими действиями над предметами они связаны. Но должны были пройти тысячелетия, пока люди поняли, что складывать, вычитать, умножать и делить можно не сами совокупности предметов, а числа.

«Умноженье – моё мученье, а с делением – беда» - говорили в старину. Тогда в ходу было много различных способов умножения, как теперь, одного проверенного практикой приема для каждого действия. Приемы были один другого запутаннее, твёрдо усвоить которые не в силах был человек средних способностей. И все эти приемы умножения – «шахматами, или органчиком», «загибанием», «по частям, или в разрыв», «крестиком», «решеткой», «задом наперед» и т.п., соперничали друг с другом в громоздкости и сложности.

Давайте рассмотрим наиболее простые и интересные способы умножения чисел, который пришли к нам из древности.

Египетский способ умножения.

Этот способ умножения дошел до нас из глубочайшей древности и из отдаленной страны – Египта. Сохранились документы – папирус, который можно считать первой «ученической тетрадкой» того времени, так называемый «папирус Райнда», относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до нашей эры.

Умножение проводилось последовательным удвоением первого множителя, а затем составлялась сумма так, чтобы число удвоений давало второй множитель. Примеры представлен на Рисунке 1.

Рисунок 1. Египетский способ умножения.

Точки впереди чисел обозначают число единиц множителя; знаком + отмечаем числа, которые надо сложить.

Русский «крестьянский» способ умножения.

Любопытно, что вышеупомянутый способ умножения применялся через несколько тысячелетий русскими крестьянами. Трудно сказать, как этот способ появился на Руси, одними ли нашими крестьянами использовался такой древний способ умножения; английские ученые называют его именно «русским крестьянским способом»; в Германии крестьяне также называют его «русским».

Рисунок 2. Русский «крестьянский» способ.

Сущность его в том, что умножение любых чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Например, нам необходимо умножить 64 на 17. Составляется два столбца чисел – один с умножением на два, начиная с числа 17, другой с делением на два, начиная с числа 64. Причем не важно какое число будем умножать, какое делить. Один множитель делим до тех пор, пока в результате деления не получится один. Этот пример представлен на Рисунке 2.

Смысл этого способа в том, что произведение пар чисел каждой строки дают одно и тоже число: 16 ∙ 68 = 4 ∙ 272 = 1 ∙ 1088 = 1088.

Рисунок 3. Русский «крестьянский» способ.

Но как умножить числа, если множитель нельзя поделить на два нацело? Поступали так же, как и в предыдущем примере: только в случае нечетного числа откинуть единицу и делить остаток пополам; но зато к последнему числу правого столбца нужно прибавить все те числа этого столбца, которые стоят против нечетных чисел левого столбца: сумма и будет искомым произведением. Для удобства можно зачеркнуть ненужные для сложения строки. Весь процесс на Рисунке 3.

Китайский метод.

На протяжении столетий в каждом уголке мира развивались свои особые способы счета и умножения. Китай не стал исключением. Самобытная культура этой страны породила уникальные системы письменности и счета, особенностью которых является визуализация. Подобно тому, как один иероглиф позволяет носителю языка увидеть целую картину со множеством смыслов, китайский способ умножения наглядно иллюстрирует процесс вычисления произведения двух чисел.

Этот метод изучают в начальной школе в Китае, благодаря чему каждый маленький китаец может умножить друг на друга двухзначные и трехзначные числа, даже не зная таблицы умножения. Суть китайского способа умножения заключается в начертании линий и подсчете их пересечений. Проще всего понять принцип на примере.

Рисунок 4. Китайский метод.

Допустим, нужно найти произведение чисел 12 и 13. Чтобы изобразить число 12, рисуем одну линию для десятков и две – для единиц. Аналогично чертим линии для второго множителя 13, но уже горизонтально, чтобы черты образовали своеобразную сетку. Стоит заметить, что рисовать начинают именно с десятков, а не с единиц, и движутся из левого верхнего угла в нижний правый. Теперь необходимо найти пересечения получившихся линий. Затем подсчитываем количество пересечений, мысленно разделяя сетку на три участка: нижний правый угол, диагональ и верхний левый. Сумма точек указывает на единицы, десятки и сотни соответственно. В верхнем левом углу всего одно пересечение, значит в ответе будет одна сотня. По диагонали насчитывается 2+3=5 пересечений, это значение десятков. И наконец, в левом нижнем углу 6 пересечений, это число единиц. Ответ 156. Во всей красе этот способ вы можете увидеть на Рисунке 4.

Но как быть, если при подсчете точек в каком-нибудь из разрядов их оказывается больше 10? Китайский способ умножения предусматривает и переход через десяток.

Рисунок 5. Китайский метод (с переходом через десяток).

В качестве примера найдем произведение 24 × 53. Как и в предыдущем примере, изображаем линии для десятков и единиц каждого множителя в виде сетки. Находим места пересечения линий. Теперь мысленно разделим сетку на участки и найдем сумму пересечений в каждом из них. В правом нижнем углу образовалось 12 точек, по диагонали – 26, в левом верхнем углу – 10. Чтобы избавиться от перехода через десяток, нужно применить особое правило. Начнем с единиц: 12 точек пересечения – два оставляем в разряде единиц, а единицу «перебрасываем» к десяткам. Теперь десятков стало 26 + 1 = 27, семерка остается в разряде десятков, а двойку снова «перебрасываем», но уже к сотням. В последнем разряде получилось 10 пересечений, плюс еще 2, в сумме 12. Таким образом, ответ состоит из 12 сотен (то есть одна тысяча двести), 7 десятков и 2 единицы. Результат 1272. Этот пример изображен на Рисунке 5.

Способ умножения Мухаммеда из Хорезма.

Арабский математик Мухаммед ибн Муса, родившийся в IX веке новой эры в среднеазиатском государстве Хорезме, в «Книге об индийском счете» описал правила, по которым надо выполнять арифметические действия. В течение столетий ученые совершенствовали предложенные ал-Хорезми методы вычисления. Существовало несколько десятков способов умножения и деления многозначных чисел.

Для умножения чисел Мухаммед их Хорезма предлагал «метод решетки». Стоит отметить, что итальянский математик Лука Пачоли в своем трактате «Сумма знаний по арифметике, отношениям и пропорциональности» (1494 г.) описал подобный способ и назвал метод «ревность».

Рисунок 6. Способ умножения «решётка».

В чем он заключается. Пусть нам надо умножить 427 на 39. Чертится таблица, как на Рисунке 6, и записывается над ней число 427 слева направо, а справа от нее – число 39 сверху вниз. В каждую клеточку запишем произведение цифр, стоящих сверху и слева. При этом цифру десятков произведения напишем над косой чертой, а цифру единиц – под ней. А теперь необходимо сложить числа в каждой косой полосе, выполняя эту операцию справа налево. Если сумма окажется меньше 10, то ее пишут под нижней цифрой полосы. Если же она окажется больше чем 10, то пишут только цифру единиц суммы, а количество десятков прибавляют к следующей сумме. В результате у нас получается ответ 16653. На Рисунке 6 наглядно представлен этот метод.

В XVI веке шотландский барон Джон Непер, сделавший ряд открытий в математике, разрезал таблицу умножения на полоски. Полоски он наклеил на дощечки по одной для каждой цифры и изготовил в нескольких экземплярах. Результаты умножения двух чисел в ячейках таблицы так же были разделены косой чертой на цифры десятков и единиц, как в методе решетка. Я решил повторить этот процесс учитывая современные технологии. Напечатал таблицу умножения, разрезал ее и заламинировал. В таком виде полоски известны под названием палочек Непера (Приложение 2).

Приемы ускоренного умножения.

Во всех вышеупомянутых способах умножения мы могли умножать числа с разным количеством единиц в разрядах, но есть еще один простой способ умножения, который настолько облегчает вычисления, что его легко запомнить и использовать при обычных расчетах. Это прием перекрестного умножения, удобный при действии с двузначными числами. Способ не новый; он восходит к грекам и индусами и в старину назывался «способом молнии», или «умножение крестиком».

Допустим нам надо перемножить 34 на 23. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим

3 4

2 3

Теперь последовательно выполняем следующие действия:

4 ∙ 3 = 12, 2 это последняя цифра результата и единицу запоминаем.

3 ∙ 3 = 9, 4 ∙ 2 = 8, 9 + 8 = 17, последняя цифра семь, да еще единица в уме, получаем 8 – средняя цифра результата. Единицу также запоминаем.

3 ∙ 2 = 6, да еще удержанная единица в уме, имеем 7 – это первая цифра произведения. Получаем все цифры произведения 7, 8, 2 - 782.

После непродолжительной тренировки прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применять в тех случаях, когда числа близки к 100.

Предположим, что требуется умножить 82 на 96. «Дополнения» для 82 до 100 будет 18, 96 – 4. Действия производят по следующей схеме:

множители: 82 и 96

дополнения: 18 и 4.

82 – 4 = 78, первые две цифры произведения.

18 ∙ 4 = 72 – последние цифры.

7800 + 72 = 7872.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т.е. из 82 вычитают 4, или из 96 – 18. В том и другом случае имеем 78; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 18 ∙ 4 = 72. Получаем результат 7872.

По другому пути пошли в Вавилоне. Так как у жителей Вавилона было 59 различных чисел первого разряда (тогда нуля они еще не знали), то таблица умножения содержала слишком много произведений и запомнить ее не было никакой возможности. Поэтому они сосчитали раз навсегда с помощью повторного сложения произведения и полученные результаты занесли в таблицы. При умножении каждый раз смотрели в таблицы умножения и находили в них ответ. Вообще вавилоняне любили составлять таблицы. У них были таблицы квадратов и кубов, обратных чисел и даже сумм квадратов и кубов.

А как же считали греки и римляне? Они производили вычисления с помощью специальной счетной доски – абака. Счет на абаке сменил более древний счет на пальцах. Древние египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять приходящиеся с него налоги по-старинному, на пальцах. Вероятно, счет на абаке казался ему слишком сложным.

Рисунок 7. Способ умножения на пальцах.

Приверженцы старого метода счета стали его усовершенствовать. Они научились даже умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, на сколько первый множитель отличается от числа 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого считали количество вытянутых пальцев, это были десятки, и прибавляли произведение загнутых пальцев на первой и второй руке. На Рисунке 7 показано умножение 8 на 9.

Хорошо ли мы множим?

Вы не можете выполнять умножение многозначных чисел, - хотя бы даже двузначных, - если не помните наизусть всех результатов умножения однозначных чисел, т.е. того, что мы называем таблицей умножения. Нас со второго класса заставляли учить наизусть эту таблицу, но некоторые ученики и в 6 классе ее знают плохо. Это можно увидеть по результатам онлайн опроса. А вот если бы мы знали простые и интересные способы умножения однозначных чисел раньше, может сейчас и не возникало бы столько проблем при совершении арифметических действий, таких как умножение и деление. Один из таких приемов описан выше, вот еще один.

Умножение однозначного числа на 9 на пальцах. Положите обе руки на стол ладонями вниз. Тогда мизинец левой руки пусть будет первым пальцем, безымянный – вторым, средний – третьим и т.д. Переходим на правую руку, счет продолжается; мизинец правой руки – десятым пальцем обеих рук. Эти пальцы являются безошибочным счетчиком.

Пример: 9 умножить на 6. Отсчитываем слева направо шестой палец, загибаем его. От шестого пальца влево 5 пальцев, вправо – 4, значит, 54. Потренируйтесь в таком умножении и можно научить тех, кто плохо знает таблицу умножения на 9. Такой способ не все учителя начальной школы даже знают.

Интересные есть приемы устных и полуписьменных вычислений.

При умножении числа на 11 можно применить простой и удобный способ, основанный на правилах письменного умножения двузначного числа на 11, когда сумма чисел множимого меньше 10 – в произведении цифры множимого как бы раздвигаем и между ними вписываем сумму цифр этого числа. Например, 43 умножить на 11: (4 + 3 = 7), 43 ∙ 11 = 473. Также, если сумма цифр 10 или больше десяти, применяем тот же алгоритм, только между цифрами записываем единицы получившейся суммы, а десятки добавляем к первой цифре. Пример: 73 ∙11: (7 + 3 = 10), нуль пишем, единица в уме, раздвигаем 7 и 3, между ними пишем 0, а единицу добавляем к 7 – 73 ∙ 11 = 803.

При умножении двузначного на 111, находим сумму цифр данного двузначного числа, раздвигая цифры множимого, дважды пишем сумму цифр данного двузначного числа. 35 ∙ 111, 3 + 5 = 8, получается 3885.

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10 и разделить на 2. 145 ∙ 5, 145 ∙ 10 = 1450 и 1450 : 2 = 725.

Результаты исследований.

Рисунок 8. Результаты опроса обучающихся 5-6 классов.

Для начала следует отметь, все эти методы умножения нестандартны и могут быть полезными для обучения математике. Я в своей школе показал обучающимся 5 и 6 классов три способы умножения: русский «крестьянский», метод «решеткой» и китайский метод умножения, и провел устный опрос, какой из всех показанных мною методов умножения им больше всего понравился. Результаты опроса вы можете увидеть на Рисунке 8.

Китайский метод может быть полезен для учащихся, так как он позволяет легко выполнять умножение больших чисел без необходимости запоминания таблицы умножения.

«Крестьянский» (русский) метод умножения, также известный как «двоичное умножение», основан на разложении множителей на степени 2 и последующем сложении со сдвигом. Этот метод также может быть удобен для учащихся, поскольку он позволяет выполнять умножение с помощью простых операций сложения, что может быть более интуитивным для некоторых людей.

Метод умножения решеткой основан на построении таблицы, в которой умножаемые числа располагаются вдоль сторон таблицы, а затем производится поэлементное сложение результатов. Этот способ может быть полезен для визуализации процесса умножения и понимания его шагов.

В целом, все эти методы имеют свои преимущества и недостатки. Их сравнение позволяет выявить различные подходы к умножению и помогает определить оптимальные методы обучения математике, основанные на нестандартных способах умножения.

Выводы.

В результате сравнения различных нестандартных способов умножения можно сделать вывод, что нет одного единственного способа умножения чисел, который нравился бы всем. Но самые простые способы это те, которые мы изучаем в школе – это умножение столбиком и умножение на 9 на пальцах. Может потому, что они для нас более привычные.

Некоторые методы, такие как умножение по методу визуализации, могут быть более понятными для учащихся и помочь им лучше понять процесс умножения. Другие методы, такие как использование матриц, могут быть более эффективными с точки зрения вычислительной сложности и применимости к более широкому спектру задач.

Важно отметить, что разнообразие нестандартных способов умножения может быть ценным для обучения математике, поскольку оно позволяет учащимся выбирать подход, который наилучшим образом соответствует их индивидуальным потребностям и стилю обучения. Исследования в этой области могут помочь определить оптимальные методы обучения, основанные на необычных способах умножения, и способствовать развитию математических навыков обучающихся.

Заключение.

В ходе выполнения проекта мною были исследованы различные методы умножения, отличные от традиционного умножения в столбик. Были изучены алгоритмы умножения по китайскому методу, способу использования таблиц, а также другие нестандартные подходы. Познакомил своих одноклассников и учащихся 6 классов с разными: простыми и необычными приемами умножения. Ребят заинтересовала эта тема. Поэтому можно сделать вывод, что материалы данного исследования имеют практическую значимость. Знакомство с новыми нетрадиционными способами умножения будет интересно и учащимся начальной школы.

Свой результат исследования и самые интересные способы нахождения произведения двух чисел отразил в брошюре (Приложение 3). В дальнейшем хочу создать сборник по различным методам умножения и примеры их использования.

Результаты исследования показывают, что существуют разнообразные способы умножения, которые могут быть полезны для обучения математике и развития логического мышления у обучающихся. Дальнейшие исследования в этой области могут привести к разработке новых методов обучения математике и повышения интереса к этой науке.

Список используемой литературы.

Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. – 287 с., ил.

Перельман Я.И. Занимательная арифметика. – М.: Триада - Литера, 1994. – 168 с., ил.

Акимов С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997 – 608 с., ил.

Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав. ред. Э68 М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 1999. – 688с., ил.

Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты. – М.: Просвещение, 1993. – 224 с.: ил.

https://kitaigid.ru

Приложение 1.

Приложение 2.

Приложение 3.