Группы задач для подготовки к ЕГЭ. Задачи № 7.

Задачи типа №7 МБОУ «Паньшинская СШ» Учитель математики Бондарева Т. М. Группы задач для подготовки к ЕГЭ

Задачи группы №7 связаны с вычислением производной. С исследованием графиков производной функции либо самой функции, определением экстремумов по заданному графику.

Типичные ошибки при выполнении заданий №7: Обучающие часто путают графики функции и ее производной; Допускается много ошибок в нахождении точек максимума и минимума. Многие считают, что если функция убывает, значит при пересечении о осью абсцисс - это точка минимума, на самом деле - это точка максимум, т.к. график идет с положительной области в отрицательную область. Выпускники не внимательно следят за промежутками, на которых требуют что-то найти. Иногда этот промежуток никто не замечает, а значит решает задачу относительно всего зарисованного графика, а не заданной его части.

Задача1. На рисунке изображен график функции у=f(х),определенной на интервале (-6;6). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у=-5. Теоретическая основа: уравнение прямой; уравнение касательной; условие параллельности двух прямых.

Решение: Так как прямая у=-5 (у=kx+b, k=0) имеет коэффициент k равный нулю, то и угловой коэффициент касательной (y=f1(x0)(x-x0)-f(x0), k=f1(x0)) тоже должен быть равен нулю ( условие параллельности двух прямых). Считаем количество экстремумов (точек максимума и минимума) функции. В данном случае их количество равно 4 (синие точки). Ответ:4.

Задача 2. На рисунке изображен график у=f 1(х) - производной функции f(х), определенной на интервале (-9;8).В какой точке отрезка[-8,-4] f(х) принимает наименьшее значение. Теоретическая основа: достаточный признак возрастания и убывания функции с помощью производной; правило отыскания наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции.

Решение: На отрезке [-8;-4] график производной функции лежит ниже оси ОХ, значит график функции убывает, и наименьшее значение график принимает в точке -4 (в правом конце указанного промежутка). Ответ: -4.

Задача 3. На рисунке изображен график производной функции f(х), определенной на интервале (-5;5). Найдите количество точек экстремума функции f(х) на отрезке [-4;4] Теоретическая основа: достаточный признак возрастания и убывания функции с помощью производной:

Теоретическая основа: Функция убывает на промежутке, если на этом промежутке f1(x)˂0, т.е. график производной функции расположен ниже оси ОХ. Функция возрастает на промежутке, если на этом промежутке f1(x)˃0, т.е. график производной функции расположен выше оси ОХ. признаки максимума и минимума функции: Если в точке х0 производная меняет знак с плюса на минус, то х0 есть точка максимума. Если в точке х0 производная меняет знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

Решение: Рассмотрим отрезок от -4 до 4: Количество точек экстремума - есть количество точек пересечения графика производной функции с осью ОХ. Таких точек три. Ответ: 3

Задача 4. На рисунке изображен график у=f 1(х) - производной функции f(х), определенной на интервале (-9;2). Найдите промежутки убывания функции f(х). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки. Теоретическая основа: Функция убывает на промежутке, если на этом промежутке f1(x)˂0, т.е. график производной функции расположен ниже оси ОХ.

Решение: В нашем случае таких промежутка два: первый содержит целую точку -8, а второй содержит целые точки -4, -3, -2. Найдем их сумму: -8-4-3-2=-17 Ответ: -17

Задача 5. На рисунке изображен график функции у=f(х) и касательная к нему в точке с абсциссой х. Найдите значение производной функции f(х) в точке х0. Решение: Данную задачу можно решить двумя способами: Геометрический смысл производной По определению производной.

1 способ: Значение производной в точке x0 совпадает с тангенсом угла наклона (он же – угловой коэффициент) касательной в точке x0. Эта касательная изображена на рисунке. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным и имеют координаты (0, -2) и (5,8) соответственно. Стороны прямоугольника, у которого эти точки являются противоположными вершинами, имеют длины 5 – 0 = 5 (горизонтальная) и 8 – (-2) = 10 (вертикальная). Тангенс угла наклона касательной t = 10/5 = 2