12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
Журавлева Марина Валентиновна216 работаю учителем математики в средней школ. Участвую со своими учениками в различных конкурсах Россия, Тамбовская обл., Староюрьевский район |
Интересно о квалрате
Однажды в мои руки попала газета, в которой была напечатана популярная игра Судоку. И у меня появилось большое желание попробовать самой составить такой квадрат. Поначалу я долго мучалась в его составлении, но потом решила покопаться в специальной литературе и тщательно разобраться в этой головоломке. В результате чего я выяснила, что задачи на составление магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сих пор. А ещё известно о том, что магического квадрата 2х2 не существует. Также меня увлекло название этих квадратов. В них, что есть действительно загадочное, завораживающее, магическое.
На мой взгляд, магические квадраты – это фокусы, в создании которых принимало участие на протяжении сотен лет великое множество людей.
Меня заинтересовало, а действительно ли они магические и как они появились? Я решила провести своё исследование.
Цель моего исследования выяснить различные способы составления магических квадратов и изучить области их применения.
В связи с вышесказанным, поставила перед собой следующие задачи:
узнать о возникновении, определении, видах магических квадратов;
изучить области применения магических квадратов;
познакомиться с историей магических квадратов;
подобрать задачи на данную тему.
Данное исследование особенно актуально, на мой взгляд, в настоящее время, когда интерес к чему неизведанному усиливается, а умение составлять магические квадраты помогает в решении различных головоломок и олимпиадных задач по данной теме, и так же повышает интерес к изучению математики.
В ходе работы по данной теме я выдвинула следующую гипотезу: существуют ли способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.
Объектом исследования являются магические квадраты.
Предмет исследования: влияние головоломок на развитие памяти и успеваемости учащихся.
Методы исследования, которые были использованы мною это частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.
Я выяснила, что одной из самых интересных математических головоломок считаются магические квадраты. Цифровой квадрат называют магическим, если составляющие его числа не повторяются и дают при определенных сочетаниях заранее задуманный составителем результат. До недавнего времени считалось, что
Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник, является популярная игра Судоку. Эту головоломку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира. Ее правила предельно просты: дан квадрат из 81 клетки, который в свою очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке и столбце большого квадрата, а также внутри каждого из малых квадратов числа не повторялись. Часть клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить самостоятельно, используя логику и расчет.
Для того чтобы выяснить, знакомы ли учащиеся нашей школы с выше названной игрой, я провела опрос. Было опрошено 96 учащихся 5-11 классов. И результаты опроса выглядят следующим образом.
Опрос показал, что 36 учеников не только имеют представление о магических фигурах, но и пробовали разгадать их, а вот 60 учащихся не знают и не слышали ничего об этом. Данный опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. Но, тем не менее, видно желание учеников познать для себя новые способы использования математических операций.
Прежде чем говорить о магических квадратах, необходимо упомянуть и о магии чисел.
Числа для каждого из нас обладают определенными потребительскими свойствами. Мы используем числа для количественной оценки окружающих нас явлений и процессов. И, пожалуй, только один человек - величайший ученый древности - Пифагор, дал людям учение о том, что числа имеют более сокровенный смысл. Пифагор учил, что "все есть число".
Пифагор учил, что начало и конец всего сущего находится в некой абстрактной величине, называемой Монадой. Пифагорейцы представляли Монаду фигурой, состоящей из десяти точек - узлов. Эти десять узлов, называемые пифагорейцами тетрактисом, образуют девять равносторонних треугольников, как бы олицетворяющих полноту всемирной пустоты и Животворящий крест (рис. 1).
Именно Монада стала стартовой точкой в изучении магических фигур.
Рис. 1
Магический квадрат 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман Ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3 (рис.2):
4
9
2
3
5
7
8
1
6
Рис. 2
Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек (рис. 3а), украшавший панцирь огромной черепахи, которую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй мифический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.
а) б)
Рис. 3
Константа квадрата Ло-шу равна 15. Это единственный квадрат третьего порядка (рис. 3б), который можно построить из натуральных чисел от 1 до 9, если не использовать преобразований.
Астрологи средних веков приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные и волшебные свойства. Современных математиков и программистов интересуют формальные методы составления магических квадратов.
В начале XVI в знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Меланхолия» (рис. 4).
Рис. 4
Квадрат Дюрера имеет размер 4х4 и составлен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрального квадрата (рис. 5а), а также образующих четыре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 5б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 год.
Европейцев с удивительными числовыми квадратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержала примеры магических квадратов разного порядка, составленных самим автором.
Я узнала из Интернета, что в XVI-XV1I вв. составлением магических квадратов занимались с таким же увлечением, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг, с которыми я знакомилась, узнала о том, что магические квадраты впервые предстали как математическая забава.
В наше время магические квадраты продолжают привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной математике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специальные знания, сколько смекалка и умение подмечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит прекрасной «гимнастикой для ума».
Я решила выяснить «Хотят ли мои одноклассники научиться решать магические квадраты?»
И их ответы меня удивили. Половина из них хотела этому научиться.
а) б)
Рисунок 1.3
Доказано, что магический квадрат можно построить для любого n, начиная с n = 3. Существуют магические квадраты, удовлетворяющие ряду дополнительных условий, например магический квадрат с 64 клетками), который можно разбить на 4 меньших, содержащих по 16 клеток квадрата, причём в каждом из них сумма чисел любой строки, столбца или большой диагонали одна и та же (= 130).Составление магических квадратов - классический образец математических развлечений и головоломок.
Существует ещё несколько видов квадратов, которые удовлетворяют различным дополнительным условиям.
Рис. 7
Так, у изображенного на рис.7 магического квадрата 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.
Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким преобразованиям, как поворот и симметрия.
Имеется и другой квадрат пятого порядка. Число 13 - непарное и помещается в центре квадрата (рис. 8). Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если пронумеровать все
клетки по порядку построчно сверху вниз).
В этом квадрате я нашла, еще одну интересную особенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «разломанных» диагоналях являются членами арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=5, совпадающей с порядком квадрата (кстати, их суммы обладают таким же свойством).
Возникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них ответы давно найдены, на другие только предстоит найти. Хочу остановится подробнее на некоторых проблемах.
Почему не существует магический квадрат 2-го порядка?
Квадрат размером 2x2 должен был бы состоять из чисел 1, 2, 3, 4, а его постоянная - равняться 5. У такого квадрата по две строки, столбца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать невозможно! Ведь таких комбинаций всего две: 1+4 и 2 + 3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обоих столбцах, либо по диагоналям (рис. 9), но никак не одновременно.
1
4
2
3
1
3
4
2
1
2
3
4
Рис. 9
Рассматривая магические квадраты разного порядка, я указала их постоянные, которые, однозначно определяются размером соответствующей таблицы. Конечно, при наличии квадрата для небольших значений n сумму можно вычислить непосредственно. Но даже нескольких приведенных ранее примеров достаточно, чтобы понять, что с увеличением n она быстро растет.
Поэтому, для удобства вычисления суммы квадрата любого порядка выведена общая формула. Пусть в таблице размером n х n располагаются натуральные числа от 1 до n!. Их сумма S равна 1+2+3+…+n=((1+n2)* n2)/2.
Обозначим постоянную магического квадрата буквой s. Тогда
S=s*n= ((1+n2)* n2)/2
откуда s = ((1+n2)* n2)/2.
С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты. Наибольший практический интерес представляют универсальные методы, которые не зависят от порядка магического квадрата. Такие методы известны для магических квадратов нечетного порядка.
Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев.
Интересны и другие задачи на построение магических квадратов: состоящих из заданных чисел, обладающих определенными свойствами и т.д. Такова, например, задача на составление квадратов из простых чисел,
Рис. 21 Рис. 22
Все подобранные числа заканчиваются цифрой 7. Сумма чисел, стоящих, в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях таблицы, равна 798. Ее нельзя вычислить с помощью формулы постоянной s магического квадрата, поскольку числа не являются членами арифметической прогрессии, и это осложняет поиски решения (рис. 21).
На рис. 22 изображен ещё один квадрат из простых чисел: одно- и двузначных. Его постоянная равна 120. Трудней построить магический квадрат из первых п2 простых чисел. В начале XX в. было доказано, что наименьший такой квадрат имеет размер 12 х 12. Правда, при его составлении было сделано исключение: число 2 заменено единицей.
Иногда рассматривают магические квадраты не с суммами, а с произведениями чисел. Например, изображенный на рис. 23 квадрат третьего порядка составлен из первых девяти членов геометрической прогрессии 1, 2, ... . В нем произведения чисел по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы и равны 4096. Легко видеть, что данный квадрат является симметрическим: произведение двух любых чисел из центрально-симметричных клеток равно 256.
Можно рассматривать трехмерные фигуры из чисел, в частности магический куб – пространственный аналог магического квадрата. Подобный куб размером n х n х n должен быть заполнен натуральными числами от 1 до n3, суммы которых к каждой строке и каждом столбце произвольного слоя, а также на любой из четырех диагоналей куба одинаковы.
Практическая часть. Я провела ряд исследований, которые помогли мне доказать выдвинутую ранее гипотезу. Но, во-первых, хотелось бы выяснить справедливость утверждения о том, что головоломки способствуют развитию логического мышления, улучшению памяти, внимания.
С того дня, когда я начала упорно заниматься магическими квадратами прошло немного времени. Нужно сказать, что это была увлекательная и интересная работа. Шаг за шагом я окуналась с головой в чудесный мир волшебства с одной стороны и математической точности и гармонии с другой, научилась отличать закономерности в составлении тех или других головоломок.
Считаю, что в своей работе мне удалось подтвердить то, что в магических квадратах нет магии, а это простые математические расчеты.
Таким образом, по результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы:
1. У чисел есть своя собственная жизнь и свои законы.
2. Магическим квадратом n-го порядка называется квадратная таблица размером n х n, заполненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.
3. Каждый квадрат, определённого порядка строится по своей методике.
4. У каждого квадрата свои свойства и тайны.
5. Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся.
7.Судоку развивает мышление и логику в каждом из нас. Проведенные исследования доказали улучшение памяти, мышления, а также препятствие развитию и даже излечение заболеваний связанных с головным мозгом! Поэтому, ученые рекомендуют ежедневно решать головоломки судоку.
Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришла к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Используя один из данных методов можно заполнить квадрат любого размера. Я составила несколько квадратов разного размера. В результате работы я подтвердила гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.
Этот проект можно использовать на внеклассных занятиях для более широкого кругозора учеников, и как разминочные задания к началу урока, при подготовке к олимпиадам и интеллектуальным соревнованиям по математике.
Информационные источники
1. Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3
2. Энциклопедический словарь юного математика: Сост. Э – 68 А. П. Савин – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.
3. Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4
5. Заславски К. Занимательная математика / Пер. с англ. П. А. Самсонов. — Мн.: ООО «Пупурри», 2005. — 208 с.: ил.
6. Рессел К., Картер Ф. Числовые ребусы / Пер. с англ. — Мн.: ООО «Пупурри», 1996. — 182 с.: ил.
7. Интернет - ресурсы.
8. Л.Ф. Пичурин. «За страницами учебника алгебры». М.: «Просвещение», 1990.
9. Интернет – ресурсы.
10. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. 1985.