Исследовательская работа «Интересно о квадрате»

 Введение

Однажды в мои руки попала газета, в которой была напечатана популярная игра Судоку. И у меня появилось большое желание попробовать самой составить такой квадрат. Поначалу я долго мучалась в его составлении, но потом решила покопаться в специальной литературе и тщательно разобраться в этой головоломке. В результате чего я выяснила, что задачи на составление  магических квадратов интересовали математиков с древнейших времен. Однако полного описания всех возможных магических квадратов не получено и до сих пор. А ещё известно о том, что магического квадрата  2х2 не существует. Также меня увлекло название этих квадратов. В них, что есть действительно загадочное, завораживающее, магическое.

На мой  взгляд, магические квадраты – это  фокусы, в создании которых принимало участие на протяжении сотен лет великое множество людей.

Меня заинтересовало, а действительно ли они магические и как они появились? Я решила провести своё исследование.

Цель моего исследования выяснить различные способы составления магических квадратов  и изучить области их применения.

В связи с вышесказанным, поставила перед собой следующие задачи:

   узнать о возникновении, определении, видах магических квадратов;

   изучить области применения магических квадратов;

   познакомиться с историей магических квадратов;

   подобрать задачи на данную тему.

Данное исследование  особенно актуально, на мой взгляд, в настоящее время, когда интерес к чему неизведанному усиливается, а умение составлять магические квадраты помогает в решении различных головоломок и олимпиадных задач по данной теме, и так же повышает интерес к изучению математики.

В ходе работы по данной теме я выдвинула следующую гипотезу: существуют ли способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.

Объектом исследования являются магические квадраты.

Предмет исследования: влияние головоломок на развитие памяти и успеваемости учащихся.

Методы исследования, которые были использованы мною это частично-поисковый, исследовательский, сравнительный анализ, синтез, практический.

Я выяснила, что одной из самых интересных математических головоломок считаются магические квадраты. Цифровой квадрат называют магическим, если составляющие его числа не повторяются  и дают при определенных сочетаниях заранее  задуманный составителем результат. До недавнего времени считалось, что магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, однако они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики.

Одной из современных модификаций магического квадрата, с которой знаком практически каждый школьник, является популярная игра Судоку. Эту головоломку активно публикуют газеты и журналы разных стран мира. Ее правила предельно просты: дан квадрат из 81 клетки, который в свою очередь состоит из 9 квадратов по 9 клеток. Нужно расставить в клетках числа от 1 до 9 так, чтобы в каждой строке и столбце большого квадрата, а также внутри каждого из малых квадратов числа не повторялись. Часть клеток в начале заполнена, остальное нужно заполнить самостоятельно, используя логику и расчет.

Для того чтобы выяснить, знакомы ли учащиеся нашей школы с выше названной игрой, я  провела опрос. Было опрошено 96 учащихся 5-11 классов. И результаты опроса выглядят следующим образом.

 

Опрос показал, что 36 учеников не только имеют представление о магических фигурах, но и пробовали разгадать их, а вот 60 учащихся не знают и не слышали ничего об этом. Данный опрос показал, что нынешняя молодёжь довольно мало интересуется решением занимательных задач и редко обращается к материалу, находящемуся за пределами школьной программы. Но, тем не менее, видно желание учеников познать для себя новые способы использования математических операций.

 

 

Теоретическая часть

Прежде чем говорить о магических квадратах, необходимо упомянуть и о магии чисел.

Числа для каждого из нас обладают определенными потребительскими свойствами. Мы используем числа для  количественной оценки окружающих нас явлений и процессов. И, пожалуй, только один человек - величайший ученый древности - Пифагор, дал людям учение о том, что числа имеют более сокровенный смысл. Пифагор учил, что "все есть число".

        Пифагор учил, что начало и конец всего сущего находится в некой абстрактной величине, называемой Монадой.    Пифагорейцы представляли Монаду фигурой, состоящей из десяти точек - узлов. Эти десять узлов, называемые  пифагорейцами тетрактисом, образуют девять равносторонних треугольников, как бы олицетворяющих  полноту всемирной пустоты и Животворящий крест (рис. 1).

Именно Монада стала стартовой точкой в изучении магических фигур.

                                   

                                                                   Рис. 1

Магический квадрат 3-го порядка из 9-ти первых натуральных чисел (известный в Китае как талисман Ло-шу) представляется следующей матрицей 3x3 (рис.2):

4

9

2

3

5

7

8

1

6

Рис. 2

Согласно одной из легенд, прообразом Ло Шу стал узор из связанных черных и белых точек (рис. 3а), украшавший панцирь огромной черепахи, кото­рую встретил однажды на берегу реки Ло-Шуй ми­фический прародитель китайской цивилизации Фуси. Жители Поднебесной считали таблицу Ло Шу священной, у них даже не возникало мысли о составлении аналогичных квадратов большего размера, поэтому последние стали появляться только три тысячелетия спустя.

 

 

 

 

 

а)                                                 б)

                            Рис. 3

   

 

 

 

 Константа квадрата Ло-шу равна 15. Это единственный квадрат третьего порядка (рис. 3б), который можно построить из натуральных чисел от 1 до 9, если не использовать преобразований.

 

Астрологи средних веков приписывали числовым сочетаниям магических квадратов таинственные и волшебные свойства. Современных математиков и программистов интересуют формальные методы составления магических квадратов.

Квадрат Дюрера

В начале XVI в знаменитый немецкий художник Альбрехт Дюрер увековечил магический квадрат в искусстве, изобразив его на гравюре «Ме­ланхолия» (рис. 4).

 

Рис. 4

  Квадрат Дюрера имеет размер 4х4 и состав­лен из шестнадцати первых натуральных чисел, сумма которых в каждой строке, столбце и на диагонали равна 34. Оказывается, 34 равны и суммы других четверок чисел: расположенных в центре, в угловых клетках, по бокам центрально­го квадрата (рис. 5а), а также образующих четы­ре равных квадрата, на которые можно разделить исходный квадрат (рис. 5б). А вот числа 15 и 14 в нижней строке квадрата указывают дату создания гравюры - 1514 год.

 

 Европейцев с удивительными числовыми ква­дратами познакомил византийский писатель и языковед Мосхопулос. Его работа была первым специальным сочинением на эту тему и содержа­ла примеры магических квадратов разного поряд­ка, составленных самим автором.

Я узнала из Интернета, что в XVI-XV1I вв. составлением магиче­ских квадратов занимались с таким же увлечени­ем, с каким сегодня придумывают и разгадывают кроссворды. Любопытно, что именно в одной из книг, с которыми я знакомилась, узнала о том, что магические квадраты впервые пред­стали как математическая забава.

В наше время магические квадраты продолжа­ют привлекать к себе внимание не только специалистов, но и любителей математических игр и развлечений. За последнее столетие значительно возросло число книг по занимательной матема­тике, в которых содержатся головоломки и задачи, связанные с необычными квадратами. Для их успешного решения требуются не столько специ­альные знания, сколько смекалка и умение под­мечать числовые закономерности. Решение таких задач не только доставит удовольствие тем, кто интересуется математикой, но и послужит пре­красной «гимнастикой для ума».

Я решила выяснить «Хотят ли мои одноклассники научиться решать магические квадраты?»

 

И их ответы меня удивили. Половина из них хотела этому научиться.

а)                                                 б)

                    Рисунок 1.3

 

Доказано, что магический квадрат можно построить для любого n, начиная с n = 3. Существуют магические квадраты, удовлетворяющие ряду дополнительных условий, например магический квадрат с 64 клетками), который можно разбить на 4 меньших, содержащих по 16 клеток квадрата, причём в каждом из них сумма чисел любой строки, столбца или большой диагонали одна и та же (= 130).Составление магических квадратов - классический образец математических развлечений и головоломок.

 

 

Существует  ещё несколько видов квадратов, которые удовлетворяют раз­личным дополнительным условиям.

 

Рис. 7

  Так, у изображенного на рис.7 магического ква­драта 5-го порядка суммы пятерок чисел в клетках, расположенных на «разломанных» диагоналях (клетки закрашены одним и тем же цветом), равны постоянной магического квадрата - числу 65. Квадрат с таким свойством называется совершенным.

 

Легко убедиться в том, что квадрат останется совершенным, если подвергнуть его таким пре­образованиям, как поворот и симметрия.

 

  Имеется и  другой квадрат пятого порядка. Число 13 - непарное и помещается в центре квадрата (рис. 8). Кроме того, это единственное из двадцати пяти чисел, которое совпадает с номером своей клетки (если прону­меровать все   

 

                                                клетки по порядку построчно сверху вниз).

В этом квадрате я нашла, еще одну интересную осо­бенность выбранного для примера магического квадрата. Все пятерки чисел, стоящих на его «раз­ломанных» диагоналях являются члена­ми арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=5, совпадающей с порядком ква­драта (кстати, их суммы обладают таким же свой­ством).

Возникают самые разные вопросы, связанные с магическими квадратами. На одни из них отве­ты давно найдены, на другие только предстоит найти. Хочу остановится подробнее на некоторых про­блемах.

Почему не существует магический квадрат 2-го порядка?

Квадрат размером 2x2 должен был бы состо­ять из чисел 1, 2, 3, 4, а его постоянная - рав­няться 5. У такого квадрата по две строки, столб­ца и диагонали. Итого шесть. Чтобы квадрат стал магическим, надо представить число 5 в виде суммы двух данных чисел шестью различными способами, но это сделать невозможно! Ведь та­ких комбинаций всего две: 1+4 и 2 + 3. Как ни расставляй числа в клетках таблицы, их сумма будет равна 5 либо в каждой строке, либо в обо­их столбцах, либо по диагоналям (рис. 9), но никак не одновременно.

1

4

2

3

1

3

4

2

1

2

3

4

 

Рис. 9

 

 

 

 

 

Рассматривая магические квадраты разного по­рядка, я указала их постоянные, которые, однозначно определяются раз­мером соответствующей таблицы. Конечно, при наличии квадрата для небольших значений n сумму можно вычислить непосредствен­но. Но даже нескольких приведенных ранее примеров достаточно, чтобы понять, что с увеличением n она быстро растет.

Поэтому, для удобства вычисления суммы квадрата любого порядка выведена  общая  формула. Пусть в таблице размером n х n располагаются натураль­ные числа от 1 до n!. Их сумма S равна 1+2+3+…+n=((1+n2)* n2)/2.

Обозначим постоянную магического квадрата буквой s. Тогда

S=s*n= ((1+n2)* n2)/2

откуда s = ((1+n2)* n2)/2.

Составление магических квадратов нечетного порядка

С давних пор математики стремились решить две основные задачи, связанные с магическими квадратами: найти общий метод их построения и описать все возможные магические квадраты. Наибольший практический интерес представляют универсальные методы, которые не зависят от порядка магического квадрата. Такие методы известны для магических квадратов нечетного порядка.

Составление магических квадратов в четном порядке

Универсальные методы составления магических квадратов произвольного четного порядка пока неизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частных случаев.

Интересны и другие задачи на построение ма­гических квадратов: состоящих из заданных чи­сел, обладающих определенными свойствами и т.д. Такова, например, задача на составление ква­дратов из простых чисел,

 

Рис. 21                                                                                                 Рис. 22

  Все подобранные числа заканчиваются цифрой 7. Сумма чисел, стоящих, в каждой строке, столбце и на обеих диагоналях таблицы, равна 798. Ее нельзя вычислить с по­мощью формулы постоянной s магического ква­драта, поскольку числа не являются членами арифметической прогрессии, и это осложняет поиски решения (рис. 21).

 

 

На рис. 22 изображен ещё один квадрат из про­стых чисел: одно- и двузначных. Его постоянная равна 120. Трудней построить магический квадрат из пер­вых п2 простых чисел. В начале XX в. было дока­зано, что наименьший такой квадрат имеет размер 12 х 12. Правда, при его составлении было сдела­но исключение: число 2 заменено единицей.

Иногда рассматривают магические квадраты не с суммами, а с произведениями чисел. Например, изображенный на рис. 23  квадрат третьего порядка составлен из первых девяти членов геометричес­кой прогрессии 1, 2, ... . В нем произведения чисел по всем строкам, столбцам и обеим диаго­налям одинаковы и равны 4096. Легко видеть, что данный квадрат является симметрическим: произведение двух любых чисел из центрально-симметричных клеток равно 256.

 

                    

Можно рассматривать трехмерные фигуры из чисел, в частности магический куб – пространственный аналог магического квадрата. Подобный куб размером n х n х n должен быть заполнен натуральными числами от 1 до n3, суммы которых к каждой строке и каждом столб­це произвольного слоя, а также на любой из че­тырех диагоналей куба одинаковы.

Практическая часть. Я провела ряд исследований, которые помогли мне доказать выдвинутую ранее гипотезу. Но, во-первых, хотелось бы выяснить справедливость утверждения о том, что головоломки способствуют развитию логического мышления, улучшению памяти, внимания.
Заключение

С того дня, когда я начала упорно заниматься магическими квадратами прошло немного времени. Нужно сказать, что это была увлекательная и интересная работа. Шаг за шагом я окуналась с головой  в чудесный мир волшебства с одной стороны и математической точности и гармонии с другой, научилась отличать закономерности в составлении тех или других головоломок. 

Считаю, что в своей работе мне удалось подтвердить то, что в магических квадратах нет магии, а это простые математические расчеты.

Таким образом, по результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы:

1. У чисел есть своя собственная жизнь и свои законы.

2. Магическим квадратом n-го порядка называ­ется квадратная таблица размером n х n, за­полненная натуральными числами от 1 до n2, суммы которых по всем строкам, столбцам и обеим диагоналям одинаковы.

3. Каждый квадрат, определённого порядка строится по своей методике.

4. У каждого квадрата свои свойства и тайны.

5. Построение магических квадратов является интересным и увлекательным занятием и одновременно служит хорошей гимнастикой для ума, а так же способствует большему интеллектуальному развитию учащихся.

7.Судоку развивает мышление и логику в каждом из нас. Проведенные исследования доказали улучшение памяти, мышления, а также препятствие развитию и даже излечение заболеваний связанных с головным мозгом! Поэтому, ученые рекомендуют ежедневно решать головоломки судоку.

Работая над проблемой заполнения квадратов, я пришла к выводу, что общий метод построения квадратов неизвестен, хотя широко применяются различные частные алгоритмы. Используя один из данных методов можно заполнить квадрат любого размера. Я составила несколько квадратов разного размера.  В результате работы я подтвердила гипотезу о том, что существуют способы заполнения магических квадратов, изучив которые можно составить магический квадрат любого порядка.

Этот проект можно использовать на внеклассных занятиях для более широкого кругозора учеников, и как разминочные задания к началу урока, при подготовке к олимпиадам и интеллектуальным соревнованиям по математике.

Информационные источники

1.                       Файнштейн В. А. Заполним магический квадрат // Математика в школе, 2000, №3

2.                       Энциклопедический словарь юного математика: Сост. Э – 68 А. П. Савин – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.: ил.

3.                       Сарвина Н.М. Неожиданная математика // Математика для школьников 2005, №4

4.                       www.sudoku.ru

5.                       Заславски К. Занимательная математика / Пер. с англ. П. А. Самсонов. — Мн.: ООО «Пупурри», 2005. — 208 с.: ил.

6.                       Рессел К., Картер Ф. Числовые ребусы / Пер. с англ. — Мн.: ООО «Пупурри», 1996. — 182 с.: ил.

7.           Интернет - ресурсы.

 

8.           Л.Ф. Пичурин. «За страницами учебника алгебры». М.: «Просвещение», 1990.

 

9.           Интернет – ресурсы. 

 

10.      Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. 1985.