Использование метода координат для решения заданий С-2 для решения заданий ЕГЭ

Доклад по теме:

Математика. Практикум по решению задач.

Использование метода координат

для решения заданий С-2 для решения

заданий ЕГЭ.

Составитель: Шамгонов Н.М.

учитель математики и информатики МБОУ СОШ№20

п. Сулук

2024 год

Существует два способа решения задач С-2 ЕГЭ по математике.

Первый способ - поэтапно-вычислительный. Этот способ требует отличного знания аксиом и теорем стереометрии, логики, умения построить чертеж и свести объемную задачу к планиметрической. Способ хорош тем, что развивает мышление и пространственное воображение.

Другой метод – метод координат. Это простые формулы, алгоритмы и правила. Целью данного методического пособия является разработка методики обучения векторно-координатному методу решения задач школьного курса геометрии 10-11 класса.
Достаточно простой в применении, метод координат является необходимой составляющей решения задач различного уровня. Использование данного метода, позволяет учащимся значительно упростить и сократить процесс решения задач. Координатно-векторный метод имеет преимущества перед другими тем, что не требует сложных построений в проекциях. По той простой причине, что этот метод заключается во введении (привязке к исследуемым фигурам) декартовой системы координат, а затем – исчислении образующихся векторов (их длин и углов между ними), то есть одно без другого не работает. Этот метод - довольно сильный, так как ему поддаются даже самые сложные задачи. Все те соотношения, которые при решении традиционным методом даются с большим трудом (через привлечение большого количества вспомогательных теорем), здесь получаются как бы сами собой, в ходе вычислений. Единственный его, пожалуй, недостаток – это требуемый нередко большой объем вычислений.
С помощью векторно-координатного метода можно быстро и успешно решать стереометрические задачи из ЕГЭ в блоке С (задание С2).
В рамках данного пособия рассмотрены типовые задачи ЕГЭ – С2, также их решение с помощью координатно-векторного метода.

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB=2, AD=4, AA1=3. Точка Е- середина ребра А1В1 . Найдите угол между прямыми ВС1 и АЕ

Решение: Пусть точка В(0;0;0)-начало координат. Тогда С1(0;4;0), А(3;0;0), Е(1,5;0;3). Найдем координаты векторов и .

По формуле: находим

.

2.2.Нахождение угла между прямой и плоскостью

Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

0˚<(a,α)<90˚.

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле или в координатах , где - вектор нормали к плоскости α, - направляющий векор прямой l;

Пример 1. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью (АВ1С).

Р ешение: Составим уравнение плоскости (АВ1С.):

ах+bу+cz+d=0, где a, b и c – координаты нормали к плоскости.

Чтобы составить это уравнение, необходимо определить координаты трёх точек, лежащих в данной плоскости: А(1; 0; 0), В1(0;0;1), С(0;2;0).

Решая систему

находим коэффициенты а, b и с уравнения ах+bу+cz+d=0:

а=-d, b= , c=-d. Таким образом, уравнение примет вид или, после упрощения, 2х+у+2z-2=0. Значит, нормаль n к этой плоскости имеет координаты .

Найдем координаты вектора

Найдем угол между вектором и нормалью к плоскости по формуле скалярного произведения векторов:

.

Ответ: 45˚

2.3.Нахождение угла между двумя плоскостями

Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру.

Величина двугранного угла принадлежит промежутку(0˚; 180˚)

Величина угла между двумя пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0˚; 90˚].

Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0˚.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол между нормалями к этим плоскостям по формуле или в координатной форме , где - вектор нормали плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0, - вектор нормали плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

Пример 1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1 соответственно.

Решение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0). Далее находим координаты тех точек, которые необходимы для составления уравнений плоскостей: (1;0;1), E(0;0,5;1), C(1;1;0), F(0,5;1;1). Составим уравнение плоскости (AE), используя уравнение А1х+В1у+С1z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение:

А ∙0 + В∙0 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0 + В∙0,5 + С∙1 +D =0.

Получим, что А= - С, В= - 2С, D= 0. Таким образом, уравнение примет вид:

х +2у – z =0. Значит, А1=1, В1= 2, С1= -1

Составим уравнение плоскости (CF), используя уравнение А2х+В2у+С2z+D1=0. Подставим координаты всех трех точек в это уравнение и решим систему из трех уравнений:

А ∙1 + В∙1 + С∙0 +D =0;

А∙1 + В∙0 + С∙1 +D =0;

А∙0,5 + В∙1 + С∙1 +D =0.

Получим, что В = С, А = 2С, D = - 3С. Таким образом, уравнение примет вид:

2х +у +z – 3 = 0. Значит, А2= 2, В2 = 1, С2= 1. По формуле:

. Угол между плоскостями - 60̊.

2.4.Нахождение расстояния от произвольной точки до плоскости.

Расстояние от точки до плоскости , не содержащей эту точку , есть длина отрезка перпендикуляра , опущенного из этой точки на плоскость .

Расстояние от точки М до плоскости α вычисляется по формуле , где М(х0;у0;z0), плоскость α задана уравнением ax+by+cz+d=0.

3. Примеры решения задач С-2.

Пример 1.В правильной четырехугольной пирамиде со стороной основания, равной 2 и высотой, равной 4, найти расстояние от точки А до плоскости (SBC).

Р ешение: Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0). Составим уравнение плоскости (SBC), используя координаты точек В(2;2;0), С(0;2;0), S(1;1;4) и решив систему уравнений:

a∙2+b∙2+c∙0+d = 0

a∙0 +b∙2 +c∙0+d = 0

a∙1 +b∙1 +c∙4+d = 0.

Получим, что d= -2∙ b, a=0, c = . Таким образом, уравнение плоскости примет вид: 0∙х +4∙у + z - 8 =0. Значит, a=0, b=4, c=1, d=- 8.

Точка А, расстояние от которой до плоскости нужно найти, имеет координаты:

А(2;0;0). Значит, =2, = 0, =0. По формуле нахождения расстояния от точки до плоскости имеем:

Ответ: .

Пример №2. В правильной четырехугольной призме АВСДА1В1С1Д1 со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре А А1 взята точка М так, что AM=8 . На ребре В В1 взята точка K так, что В1 К= 8 . Найдите угол между плоскостью Д1МК и плоскостью С С1Д1 .

Решение. Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле:

У равнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0 . В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

Запишем координаты точек: М(0;0;13), К(12;0;8), Д1(0;12;0)

Подставим их в систему уравнений:

Отсюда:

С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12х13).

Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла

между плоскостями, и найдем угол:

Пример №3. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1 Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер A1В1 и В1С1 соответственно.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D1(1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1).

Решая систему

составляем уравнение плоскости (АD1E): x+2y-z=0. 2 плоскость CFD1:

отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0.

Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.

откуда φ=60˚. Ответ: 60˚

Пример №4. Дана правильная шестиугольная призма, все ребра равны 1. Найти расстояние от В до плоскости FB1C1.

Решение.

А(1;0;0) , В ( ;-1;0), F( ;1;0), В1( ;-1;1), С1(- ;-1;1).

Подставляя в уравнение плоскости ax+by+cz+d=0 координаты точек F( ;1;0), В1( ;-1;1), С1(- ;-1;1), найдем коэффициенты и по формуле

d = искомое расстояние будет равно .

Литература:

1. Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Методы решения неравенств с одной переменной

2.Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И.В., Шестаков С.А., Трепалин А.С., Захаров П.И. – М.: МЦНМО, 2012.

3.Корянов А.Г., Прокофьев А.А. Многогранники: виды задач и методы их решения.

4.Журнал «Математика»,июнь 2012г.

5.Задачи вступительных экзаменов/ Составители А.А. Егоров, В.А.Тихомирова.- М.:Бюро Квантум, 2008 (приложение к журналу КВАНТ)