Методическая разработка «Использование нестандартных методов и приемов при решения уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ»
«Использование нестандартных методов и приемов при решения уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ»
Наумова И.И.
Учитель математики МАОУ
«Лицей№94» г. Уфы
Научить детей видеть красоту математики, развивать и формировать интерес к ней — одна из важнейших задач математики. Именно стойкий и познавательный интерес является одним из инструментов, который стимулирует учащихся к более глубокому усвоению предмета, развивает их способности. В ходе решения математических задач, в особенности нестандартных, можно сформировать у учащихся элементы творческого мышления.
Применение нестандартных методов требует от учащихся глубокого знания теоретического материала школьного курса математики с тем, чтобы они могли определить, как легче и быстрее ответить на поставленный вопрос.
Метод неопределенных коэффициентов, функциональный метод, основанный на использовании свойств функций (четность, нечетность, периодичность, ограниченность), метод координат, умение свести задачу к конкретной геометрической модели помогут учащимся успешнее справляться с поставленными задачами.
Встречаются задачи, которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно, и тогда на помощь приходят те самые нестандартные приемы и методы. Рассмотрим несколько примеров.
Использование свойств модуля.
Решить уравнение: .
Решение.
, откуда .
Ответ.
Использование оценки значений выражений.
а) Решить неравенство:
Решение. ; ; ;
.
Тогда .
Значит, получаем уравнение , что возможно, если
Ответ. .
б) При каких значениях параметра а, корень уравнения принадлежит промежутку (1,5; 2) ?
Решение. . Т. к. , то . . Откуда получаем . Т.к. 1,5<x<2, то . Откуда n=4 и , т.е. , .
Ответ. .
Использование производной функции, определения касательной к графику функции.
При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение имеет единственный корень?
Решение. .
и .
Параллели 1, 2, 3, 4 – прямые вида .
Условию задачи соответствует прямая 3, которая является касательной к графику функции в точке .
Найдем уравнение этой касательной .
. , ; ; , ; значит, , , т.е.
Ответ. -1,625.
Использование геометрической модели при решении алгебраических задач.
а) Найти наименьшее значение выражения: .
Решение. .
Рассмотрим точки А(1;0), В(0;1), М(х;у) .
Тогда .
АМ+ВМ будет принимать минимальное значение, если М принадлежит отрезку АВ. Т.е. АВ и будет наименьшим значением .
Ответ. .
б) Решить уравнение: .
Решение. Легко убедится, что . Тогда рассмотрим такую модель:
Если D принадлежит АВ , то принимает минимальное значение равное АВ. .
,
,
.
Получаем уравнение . Откуда .
Ответ. .
Применение теоремы Виета к уравнениям высших степеней.
При каких значениях параметра а равнение имеет три корня, образующих геометрическую прогрессию?
Решение. Пусть - корни данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Тогда по теореме Виета Из первых двух уравнений , а из третьего уравнения .
Откуда
Ответ. 14.
Применение понятия монотонности функции и теорем о корне.
а) Решить уравнение: .
Решение. Рассмотрим функцию
.
при любых значениях х. Значит, функция возрастает на множестве R.
- корень уравнения.
На основании теоремы о корне, других корней нет.
Ответ. .
б) Решить систему уравнений
Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде
Рассмотрим функцию Тогда уравнение можно записать в виде . Т. к. функция возрастающая, то х=у. Получаем систему
(2; 2) – решение системы.
Ответ. (2; 2).
7.Метод рационализации
Решить неравенство:
Ответ:[-2;-1u[1;2]
Уже на этих примерах можно убедиться, что знания нестандартных приемов и методов помогают намного быстрее дать ответ на поставленный вопрос задачи. А значит, и помогут в сдаче ЕГЭ по профильной математике.