Методическая разработка «Использование нестандартных методов и приемов при решения уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ»
«Использование нестандартных методов и приемов при решения уравнений и неравенств в заданиях ЕГЭ»
Наумова И.И.
Учитель математики МАОУ
«Лицей№94» г. Уфы
Научить детей видеть красоту математики, развивать и формировать интерес к ней — одна из важнейших задач математики. Именно стойкий и познавательный интерес является одним из инструментов, который стимулирует учащихся к более глубокому усвоению предмета, развивает их способности. В ходе решения математических задач, в особенности нестандартных, можно сформировать у учащихся элементы творческого мышления.
Применение нестандартных методов требует от учащихся глубокого знания теоретического материала школьного курса математики с тем, чтобы они могли определить, как легче и быстрее ответить на поставленный вопрос.
Метод неопределенных коэффициентов, функциональный метод, основанный на использовании свойств функций (четность, нечетность, периодичность, ограниченность), метод координат, умение свести задачу к конкретной геометрической модели помогут учащимся успешнее справляться с поставленными задачами.
Встречаются задачи, которые с помощью традиционных алгоритмов решить затруднительно, и тогда на помощь приходят те самые нестандартные приемы и методы. Рассмотрим несколько примеров.
Использование свойств модуля.
Решить уравнение: 
.
Решение. 
, откуда 
.
Ответ. 
Использование оценки значений выражений.
а) Решить неравенство: 
Решение. 
; 
; 
;
.
Тогда 
.
Значит, получаем уравнение 
, что возможно, если 
Ответ. 
.
б) При каких значениях параметра а, корень уравнения 
принадлежит промежутку (1,5; 2) ?
Решение. 
. Т. к. 
, то 
. 
. Откуда получаем 
. Т.к. 1,5<x<2, то 
. Откуда n=4 и 
, т.е. 
, 
.
Ответ. .
Использование производной функции, определения касательной к графику функции.
При каком наибольшем отрицательном значении параметра а уравнение 
имеет единственный корень?
Решение. 
.
и 
.
Параллели 1, 2, 3, 4 – прямые вида .
Условию задачи соответствует прямая 3, которая является касательной к графику функции 
в точке 
.
Найдем уравнение этой касательной 
.
. 
, 
; 
; 
, 
; значит, 
, 
, т.е. 
Ответ. -1,625.
Использование геометрической модели при решении алгебраических задач.
а) Найти наименьшее значение выражения: 
.
Решение. 
.
Рассмотрим точки А(1;0), В(0;1), М(х;у) .
Тогда 
.
АМ+ВМ будет принимать минимальное значение, если М принадлежит отрезку АВ. Т.е. АВ и будет наименьшим значением 
.
Ответ. 
.
б) Решить уравнение: 
.
Решение. Легко убедится, что 
. Тогда рассмотрим такую модель:
Если D принадлежит АВ , то 
принимает минимальное значение равное АВ. .
,
,
.
Получаем уравнение 
. Откуда 
.
Ответ. 
.
Применение теоремы Виета к уравнениям высших степеней.
При каких значениях параметра а равнение 
имеет три корня, образующих геометрическую прогрессию?
Решение. Пусть 
- корни данного уравнения, образующие геометрическую прогрессию. Тогда по теореме Виета 
Из первых двух уравнений 
, а из третьего уравнения 
.
Откуда 
Ответ. 14.
Применение понятия монотонности функции и теорем о корне.
а) Решить уравнение: 
.
Решение. Рассмотрим функцию 
.
при любых значениях х. Значит, функция 
возрастает на множестве R.
- корень уравнения.
На основании теоремы о корне, других корней нет.
Ответ. 
.
б) Решить систему уравнений 
Решение. Перепишем первое уравнение системы в виде 
Рассмотрим функцию 
Тогда уравнение можно записать в виде 
. Т. к. функция 
возрастающая, то х=у. Получаем систему 
(2; 2) – решение системы.
Ответ. (2; 2).
7.Метод рационализации
Решить неравенство: 
Ответ:[-2;-1u[1;2]
Уже на этих примерах можно убедиться, что знания нестандартных приемов и методов помогают намного быстрее дать ответ на поставленный вопрос задачи. А значит, и помогут в сдаче ЕГЭ по профильной математике.