Координаты и векторы

Тема: «Координаты и векторы»

Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так: А( xA; yA; zA) – координаты точки.

Краткий

справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

А

М В

А( xA; yA; zA) , В( xA; yA; zA)

Длину отрезка АВ находим по формуле:

АВ=

Точка M – середина отрезка АВ.

Координаты середины отрезка находим по формуле :

M ()

Найдите длину отрезка AB и координаты середины отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4).

Решение:

АВ = =

= =

= – длина отрезка АВ.

M ( )

M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ.

Найдите длину отрезка CD и координаты его середины, если С (-2;1;5) , D (4;0;6) .

Вектор – направленный отрезок. Обозначают: или

А В

А – начало вектора, В – конец вектора

Длиной вектора называют длину соответствующего ему отрезка.

Записывают так: || =| АВ|

Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом

– нулевые векторы

Координаты вектора:

Найдите координаты вектора , если А (5;-6;3), В (-2;0;7).

Решение: ( -2-5 ; 0-(-6) ; 7-3 )

( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора

Найдите координаты вектора , если А (3;8;-1); В (-4;0;2)

Краткий

справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

Длина вектора:

|| =

|| =

1.Найдите длину вектора , если А (5;-6;3), В (-2;0;7).

Решение: ||= = = = – длина вектора

2. Найдите длину вектора ( 1;-3;2 ).

Решение: || = = =

1.Найдите длину вектора , если А (3;8;-1); В (-4;0;2).

2.Найдите длину вектора (4;-3;7).

Угол между векторами

0 α A

В

α – угол между

1.Если α = => векторы соноправленные

0

В А

2.Если α = 90° => – векторы перпендикулярные

B

0 A

1. Покажите угол между векторами, определите его градусную меру

О

Скалярное произведение векторов:

= || ∙ || ∙ cos α

=

1.Найдите скалярное произведение векторов, если ( 2; 8; -4 ), ( 0; 1; -3 ).

Решение: = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3) = 0+8+12 = 20

2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90°.

Решение: Т.к. α = 90°, cos 90° = 0 =>

3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, если

Решение:

Т.к. => cos α = 0 => α = 90° =>

1. Найдите скалярное произведение векторов, если

(-2;4;6).

2. Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны:

(2;6;2).

3.Найдите cos А, если дан треугольник АВС, заданный координатами своих вершин:

А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2).