Справочный материал к занятию «Координаты и векторы»

3
0
Материал опубликован 8 January 2022 в группе

Тема: «Координаты и векторы»

Произвольная точка А в пространстве характеризуется тремя числами: абсциссой xA, ординатой yA, аппликатой zA, что записывается так: А( xA; yA; zA) – координаты точки.

Краткий

справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы

Аt1641660445aa.gif

М В

А( xA; yA; zA) , В( xA; yA; zA)


Длину отрезка АВ находим по формуле:

АВ=t1641660445ab.gif


Точка M – середина отрезка АВ.


Координаты середины отрезка находим по формуле :


M (t1641660445ac.gif)


Найдите длину отрезка AB и координаты середины отрезка AB, если А (3;-4;0) ; В (-1;2;4).

Решение:

АВ = t1641660445ad.gif =

t1641660445ae.gif= t1641660445af.gif =

= t1641660445ag.gif – длина отрезка АВ.


M ( t1641660445ah.gif)


M ( 1;-1;2 ) – координаты середины отрезка АВ.


Найдите длину отрезка CD и координаты его середины, если С (-2;1;5) , D (4;0;6) .

Вектор – направленный отрезок. Обозначают: t1641660445ai.gif или t1641660445aj.gif

t1641660445ak.gifА t1641660445al.gif В


А – начало вектора, В – конец вектора

Длиной вектора называют длину соответствующего ему отрезка.

Записывают так: |t1641660445ai.gif| =| АВ|

Вектор называется нулевым, если его начало совпадает с концом

t1641660445am.gifнулевые векторы



Координаты вектора:


t1641660445an.gif


t1641660445ao.gif


Найдите координаты вектора t1641660445ai.gif, если А (5;-6;3), В (-2;0;7).

Решение: t1641660445ai.gif ( -2-5 ; 0-(-6) ; 7-3 )

t1641660445ai.gif( -7 ; 6 ; 4 ) – координаты вектора t1641660445ai.gif


Найдите координаты вектора t1641660445ai.gif, если А (3;8;-1); В (-4;0;2)

Краткий

справочный материал по теме

Примеры решения

типовых заданий

Задания для самостоятельной работы


Длина вектора:


|t1641660445ai.gif| = t1641660445ab.gif

|t1641660445aj.gif| = t1641660445ap.gif

1.Найдите длину вектора t1641660445ai.gif, если А (5;-6;3), В (-2;0;7).

Решение: |t1641660445ai.gif|= t1641660445aq.gif = t1641660445ar.gif = t1641660445as.gif = t1641660445at.gif – длина вектора t1641660445ai.gif

2. Найдите длину вектора t1641660445al.gif ( 1;-3;2 ).

Решение: |t1641660445al.gif| = t1641660445au.gif = t1641660445av.gif = t1641660445aw.gif

1.Найдите длину вектора t1641660445ai.gif, если А (3;8;-1); В (-4;0;2).


2.Найдите длину вектора t1641660445al.gif (4;-3;7).

Угол между векторами

t1641660445ax.gift1641660445ay.gift1641660445al.gif

t1641660445az.gift1641660445ba.gif0 α A

t1641660445bb.gif

В

α – угол между t1641660445bc.gif

1.Если α = t1641660445bd.gif => векторы t1641660445be.gif соноправленные

t1641660445bf.gif0 t1641660445al.gif

t1641660445bg.gift1641660445bb.gifВ А

2.Если α = 90° => t1641660445bh.gif – векторы перпендикулярные

t1641660445bi.gifB

t1641660445bb.gif

t1641660445al.gif

t1641660445bj.gif0 A

1. Покажите угол между векторами, определите его градусную меру


t1641660445bk.gif

t1641660445al.gift1641660445bb.gif

t1641660445bl.gift1641660445bm.gifО

Скалярное произведение векторов:



t1641660445bn.gif= |t1641660445al.gif| ∙ |t1641660445bb.gif| ∙ cos α



t1641660445bn.gif= t1641660445bo.gif



t1641660445bp.gif

1.Найдите скалярное произведение векторов, если t1641660445al.gif( 2; 8; -4 ), t1641660445bb.gif ( 0; 1; -3 ).

Решение: t1641660445bn.gif = 2∙0+8∙1+(-4)∙(-3) = 0+8+12 = 20


2. Найдите скалярное произведение векторов, если угол между ними равен 90°.

Решение: t1641660445bk.gifТ.к. α = 90°, cos 90° = 0 => t1641660445bq.gif


3.Докажите, что векторы взаимно перпендикулярны, если t1641660445br.gif

Решение: t1641660445bs.gif

Т.к. t1641660445bt.gif => cos α = 0 => α = 90° => t1641660445bh.gif

1. Найдите скалярное произведение векторов, если

t1641660445bu.gif(-2;4;6).


2. Докажите, что вектора взаимно перпендикулярны:

t1641660445bv.gif(2;6;2).


3.Найдите cos А, если дан треугольник АВС, заданный координатами своих вершин:

А(-6;4;-2), В(0;-2;8),С(8;-6;2).





































Подробнее информацию по данной теме можно найти в следующей литературе:

1. Алимов Ш.А. и др. Алгебра и начала анализа . 10-11 кл. – М. 2009 г. ;

2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10-11 кл. – М., 2010 г.



в формате Microsoft Word (.doc / .docx)
Комментарии
Комментариев пока нет.