Квадратные уравнения и методы их решений

Презентация урока Квадратные уравнения их виды и методы решений город Кувасай школа № 1 преподаватель математики Борисевич Павел Георгиевич х2+pх+q=0 Алгебра 8 класс

Девиз урока Пусть каждый день и каждый час Вам новое добудет. Пусть добрым будет ум у вас, А сердце умным будет. Самуил Маршак

Цели урока   Образовательные цели урока: систематизировать знания о квадратных уравнениях, научиться разделять квадратные уравнения на разные виды и уметь решать их.   Развивающие цели урока: развивать математическое мышление, память, внимание; развивать умение сравнивать, обобщать, проводить сравнительный анализ, строить умозаключения, делать выводы; привить любовь к математике, желание познать новое. Воспитательные цели урока: воспитывать культуру умственного труда; воспитывать культуру коллективной работы; воспитывать информационную культуру; воспитывать потребность добиваться успехов в приобретении знаний;

Повторение : Что такое уравнение ? Что такое корни уравнения ? Что значит решить уравнение ? Что такое степень числа? Как записывается вторая степень числа ? Как читается вторая степень числа ? Какое уравнение называется линейным ? Почему?

Историческая справка Квадратные уравнения уже умели решать математики и в древнем Вавилоне и древнем Египте. Сохранились папирусы с решениями некоторых задач , на составление квадратных уравнений . Правила их решений схожи с теми , которыми пользуемся мы сейчас Значительных успехов достигли математики древней Греции и конечно же Диофант Диофант Александрийский Нередко он упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений. Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам Всласть поевши, развлекалась Стали прыгать, повисая Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок, На поляне забавлялась Ты скажи мне, в этой стае?» Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. Соответствующее задаче уравнение: x2 - 64x = - 768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем: x2 - б4х + 322 = -768 + 1024, (х - 32)2 = 256, х - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48. гениальное решение квадратного уравнения гениальным математиком Памятник индийскому математику Брахмагупте

Квадратные уравнения у Аль-Хорезми. Мухаммад ибн Муса аль-Хорезми  Величайший среднеазиатский учёный IX века, математик, астроном, географ и историк. Благодаря ему в математике появились термины «алгоритм» и «алгебра». Аль-Хорезми впервые представил алгебру как самостоятельную науку об общих методах решения линейных и квадратных уравнений, дал классификацию этих уравнений. Историки науки высоко оценивают как научную, так и популяризаторскую деятельность аль-Хорезми. Известный историк науки Дж. Сартон назвал его «величайшим математиком своего времени и, если принять во внимание все обстоятельства, одним из величайших всех времён». Аль-Хорезми известен прежде всего своей «Книгой о восполнении и противопоставлении» («Аль-китаб аль-мухтасар фи хисаб аль-джабр ва-ль-мукабала»), которая сыграла важнейшую роль в истории математики. От слова аль-джабр (в названии) произошло слово алгебра. Подлинный арабский текст утерян, однако содержание известно по латинскому переводу 1140 года английского математика Роберта Честерского.

В «Китаб аль-джабр…» Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом: 1.  «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх. 2. «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с. 3. «Корни равны числу», т. е. ах = с. 4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх. 5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх = с. 6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2. Задумывавшаяся как начальное руководство по практической математике «Китаб аль-джабр…» в первой (теоретической) своей части начинается с рассмотрения уравнений первой и второй степени, а в двух заключительных разделах переходит к практическому применению алгебры в вопросах мероопределения и наследования. Слово аль-джабр («восполнение») означало перенесение отрицательного члена из одной части уравнения в другую, а аль-мукабала («противопоставление») — сокращение равных членов в обеих частях уравнения

Франсуа Виет Франсуа Виет, сеньор де ля Биготьер  (1540 — 23 февраля1603)  Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов. Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

Полные квадратные уравнения: где a, b, c - числовые коэффициенты, причём а ≠ 0, х – переменная 5х2 + 8х – 4 = 0 7х2 + 6х – 1 = 0 2х2 – х + 11 = 0 3х2 + 2х = 16 например :

Составьте квадратное уравнение, если 4х2 - 5х – 6 = 0 а = -2, в = 4, с = 1. -2х2 + 4х + 1 = 0 а = 4, в = -5, с = -6. а = 3, в = -2, с = 8. 3х2 - 2х + 8 = 0 а = -3, в = -4, с = -2. -3х2 - 4х - 2 = 0

Неполные квадратные уравнения: Коэффициент С = 0 Коэффициент в = 0 Коэффициент в = 0 и С = 0 Если в квадратном уравнении ах2 + вх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

1. Найдите корни уравнения:

Дискриминант D = в2 – 4ас ; D > 0 D = в2 – 4ас ; D= 0 D = в2 – 4ас ; D < 0 D = в2 – 4ас Уравнение не имеет корней Уравнение имеет 1 корень Уравнение имеет 2 корня Термин ДИСКРИМИНАНТ образован от  латинского discrimino — «разбираю», «различаю». Ввел его английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр   Дискриминант обозначается латинской буквой  D

Вид уравнения Формула корней Формула дискриминанта ax2 + bx + c = 0 b2 - 4ac ax2 + 2kx + c = 0 k2 - ac x2 + px + q = 0 p2 - 4q Корни квадратного уравнения можно вычислить по формулам

Формула вычисления корней квадратного уравнения

Закрепление изученного : 1. Сколько корней имеет квадратное уравнение? 2. Чему равно произведение корней? 3. Чему равна сумма корней уравнения? 4. Что можно сказать о знаках корней? 5. Найдите корни методом подбора.

Квадратные уравнения, коэффициенты которых обладают некоторыми свойствами. ах2+вх+с=0, где а≠0 Если а+в+с=0, то х1=1, х2=с/а Если а+с=в, то х1=-1, х2=-с/а 2х2 + 3х – 5 = 0 2 + 3 – 5 = 0 2х2 + 6х + 4 = 0 2 + 4 – 6 = 0 х1=1, х2=с/а= - 2,5 х1= -1, х2= -с/а= - 2

Приведенные квадратные уравнения: Уравнение, вида х2+pх+q=0 называется приведённым. В нём старший коэффициент а = 1 Его корни можно найти по теореме, обратной теореме Виета:

решить квадратное уравнение x2 - 6x + 9 = 0 Сначала определим значения коэффициентов a = 1,  b = -6,  c = 9. Вычислим дискриминант: D = b2 - 4ac = (-6)2 - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0, D = 0. Так как D = 0 , то уравнение имеет всего один корень: Примеры решения квадратных уравнений : Ответ: х = 3.

Пример x2 - 4x - 5 = 0. Определим, чему равны коэффициенты: a = 1,  b = -4,  c = -5 Найдём дискриминант: D = b2 - 4ac = (-4)2 - 4 · 1 · (-5) = 16 + 20 = 36, D > 0. Уравнение имеет два корня: x1 = (4 + 6) : 2 = 5, x2 = (4 - 6) : 2 = -1. Ответ:  5,  -1.

Задачи Известны корни уравнения: 4 и -5. Составьте приведённое квадратное уравнение, используя теорему Виета Составьте приведённое квадратное уравнение, используя теорему Виета 1 Известны корни уравнения: 4 и -6. 2 Известны корни уравнения: 2 и -3. 3 Известны корни уравнения: 4 и 5. Один из корней уравнения х2 +11х +q = 0 равен – 7. Найдите второй корень и число q. Разность корней уравнения 2х2 – 3х + с = 0 равна 2,5. Найдите с.

Математический диктант На листочках, контроль знаний детей. Какой вид имеет квадратное уравнение? Какой вид имеет неполное квадратное уравнение, если b= 0? Какой вид имеет неполное квадратное уравнение, если с = 0? 5) Какой вид имеет неполное квадратное уравнение, если b = 0 и с = 0? 6)По какой формуле вычисляется дискриминант? 7)Сколько корней имеет уравнение, если D =0, D<0, D>0? 8)По какой формуле находят корни квадратного уравнения, если уравнение решается через дискриминант и D>0 . 9) Как определяются корни уравнения, если коэффициент а =1 ? Проверь себя

Задачи 1. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 30 см, а площадь 63 см2. 2. Ширина прямоугольника на 8 см меньше длины, а его площадь равна 96 см2.Найдите стороны прямоугольника. 3. Произведение двух натуральных чисел равно 550, причем одно число больше другого на 3. Найдите эти числа. 4. Одно число меньше другого на 6, а произведение этих чисел равно 432. Найдите эти числа. 5. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 36 см, а площадь 72 см2. а в

Самостоятельная работа   Решите уравнение: а) 5х2 – 20х = 0; б) 5х2 + 3х – 2 = 0; в) х2 + 10х + 9 = 0; г) 4х2 – 16 = 0; д) 5х2 – х + 2 = 0; е) 25х2 + 110х + 121 = 0. Произведение двух натуральных чисел равно 216, причем одно число больше другого на 6. Найдите эти числа. 2. В уравнении х2 + рх – 18 =0 один из корней равен – 9. Найдите другой корень и коэффициент р.

Рефлексия : Продолжи фразы: Мне было интересно… Мы сегодня разобрались… Я сегодня понял, что… Мне было трудно… Мне понравилось … Завтра я хочу на уроке… Я решал эти непонятные уравнения… Я добросовестно работал… Я преумножил свои знания!... выбери свой смайлик

Домашнее задание : Решить квадратные уравнения: 6х2 – 2х + 7 = 0 2) 1,2х2 +5 – 3x = 0 3) 4x2 – 15x = 0 4) 6x2 - 96 = 0 5) 14x – 3x2 + 19 = 0 6) 5x2 – 4x = 7 Выучить определения и формулы вычисления корней квадратных уравнений 2. Найдите длины сторон прямоугольника, периметр которого равен 38 см, а площадь 84 см2. 3. Один из корней уравнения х2 +11х +q = 0 равен – 7. Найдите второй корень и число q.