Статья «Методы решения неравенств при подготовке к ЕГЭ по математике»

Сведения об авторе

1. Ежелая Елена Геннадьевна

2. Преподаватель ОД математика информатика и ИКТ, высшая квалификационная категория

3.Филиал Нахимовского военно-морского училища в г. Калининграде

4. Калининградская обл., г. Калининград

Заголовок статьи

«Методы решения неравенств при подготовке к ЕГЭ по математике»

Тезис к публикации.

     Ежегодно при проверке работ ЕГЭ по математике проводится большое количество вторых проверок по заданию, связанному с решением неравенства. В статье приводится краткий анализ задания ЕГЭ по математике за период с 2015 по 2023 года, связанного с решением неравенств. Рассматриваются типичные ошибки выпускников, а также приводится подборка заданий, позволяющая вспомнить основные методы решения неравенств. Подборку неравенств можно использовать для занятий по подготовке к экзамену, а также для внеурочных занятий по подготовке к олимпиадам по математике.

Полный текст статьи

      Ежегодно проверяя работы единого государственного экзамена по математике, замечаю, что наибольшее число перепроверок приходится на задание по решению неравенства. Проанализировав задания с 2015 по 2023 год (всего 150 прототипов неравенств), увидела следующий результат: практически половина заданий за этот период сводится к решению рационального или дробно-рационального неравенства. Основным методом решения таких неравенств остается метод интервалов. При этом ежегодно мы наблюдаем одни и те же ошибки при решении неравенств: умножение обеих частей неравенства на алгебраическое выражение без учета знака, исключение знаменателя.

     Кроме этого, за редким исключением, не реализуется метод интервалов или обобщенный метод интервалов полностью. В основном, сразу отмечают нули числителя и знаменателя на координатной оси, при этом не указывают область определения рассматриваемой функции и не проверяют знак неравенства по пробной точке, зачастую автоматически проставляя знак «+» в крайнем правом промежутке. Согласно методу интервалов, мы определяем знаки введенной функции только на области определения, поэтому многие выпускники получили «0» баллов за решение неравенства за проверку знака выражения там, где оно не определено. Если мы решаем неравенство, используя обобщенный метод интервалов, то обязательна проверка знака в каждом промежутке, так как в этом случае не всегда после разрыва функция меняет знак.

     Дробно-рациональные неравенства мы учим решать в программе основной школы при подготовке к ОГЭ. В 11 классе стоит обратить внимание на рациональные способы решения таких неравенств, в том случае, когда стандартный способ приводит к очень громоздким вычислениям. Рассмотрим следующий пример.

 

     Если следовать стандартному алгоритму, то мы получим уравнение 5-ой степени и не всякий школьник способен без проблем разложить многочлен 5-ой степени на множители. Однако, если выделить целую часть в первой дроби, то неравенство сводится к следующему:

     Такое неравенство уже не вызовет затруднений при решении, этот прием значительно сокращает время на выполнение задания. И конечно, не забываем проверять равносильность преобразований. Если в ходе преобразования было выполнено хотя бы одно неравносильное преобразование, то необходимо убедиться, что в ходе решения не было потери корней, тем или иным способом проверить полученные решения, отбросив посторонние. Если технический прием потребовал исключить отдельные значения переменной, то необходимо отдельно проверить - не являются ли они решением данного неравенства.

     Еще один момент хочется упомянуть в связи с разложением многочленов на множители. Достаточно часто в условии ЕГЭ и не только встречаются квадратные трехчлены, коэффициенты которых удовлетворяют условиям следствия из формул Виета, что позволяет устно находить корни и быстро раскладывать многочлен на множители. К сожалению, очень редко встречаю при проверке использование этого приема. Хочется напомнить об этих следствиях.

     Следствие 1. Если в квадратном трехчлене положительный дискриминант и сумма его коэффициентов равна нулю, то корни этого трехчлена имеют вид: х₁=1; х₂=с/а  .

     Пример: х²+5х-6=0. Д>0, 1+5-6=0, тогда х₁=1; х₂=-6

    Следствие 2. Если в квадратном трехчлене положительный дискриминант и сумма его крайних коэффициентов равна среднему, то корни этого трехчлена имеют вид:

х₁=-1; х₂=-с/а .

     Пример: х²-5х-6=0. Д>0, 1-6=-5, тогда х₁=-1; х₂=6

    Продолжая разговор о равносильных преобразованиях, давайте обсудим вопрос с ОДЗ. Многие всегда сначала находят ОДЗ данного выражения, затем преобразуют выражение, переходя к уравнению или неравенству следствию, и находят пересечение данных множеств. Всегда ли оправдан такой подход к решению?

     Рассмотрим задание ЕГЭ 2018 года:

 

 При попытке найти ОДЗ, мы приходим к необходимости решить неравенство:

 

     Решая неравенство стандартным способом, приходим к необходимости найти корни многочлена третьей степени, который не имеет рациональных корней. В результате, некоторые обучающиеся потеряли до часа времени при попытке справиться с данным неравенством. Однако, если перейти к неравенству следствию и рассмотреть условия существования в системе с этим неравенством, окажется, что по свойству транзитивности проблемное неравенство будет выполняться для всех значений переменной из области определения и решать его не нужно.

     Однако, это не значит, что ОДЗ находить не нужно, напротив в других случаях это позволяет значительно сократить решение неравенства. Рассмотрим следующее неравенство:

  

     Областью допустимых значений данного неравенства является только два числа: 2 и 3. Значит, нам остается только подставить данные значения в неравенство и убедиться, какое из них будет являться его решением. Непосредственной проверкой убеждаемся, что решением данного неравенства является только число 2.

   В случае неравенства с переменной под знаком модуля нахождение ОДЗ может значительно сократить время решения, так как позволяет раскрыть модуль, зная знак выражения под знаком модуля. Рассмотрим следующее неравенство:

 

     Найденная область допустимых значений позволяет однозначно раскрыть оба модуля по определению и перейти к решению более простого неравенства. Кроме того, используя знак полученных алгебраических выражений можно воспользоваться монотонностью функции корень из х и перейти к решению рационального неравенства методом интервалов.

    Последние несколько лет в задания ЕГЭ по математике не включают иррациональные неравенства. Однако, неравенства с модулем в заданиях есть. Сегодня мы не будем рассматривать стандартные схемы решения неравенств с модулем. Предлагаю вспомнить свойства модуля, которые позволять свести решение довольно сложных неравенств к решению рациональных методом интервалов. Рассмотрим два неравенства из репетиционного ЕГЭ

(7)

     Анализируя условие, можно заметить, что если обозначить:

 

 

     Исходное неравенство сводится к решению рационального неравенства:

 

     Второе неравенство из этой серии:

(9).

     Аналогично сводится к решению рационального неравенство, которое следует из свойств модуля. И уже, опираясь на рассмотренные выше примеры, мы понимаем, как будем рассуждать при решении следующего неравенства:

 

     Метод оптимизации, декомпозиции, замены множителей, замены функций, обобщенный метод интервалов, правило знаков, метод рационализации – все это название одного и того же метода решения неравенств. Основная идея: основан на монотонности функций, заключается в замене приращений функций на приращение аргументов или, наоборот на ОДЗ. В результате неравенство сводится к дробно - рациональному. Стандартные ошибки применения этого метода:

 -не учитывается область определения данного неравенства;

-используется метод к неравенству, которое не приведено к стандартному виду F(x)٧0;

-применяется метод рационализации к сумме выражений;

-подменяется формулировка «о совпадении знаков выражений для каждого допустимого значения х» на формулировку «о совпадении значений выражений для каждого допустимого значения х».

    Рассмотрим примеры на применение этого метода:

 

     Особенно полезен этот метод при решении логарифмических неравенств с переменным основанием. Классический подход, опираясь на монотонность логарифмической функции, предполагает рассмотрение двух случаев для основания (больше нуля и меньше единицы и больше единицы), затем объединение полученных решений. Метод замены множителей позволяет сделать это, рассмотрев систему из условия существования исходного неравенства и неравенства следствия, что экономит время для решения, а также исключает вероятность ошибки со скобками, которую мы с вами ежегодно наблюдаем на экзаменах.

     Рассматривая следующую группу неравенств, будем применять свойства монотонных функций. В некоторых из них предварительно будем делать замену переменных, и рассуждать о монотонности полученных функций. Самые распространенные ошибки в данном случае: возведение в квадрат обеих частей иррационального неравенства без проверки знака (возводим в квадрат только в случае, когда обе части неравенства неотрицательны) и утверждение о возрастании или убывании произведения функций без проверки знака этих выражений. Утверждение верно только если обе функции принимают неотрицательные значения.

     После проведения замены в неравенствах нужно определить множество значений новой переменной, это множество может отличаться от области изменения исходной переменной и влиять на ход рассуждений. Следующие неравенства позволяют продемонстрировать применение этого метода.

 

  

 

    Следующий метод, который хочется сегодня вспомнить – это метод оценки или метод мини - максов. Простейшая схема применения выглядит следующим образом. Если требуется решить уравнение f(x)=g(x) и на общей области определения функций f(x) и g(x) выполняются неравенства: f(x)≤А (f(x)≥А) и g(x) ≥А (g(x) ≤А), то уравнение равносильно системе:

    Можно применить этот метод и при решении неравенств. Рассмотрим два неравенства на применение этого метода:

 

 

 

     Решая неравенство с несколькими радикалами, лучше всего сразу найти область определения данного неравенства и все дальнейшие преобразования вести на этой области определения, поскольку все дальнейшие действия могут расширять область определения исходного неравенства.

    Для применения метода мини - максов нужно уметь оценивать левую и правую части неравенства. Один из приемов – это применение уже доказанных соотношений. Рассмотрим два неравенства. Одно на применение неравенства Коши – Буняковского:

 

 

     Второе неравенство при оценке левой части потребует использования более простого утверждения:

 

 

     Часто внешним признаком, побуждающим использовать метод оценки, является наличие в одном неравенстве функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных и логарифмических, что затрудняет или делает невозможным применение стандартных методов.

   Решить следующее неравенство поможет свойства выпуклых функций, а также графический метод оценки значений выражения.

 

     И напоследок, поговорим о векторах. В этом году мы видим с вами задания по этой теме в материалах экзамена. Поэтому, не лишним будет напомнить ребятам о связи алгебры и геометрии. Рассмотрим два неравенства, решение которых можно свести к задачам на векторы.

 

 

     В этой статье мы вспомнили об основных методах решения стандартных и нестандартных неравенств, обсудили типичные ошибки выпускников при выполнении данного задания. Подборку этих неравенств можно использовать как при подготовке к экзамену, так и во внеурочной деятельности при подготовке к олимпиадам.

Источники:

1. https://math-ege.sdamgia.ru/methodist -варианты экзамена для анализа

Литература:

        1. Математика: логарифмические уравнения и неравенства: учебное пособие для СПО/   В.А. Далингер.- М.: Юрайт, 2019.-177с.

2. Математика. Нестандартные методы решения неравенств и их систем: учебное пособие/ З.Л. Коропец, А.А. Коропец, Т.А. Алексеева.- Орел: ФГБОУ ВПО «Госуниверситет - УНПК», 2012.-125с.

3. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач: учебное пособие/ В.П. Супрун.- М.: ЛИБРОКОМ, 2009.-272с.

4. Генкин Г.З. Геометрические решения негеометрических задач: книга для учителя/ Г.З. Генкин.- М.: Просвещение, 2007.-79с.