Методические рекомендации по выполнению практических работ по теме «ряды»

Комитет по образованию

СПб ГБПОУ «Колледж судостроения и прикладных технологий»

Методические рекомендации

по выполнению практических работ

по теме «ряды»

Разработаны преподавателем СПб ГБПОУ

«Колледж судостроения и прикладных технологий»

Каракашевой И.В.

Санкт – Петербург

2019

Пояснительная записка

Методические рекомендации по выполнению практических работ составлены в соответствии с рабочей программой по "ЕН.01.Математике". Выполнение практических работ является одним из важнейших условий по реализации программы учебной дисциплины "ЕН.01.Математика", которая является частью основной профессиональной образовательной программы в соответствии с ФГОС по специальности среднего профессионального образования, 26.02.02 Судостроение квалификация: техник

Методические указания направлены на оказание методической помощи обучающимся при выполнении практических работ.

Практические работы используются как для закрепления теоретических знаний, полученных на уроках теоретического обучения, так и для получения практических знаний и умений. Кроме того, они могут быть использованы и для самостоятельного изучения данной темы, так как содержат необходимый теоретический материал и разобранные примеры.

Практические работы выполняются обучающимися самостоятельно на уроках с применением полученных умений и навыков, с использованием рекомендаций к каждой работе, и, в случае необходимости, с пояснениями учителя. На каждую практическую работу отводится 45 минут.

На изучение темы «Ряды» в учебной программе отводится 13 часов, в том числе 5 часов на выполнение практических работ.

Перечень практических работ

Исследовать ряды на сходимость

Исследовать знакочередующиеся ряды на сходимость

Найти интервал сходимости степенного ряда

Разложить функции в степенной ряд

Найти приближенное значение функции

Целью выполнения практических работ является получение знаний и умений, закрепление теоретических знаний и формул, формирование умений:

- решения практических задач;

-закрепления, углубления, расширения и систематизации знаний, полученных во время аудиторных занятий.

В результате освоения темы «Ряды» обучающийся должен знать:

- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;

- виды рядов;

- признаки сходимости числовых рядов;

- понятие интервала сходимости степенного ряда;

- таблицу разложения основных функций в степенной ряд.

В результате освоения данной темы обучающийся должен уметь:

- исследовать знакоположительные числовые ряды на сходимость;

- исследовать знакочередующиеся числовые ряды на абсолютную или условную сходимость;

- находить интервал сходимости степенного ряда;

- раскладывать функции в степенной ряд;

- вычислять приближенное значение функции с заданной точностью;

- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.

Практические работы можно использовать как для контроля усвояемости знаний по данной теме, так и для самостоятельного изучения темы.

Критерии оценок приведены в каждой практической работе.

Литература

1. Григорьев В.П.Дубинский Ю.А.Элементы высшей математики (учебник для студ. учреждений СПО) – М.,2014

2. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. – М.: Айрис пресс, 2009.

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. – Москва: Оникс, 2008.

Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике для техникумов. – М.: Высшая школа, 2005.

Интернет- ресурсы:

1.http://de.ifmo.ru –Электронный учебник.

2.http://www.mathnet.ru - Общероссийский математический портал Math-Net.Ru

3. https://ru.onlinemschool.com/ - Общероссийский математический портал OnlineMSchool 

Практическая работа 1

Исследовать ряды на сходимость

     Числовым рядом называется выражение вида

(1),

где числа называются членами ряда; - общим членом ряда.

     Если все они неотрицательны, то такой ряд называют положительным числовым рядом.

     Суммирование не обязательно начинается с единицы, в ряде случаев оно может начинаться с нуля , с двойки либо с любого натурального числа.

     Ряд считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера .

Примеры:

Для заданных рядов написать первые три члена ряда

1)

Ряд можно записать в виде

2)

Ряд можно записать в виде

Признаки сходимости

Необходимый признак сходимости

     Если ряд (1) сходится, то

Признаком удобнее пользоваться в виде:

     Если , то ряд (1) расходится.

Примеры:

Исследовать ряды на сходимость

1)

Ответ: pяд расходится

2)

Ответ: ряд расходится

3)

Неебходимый признак выполнен, ряд может сходиться или расходиться, т.е. требуется дополнительное исследование.

Достаточные признаки сходимости

Признаки сравнения

I признак сравнения:

     Пусть даны 2 ряда с положительными членами и ,

причем при n=1,2,3,…

Тогда: если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)

            если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)

II признак сравнения:

     Если существует конечный и отличный от нуля , то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно

Замечание:

В качестве рядов для сравнения удобно выбирать ряды:

1) геометрическую прогрессию

Если , то ряд сходится

Если , то ряд расходится

2) ряд

Если , то ряд сходится

Если , то ряд расходится

Ряд называется гармоническим (расходится)

Примеры:

Исследовать ряды на сходимость

1) 

Р=2, значит ряд сходится, тогда по I признаку сравнения ряд сходится

Ответ: ряд сходится

2) 

Ряд сходится, т.к. это геометрическая прогрессия со знаменателем , тогда по I признаку сравнения ряд сходится

Ответ: ряд сходится

3) 

P=1, значит ряд расходится, тогда по II признаку сравнения ряд расходится

Ответ: ряд расходится

Замечание:

Если общий член ряда представляет собой частное от деления многочленов, то для сравнения выбираем ряд , где показатель р равен разности между старшими показателями знаменателя и числителя.

4) 

P=3, значит ряд сходится, тогда по II признаку сравнения ряд сходится

Ответ: ряд сходится

Достаточные признаки сходимости

Признак Даламбера:

Если для ряда существует предел , то при к<1 ряд сходится, при к>1 ряд расходится

Признак Коши:

Если для ряда существует предел , то при к<1 ряд сходится, при к>1 ряд расходится

Замечание:

     Признак Даламбера удобно применять, если в общий член ряда входят:

1)

2) факториал

3) несколько множителей

     Признак Коши удобно применять, если общий член содержит степень, зависящую от n

Важно!

Для предварительной оценки сходимости ряда учитываем:

Факториал растёт быстрее, чем любая показательная последовательность, т.е.  или 

Факториал растёт быстрее, чем любая степенная последовательность или многочлен, т.е.  или .

Любая показательная последовательность растёт быстрее, чем любая степенная последовательность, т.е., 

Примеры:

Исследовать ряды на сходимость

1) 

Т.к. предел больше 1, то по признаку Даламбера ряд расходится

Ответ: ряд расходится

2) 

Т.к. предел меньше 1, то по признаку Даламбера ряд сходится

Ответ: ряд сходится

3) 

Т.к. предел меньше 1, то по признаку Коши ряд сходится

Ответ: ряд сходится

Выполнить самостоятельно:

Для заданных рядов написать первые три члена ряда

1) 

2) 

Исследовать ряды на сходимость

3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
11) 

Критерии оценок:

«3» - за верно выполненных 6 заданий

«4» - за верно выполненных 8 заданий

«5» - за верно выполненных 10 заданий

Практическая работа 2

Исследовать знакочередующиеся ряды на сходимость

     Знакочередующимся рядом называется ряд вида

(1)

где для всех n=1,2,3,…

Достаточный признак сходимости Лейбница

Знакочередующийся ряд (1) сходится, если

1) Абсолютные величины его членов убывают, т.е.

2) Общий член ряда стремится к нулю, т.е.

Замечание:

При практическом использовании рядов обычно ограничиваются несколькими первыми членами. При этом, допускаемая ошибка ( остаток ряда) оценивается при помощи неравенства:

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то ряд расходится.

Знакочередующийся ряд может сходиться абсолютно или условно.

     Знакочередующийся ряд сходится абсолютно, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

     Знакочередующийся ряд сходится условно, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Алгоритм исследования знакочередующихся рядов на сходимость

1) Составим ряд из модулей членов ряда (1) - (2)(это ряд положительными членами) и исследуем его сходимость (по признакам сравнения, Даламбера, Коши)

2) Если ряд (2) сходится, то исходный ряд (1) сходится абсолютно

3) Если ряд (2) расходится, то исходный ряд (1) исследуем по признаку Лейбница

4) Если условия признака Лейбница выполняются, то ряд (1) сходится условно

5) Если условия признака Лейбница не выполняются, то ряд (1) расходится

Примеры:

Исследовать знакочередующиеся ряды на сходимость

1) 

Составим ряд из модулей

Общий член ряда представляет собой частное от деления многочленов, воспользуемся II признаком сравнения; для сравнения выберем ряд , где показатель р равен разности между старшими показателями знаменателя и числителя

P=2, зачит ряд сходится, тогда по II признаку сравнения ряд из модулей сходится, и исходный ряд сходится абсолютно

Ответ: ряд сходится абсолютно

2) 

Составим ряд из модулей

Т.к. общий член ряда содержит показательную функцию, то воспользуемся признаком Даламбера

Т.к. предел больше 1, то по признаку Даламбера ряд расходится

Исследуем сходимость ряда по признаку Лейбница

Первое условие признака Лейбница выполнено

- смотри пункт 3 Замечания

Второе условие признака Лейбница не выполнено

По признаку Лейбница ряд расходится

Решение можно упростить, если сначала проанализировать общий член заданного ряда. Из пункта 3 Замечания видно, что предел общего члена заданного ряда равен бесконечности, поэтому удобнее сразу воспользоваться признаком Лейбница.

Ответ: ряд расходится

3) 

Составим ряд из модулей

Т.к. общий член ряда содержит степень, зависящую от n,то воспользуемся признаком Коши

Т.к. предел меньше 1, то по признаку Коши ряд сходится, значит, исходный ряд сходится абсолютно

Ответ: ряд сходится абсолютно

4) 

Составим ряд из модулей . Это гармонический ряд, который расходится, таким образом, ряд из модулей расходится.

Исследуем сходимость ряда по признаку Лейбница

Первое условие признака Лейбница выполнено

Второе условие признака Лейбница выполнено

По признаку Лейбница ряд сходится

Исходный ряд сходится условно

Ответ: ряд сходится условно

Выполнить самостоятельно:

Исследовать ряды на сходимость

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Критерии оценок:

«3» - за верно выполненные 4 задания

«4» - за верно выполненных 6 заданий

«5» - за верно выполненных 8 заданий

Практическая работа 3

Найти интервал сходимости степенного ряда

     Степенным рядом называется ряд вида

(1)

где действительные числа называются коэффициентами ряда

Основное свойство степенного ряда

     Для каждого степенного ряда существует интервал сходимости с центром в точке а и радиуса R - , внутри которого степенной ряд сходится абсолютно и вне которого расходится.

     На границах интервала ряд может вести себя по-разному: сходиться абсолютно или условно или расходиться, поэтому на концах интервала требуется дополнительное исследование.

     Число R – половина длин интервала сходимости – называется радиусом сходимости степенного ряда.

Замечание:

     Если R=0, то степенной ряд сходится лишь в точке х=а.

     Если , то степенной ряд сходится на всей числовой оси.

Алгоритм нахождения интервала сходимости степенного ряда

1) Найдем радиус интервала сходимости из признака Даламбера или Коши по формулам

или

если этот предел (конечный или бесконечный) существует

2) Запишем интервал сходимости в виде

3) Подставим x-a=-R в степенной ряд (1), получим знакочередующийся ряд и исследуем его на сходимость (по признаку Лейбница и признакам сравнения, Даламбера, Коши)

4) Подставим x-a=R в степенной ряд (1), получим ряд с положительными членами и исследуем его на сходимость (по признакам сравнения, Даламбера, Коши)

Примеры:

Найти интервал сходимости степенного ряда

1) 

Найдем радиус интервала сходимости

Запишем интервал в виде или . Внутри интервала ряд сходится абсолютно.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала

Подставим х=1 в заданный ряд, получим . Это ряд , и он сходится при р=3. На правой границе ряд сходится.

Подставим х=-1 в заданный ряд, получим

Ряд из модулей – , и он сходится, значит, на левой границе ряд сходится абсолютно.

Ответ: интервал сходимости ряда [-1;1]

2) 

Найдем радиус интервала сходимости

Т.к. R=0, то степенной ряд сходится абсолютно лишь в точке х=5

Ответ: интервал сходимости ряда {5}

3) 

Найдем радиус интервала сходимости

Запишем интервал в виде или . Внутри интервала ряд сходится абсолютно.

Исследуем сходимость ряда на концах интервала

Подставим x=3 в заданный ряд, получим

Этот ряд сравним с гармоническим рядом (II признак сравнения), и он расходится, значит, на правой границе ряд расходится.

Подставим х=-1 в заданный ряд, получим

Ряд из модулей сравним с гармоническим, и он расходится.

Рассмотрим признак Лейбница

По признаку Лейбница ряд сходится, т.е. на левой границе ряд сходится условно.

Ответ: интервал сходимости ряда [-1;3)

4) 

Найдем радиус интервала сходимости

Т.к. , то ряд сходится на всей числовой оси.

Ответ: интервал сходимости ряда

Выполнить самостоятельно:

Найти интервал сходимости степенного ряда

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8)

Критерии оценок:

«3» - за верно выполненные 4 задания

«4» - за верно выполненных 6 заданий

«5» - за верно выполненных 7 заданий

Практическая работа 4

Разложить функцию в степенной ряд

     Любая функция, бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х=а, может быть разложена в этой окрестности в сходящейся к ней ряд Тейлора

если выполняется условие:

, где

где - остаточный член в форме Лагранжа.

Замечание:

В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремится к нулю при .

     Если в ряде Тейлора положить а=0, то получим разложение функции в ряд Маклорена

При разложении функции в ряд Маклорена удобно пользоваться известными разложениями элементарных функций и их интервалами сходимости. Приведем таблицу разложений некоторых функций в ряд Маклорена и их интервалы сходимости.

Таблица

     

Примеры:

Разложить функции в ряд Маклорена и найти их интервалы сходимости

1) 

Подставим вместо х в ряд для 5х

Аналогично поступим и для нахождения интервала сходимости; подставим вместо х 5х.

Ответ:

2) 

Воспользуемся формулой , и заменим cos2x его разложением в степенной ряд.

Для нахождения интервала сходимости подставим вместо х 2х.

\

Ответ:

3) 

Преобразуем логарифм к стандартному виду

Подставим вместо х в ряд для логарифма

Для нахождения интервала сходимости подставим вместо х

Ответ:

4) Разложить y=lnx по степеням (х-1)

Преобразуем логарифм

В ряд для логарифма подставим вместо х - (х-1)

Для нахождения интервала сходимости подставим вместо х - (х-1)

Ответ:

Выполнить самостоятельно:

Разложить функции в ряд Маклорена и найти их интервалы сходимости

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

7) 

8) 

Разложить функции в ряд Тейлора по степеням (х-2) и найти их интервалы сходимости

9) 

10) 

Критерии оценок:

«3» - за верно выполненных 5 заданий

«4» - за верно выполненных 7 заданий

«5» - за верно выполненных 9 заданий

Практическая работа 5

Найти приближенное значение функции

     Для вычисления приближенного значения функции в ее разложении в степенной ряд сохраняются первые n членов, а остальные отбрасываются.

     Точное значение функции в точке (если точка принадлежит интервалу сходимости степенного ряда для функции ) равно сумме ряда при

     Приближенное значение функции в точке равно частичной сумме ряда

      Aбсолютная погрешность вычисления равна модулю остатка ряда

     При вычислении приближенного значения функции с заданной точностью абсолютная погрешность должна быть меньше этого числа .

     Для вычисления приближенного значения функции в точке с заданной точностью используем следующий алгоритм

Алгоритм вычисления приближенного значения функции

1) Если точка принадлежит интервалу сходимости степенного ряда для заданной функции , то напишем первые 4-5 членов ее разложения в степенной ряд, пользуясь таблицей.

2) Каждый член ряда вычисляем с точностью (берем столько знаков после запятой, сколько содержится в числе )

3) Т.к. абсолютная погрешность вычисления равна модулю остатка ряда, то отбрасываем тот член ряда, который меньше , и суммируем оставшиеся члены.

Примеры:

Вычислить приближенное значение с заданной точностью

1) с точностью

Воспользуемся рядом для функции, где

Вычислим несколько членов ряда, пока последний не станет меньше 0,001

Т.к. пятый член ряда меньше 0,001, то его отбрасываем, и суммируем остальные члены

Ответ:

2) с точностью

Воспользуемся рядом для функции , где

Вычислим несколько членов ряда, пока последний не станет меньше 0,00001

Т.к. третий член ряда меньше 0,00001, то его отбрасываем, и суммируем остальные члены

Ответ:

3) с точностью

Преобразуем данное выражение. Его надо привести к виду , ряд для которого сходится абсолютно при .

Разложение не подходит, т.к. х=16 не входит в интервал сходимости.

Т.к. является ближайшей к числу 17 четвертой степенью целого числа, то представим число .

Воспользуемся рядом для функции , где

Вычислим несколько членов ряда, пока последний не станет меньше 0,0001

Т.к. третий член ряда меньше 0,0001, то его отбрасываем, и суммируем остальные члены

Ответ:

4) с точностью

Преобразуем данное выражение. Его надо привести к виду , ряд для которого сходится абсолютно при .

Разложение не подходит, т.к. х=4 не входит в интервал сходимости.

Сделаем следующее преобразование

Воспользуемся рядом для функции , где

Вычислим несколько членов ряда, пока последний не станет меньше 0,0001

Т.к. пятый член ряда меньше 0,0001, то его отбрасываем, и суммируем остальные члены

Ответ:

Выполнить самостоятельно:

Вычислить приближенное значение с заданной точностью

1)  с точностью

         2) с точностью

        3) с точностью

        4) с точностью

5)  с точностью

6)  с точностью

7)  с точностью

8)  с точностью

9)  с точностью

10)  с точностью

Критерии оценок:

«3» - за верно выполненных 5 заданий

«4» - за верно выполненных 7 заданий

«5» - за верно выполненных 9 заданий