Непрерывность потока. Зависимость давления жидкостей и газов от скорости течения. Уравнение Бернулли

Пашикова Т.Д.

Преподователь кафедры общей физики

Туркменский государственный университет им. Махтумкули

(г. Ашхабад, Туркменистан)

Непрерывность потока. Зависимость давления жидкостей и газов от скорости течения. Уравнение Бернулли

Движение жидкостей и газов самый распространенный в природе вид движения (течение рек, ветер, течение крови по кровеносным сосудам, движение жидкостей и газов по трубам, движение водного и воздушного транспорта и др.).

Рассмотрим простую модель установившегося движения жидкостей или газа. В этой модели траектории, по которым движутся частицы, называют линиями тока. На рис.24.1 показаны линии тока жидкости, переходящий из трубы с большей площадью сечения в трубу с меньшей площадью сечения . Линия, по которой движутся частицы, называется линией тока.

рис.2 рис.3 рис.4

Если течение жидкости происходит так, что картина линиий тока не меняется, то течение жидкости называется стационарным. Если при стационарном течении получить несколько линий тока, то они не пересекутся и образуют в пространстве конфигурацию, которая называется трубкой тока (рис.2). Стационарное течение жидкости или газа по трубам возникает только при достаточно малых скоростях течения и при небольшом диаметре трубы. Течние жидкости, при котором не происходит перемешивание ее слоев, называют ламинарным (рис.3). При больших скоростях течения частицы жидкости или газа совершают движение по сложным, нерегулярно изменяющимся линиям. Такое течение называется турбулентным (от лат. turbulentis – беспорядочный) (рис.4).

Рассмотрим модель в которой жидкость практически несжимаема и трение между отдельными слоями жидкости отсутствует. Такая жидкость называется идеальной. Через каждое выделенное сечение за определенный промежуток времени проходит одинаковая масса жидкости. Следовательно, , или

, или , где ,

– объемы жидкости, прошедшей через сечение трубы с площадями и за время . Тогда:

Сокращая на и учитывая, что , – скорости жидкости в разных сечениях, получим:

(1)

Скорости жидкости в двух сечениях трубопровода обратно пропорциональны площадям сечений.

Так как сечения были выбраны произвольно, то

(2)

Уравнение 2 называют уравнением неразрывности струи или уравнением Эйлера.

Для данной трубки тока произведения площади поперечного сечения трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная.

рис.5

Каков же механизм увеличения скорости частиц жидкости при их переходе из трубы большего сечения в трубу малого сечения, какие силы действуют на частицы? Причиной возникновения этих сил может быть только давление. Значит, чем больше площадь сечения трубы (чем меньше скорость жидкости), тем больше давление в жидкости. На рис.5 жидкость течет по каналам разного сечения слева направо. Вертикальные трубки (манометры) позволяют судить о давлении жидкости.

рис.6

Давление в текущей жидкости больше там, где меньше скорость.

Зависимость давления идеальной жидкости от скорости ее течения в математической форме была установлена Даниилом Бернулли (1700-1782). Уравнение Бернулли можно вывести если применить закон сохранения механической энергии к потоку жидкости. Пусть труба переменного сечения расположена наклонно к горизонту. Выделим некоторый объем жидкости между сечением в широкой части трубы и сечением в узкой части (рис.6).

Пусть площадь поперечного сечения, давление и модуль скорости потока в широкой части соответственно равны , а в узкой части – . Если жидкость течет слева направо, то под действием сил давления и силы тяжести выделенный объем жидкости за малое время сместится вправо и займет часть трубы, ограниченную сечениями и . Силы давления совершат работу

Работа силы отрицательна, так как эта сила действует в направлении, противоположном перемещению жидкости. Так как , , и , то для работы получим:

При установившемся течении жидкости энергия объема жидкости, заключенного между сечениями и , остается неизменной. Поэтому достаточно учесть лишь изменение энергии жидкости, переходящей из области в область . Работа внешних сил давления, согласно закону сохранения энергии, равна изменению энергии элемента жидкости.

Учитывая,что и сокращяя на , перенося члены с одинаковыми индексами в одну сторону, получим:

(3)

Это и есть уравнение Бернулли для течения идеальной жидкости. Все члены левой части уравнения 3 можно рассматривать как давления, причем называют статическим, – динамическим, – гидравлическим давлением.

В установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление, слагающееся из динамического, статического и гидравлического давлений, постоянно на любом поперечном сечении потока.

Для горизонтальной трубки тока, где h1=h2 уравнение Бернулли принимает вид

(4)

Уравнения 2 и 3 применимы не только к жидкостям, но и к газам.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкостей и газов (гидро– и аэродинамики), имеющих большое прикладное значение. Приведем несколько примеров: гидротурбина, гидротаран, водоструйный насос, подъемная сила крыла самолета, аэрация почвы. На основе уравнения Бернулли действуют карбюратор двигателя внутреннего сгорания, пульверизатор, опрыскиватель сельскохозяйственных растений, ингалятор.