Клюева Лариса Валентиновна

Подборка задач по математике на тему «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии» (9 класс)

Материал опубликован 25 January в группе

106

902

Подборка задач на тему «Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии» (14 задание, математика ОГЭ)

1.  Н а клетчатой бумаге с размером клетки нарисована «змейка», представляющая собой ломаную, состоящую из четного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображен случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

2.  Камень бросают в глубокое ущелье. При этом в первую секунду он пролетает 9 метров, а в каждую следующую секунду на 10 метров больше, чем в предыдущую, до тех пор, пока не достигнет дна ущелья. Сколько метров пролетит камень за первые пять секунд?

3.  Бригада маляров красит забор длиной 240 метров, ежедневно увеличивая норму покраски на одно и то же число метров. Известно, что за первый и последний день в сумме бригада покрасила 60 метров забора. Определите, сколько дней бригада маляров красила весь забор.

4.  Рабочие прокладывают тоннель длиной 500 метров, ежедневно увеличивая норму прокладки на одно и то же число метров. Известно, что за первый день рабочие проложили 3 метра тоннеля. Определите, сколько метров тоннеля проложили рабочие в последний день, если вся работа была выполнена за 10 дней.

5.  Васе надо решить 434 задачи. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

6.  Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 10 километров. Определите, сколько километров прошел турист за третий день, если весь путь он прошел за 6 дней, а расстояние между городами составляет 120 километров.

7.  Грузовик перевозит партию щебня массой 210 тонн, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 2 тонны щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено за девятый день, если вся работа была выполнена за 14 дней.

8.  Улитка ползет от одного дерева до другого. Каждый день она проползает на одно и то же расстояние больше, чем в предыдущий день. Известно, что за первый и последний дни улитка проползла в общей сложности 10 метров. Определите, сколько дней улитка потратила на весь путь, если расстояние между деревьями равно 150 метрам.

9.  Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

10.  Вика решила начать делать зарядку каждое утро. В первый день она сделала 30 приседаний, а в каждый следующий день она делала на одно и то же количество приседаний больше, чем в предыдущий день. За 15 дней она сделала всего 975 приседаний. Сколько приседаний сделала Вика в пятый день?

11.  Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр  — на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?

12.  Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера?

13.  Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день  — на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв в день 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?

14.  В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25 выстрелов стрелок получал штрафные очки: за первый промах  — одно штрафное очко, за каждый последующий  — на 0,5 очка больше, чем за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7 штрафных очков?

15.  Улитка ползет вверх по дереву, начиная от его основания. За первую минуту она проползла 30 см, а за каждую следующую минуту  — на 5 см больше, чем за предыдущую. За сколько минут улитка достигнет вершины дерева высотой 5,25 м? В ответе укажите число минут.

16.  Альпинисты в первый день восхождения поднялись на высоту 1400 м, а затем каждый следующий день поднимались на высоту на 100 м меньше, чем в предыдущий. За сколько дней они покорили высоту 5000 м?

17.  Для асфальтирования участка длиной 99 м используются 2 катка. Первый каток был установлен в одном конце участка, второй  — в противоположном. Работать они начали одновременно. Первый каток в каждую минуту проходил 5 м, а второй каток за первую минуту прошел 1,5 м, а за каждую следующую минуту проходил на 0,5 м больше, чем за предыдущую. Через сколько минут катки встретились?

18.  Часть программы тренировок Арсения заключается в беге на беговой дорожке. На первой тренировке необходимо бежать 15 минут, на каждой следующей время пробежки увеличивается на 7 минут. За сколько тренировок Арсений проведет на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать программе? (В ответе укажите только число.)

19.  Занятия йогой начинают с 15 минут в день и увеличивают на 10 минут время каждый следующий день. Сколько дней следует заниматься йогой в указанном режиме, чтобы суммарная продолжительность занятий составила 2 часа?

20.  Футбольный мяч катится так, что за первую секунду он проходит путь 0,6 м, а в каждую следующую секунду путь увеличивается на 0,6 м по сравнению с предыдущей. Сколько секунд будет катиться мяч по горке длиной 6 метров?

21.  При свободном падении тело прошло в первую секунду 5 м, а в каждую следующую на 10 м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с после начала падения.

22.  Два велосипедиста, находясь на расстоянии 153 км друг от друга, начали двигаться одновременно навстречу друг другу. Первый велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, второй в первый час проехал 3 км, а в каждый последующий  — на 5 км больше, чем в предыдущий. Через сколько часов велосипедисты встретятся?

23.  Улитка, ползая по пересеченной местности, за первый час проползла 800 мм, а за каждый следующий час она проползала на 25 мм меньше, чем за предыдущий. Сколько времени она потратила на путь, равный 5700 мм?

24.  В лесу живут белки, каждая из которых, придя на опушку, съедает 10 орехов. В первый день на опушку пришли 6 белок. В каждый следующий на опушку приходило на две белки больше. Сколько орехов съели белки за 30 дней?

25.  Старший брат договорился с Мишей, что в пятницу он будет готовиться к экзамену по физике, решая задачи из сборника. За первую задачу брат разрешит ему поиграть на своей приставке 10 минут, а за каждую следующую задачу ему можно будет играть на 3 минуты больше, чем за предыдущую. Сколько минут можно будет поиграть Мише в воскресенье, если он решит 8 задач?

26.  Мама договорилась с Димой, что в понедельник он будет учить испанские слова. За первое выученное слово она даст сыну 5 конфет, а за каждое следующее слово на 2 конфеты больше, чем за предыдущее. Сколько конфет Дима получит от мамы в понедельник, если он выучит 12 слов?

27.  Рихарду необходимо разобрать 315 квадратных уравнений. Ежедневно он разбирает на одно и то же количество уравнений больше по сравнению с предыдущем днем. Известно, что за первый день Рихард разобрал 11 квадратных уравнений, а справился со всеми он за 9 дней. Сколько уравнений Рихард разберет в последний день?

28.  За изготовление и установку нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 234 рубля, а за каждое следующее кольцо платили на 18 рублей меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы была выплачена премия 360 рублей. Средняя стоимость изготовления и установки одного кольца с учетом премии оказалась равна 202 рубля. Сколько колец было установлено?

29.  Мать дарит каждой из пяти своих дочерей в день рождения, начиная с пяти лет, столько книг, сколько дочери лет. Возрасты пяти дочерей составляют арифметическую прогрессию, разность которой равна 2. Сколько лет было старшей дочери, когда у них составилась библиотека общей численностью в 495 книг?

30.  Шарами одинакового радиуса заполнили правильный треугольник, а потом тем же количеством шаров  — прямоугольник. Найдите количество шаров, если известно, что и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на два шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.

31.  В сосуде имеется несколько одинаковых кранов, которые открывают один за другим через равные промежутки времени. Через 8 часов после того, как был включен последний кран, сосуд был заполнен. Время, в течение которого были открыты первый и последний краны относятся как 5 : 1. Через сколько времени заполнится сосуд, если открыть все краны одновременно? Ответ дайте в часах.

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	412206	14520
2	412233	145
3	393942	8
4	393944	97
5	393946	57
6	393948	18
7	393950	18
8	393952	30
9	393954	22
10	394131	50
11	394303	117700
12	394309	5
13	394311	2
14	394312	21
15	394315	10
16	394316	4
17	394401	11
18	394421	5
19	394423	4
20	394429	4
21	394430	125
22	394432	6
23	394433	8
24	394435	10500
25	394436	164
26	394437	192
27	394438	59
28	394464	9
29	394399	18
30	394400	15
31	394402	24

Решения.

Решение. Длина змейки, изображенной на рисунке, составляет и представляет арифметическую прогрессию, члены которой учтены два раза, первый член равен 10, а разность  — 1.

Найдем сумму арифметической прогрессии для змейки, звено последнее звено которой 120

Каждый член прогрессии должен быть учтен дважды, следовательно, длина змейки

Ответ: 14520.

Решение. Растущая скорость камня представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом 9 и разностью 10. Найдем сумму этой прогрессии:

м.

Ответ: 145.

Решение. Пусть бригада в первый день покрасила метров забора, во второй  — … , в последний  — метров забора. Тогда м, а за n дней было покрашено

метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем: Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8.

Решение. Пусть рабочие в первый день проложили метров тоннеля, во второй  — , …, в последний  — метров тоннеля. Длина тоннеля метров. дней. Тогда в последний день рабочие проложили

метров.

Таким образом, рабочие в последний день проложили 97 метров тоннеля.

Ответ: 97.

Решение. В первый день Вася решил задач, в последний  — задач. Всего надо решить задач. Поскольку где имеем:

Тогда

задач.

Ответ: 57.

Решение. В первый день турист прошел км, во второй  — …, в последний  — км. Всего он прошел км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на d км, то

где дней, км. Таким образом,

Тогда за третий день турист прошел

Ответ: 18.

Решение. Пусть в первый день грузовик перевез тонны щебня, во второй  — …, в последний  — тонн; всего было перевезено тонн; норма перевозки увеличивалась ежедневно на d тонн. Таким образом,

Имеем:

Следовательно, за девятый день было перевезено 18 тонн щебня.

Ответ: 18.

Решение. Пусть улитка проползла в первый день метров, во второй − … , в последний − метров. Тогда м, а за n дней проползла метров. Поскольку всего она проползла 150 метров, имеем: откуда Таким образом, улитка потратила на весь путь 30 дней.

Ответ: 30.

Решение. В первый день Вера подписала открыток, во второй  — …, в последний  — открыток. Всего было подписано открыток. Если количество подписываемых открыток увеличивалось на d каждый день, то

Тогда

Следовательно, за четвертый день было подписано 22 открытки.

Ответ: 22.

Решение. Вика в первый день сделала 30 приседаний, значит, во второй  — … , в последний  — приседаний. Тогда приседаний. Так как получим, что Вика увеличивала на

приседаний в день.

Зная d, найдем a5:

Ответ: 50.

Решение. Последовательность цен за метр  — арифметическая прогрессия с первым членом и разностью Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле В нашем случае имеем:

Тем самым, цена работы составляет 117 700 руб.

Ответ: 117 700.

Решение. Время, проведённое на беговой дорожке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом равным 15 и разностью 7. Сумма n членов арифметической прогрессии может быть найдена по формуле:

Получили квадратное уравнение на n, решим его:

По условию задачи подходит значение

Ответ: 5.

Решение. На первом этапе приёма капель число принимаемых капель в день представляет собой возрастающую арифметическую прогрессию с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30. Следовательно,

этап, когда число капель в день возрастает продолжается Суммарное число капель, принятых в этот период, представляет собой сумму арифметической прогрессии:

Затем в течение трёх дней пациент принимает ещё

Последний этап приёма начинается с того момента, когда пациент уменьшит число принимаемых капель на 3, то есть примет в день 27 капель. Этот этап длится Аналогично первому этапу:

Таким образом, за весь курс приёма пациенту нужно принять 165 + 90 + 135 = 390 капель. То есть нужно приобрести не меньше пузырьков лекарства. Минимальное количество пузырьков лекарства  — 2.

Ответ: 2.

Решение. Количество начисляемых штрафных очков представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  1 и разностью d  =  0,5. Сумма n первых членов этой прогрессии равна 7:

Поскольку n является положительным числом, стрелок совершил 4 промаха, а значит, 21 попадание.

Ответ: 21.

Приведем решение задачи подбором.

За первый промах стрелок получил 1 штрафное очко.

За второй промах 1,5 штрафных очка, итого 1 + 1,5  =  2,5.

За третий промах 2 штрафных очка, итого 2,5 + 2  =  4,5.

За четвертый промах 2,5 штрафных очка, итого 4,5 + 2,5  =  7.

Следовательно, 7 штрафных очков получено за 4 промаха.

Решение. Всего улитка проползла 5,25 м или 525 см. Последовательность пройденных расстояний представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  30 и разностью d  =  5.

Сумма n первых членов этой прогрессии равна 525:

Поскольку n является положительным числом, получим, что за 10 минут улитка достигнет вершины дерева.

Ответ: за 10 минут.

Решение. Последовательность пройденных расстояний представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  1400 и разностью d  =  − 100. Сумма n первых членов этой прогрессии равна 5000:

Следовательно, через 4 дня альпинисты достигнут вершины.

Ответ: за 4 дня.

Решение. Пусть катки встретились через n минут. Первый каток движется равномерно, поэтому к моменту встречи пройдет 5n метров. Расстояние, пройденное вторым катком, является суммой n первых членов арифметической прогрессии с первым членом 1,5 и разностью 0,5. Тогда Sn + 5n  =  99, откуда получаем:

Тем самым катки встретятся через 11 минут.

Ответ:11.

Решение. Время ежедневных тренировок на беговой дорожке составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  15, разностью прогрессии d  =  7. Сумма прогрессии равна 2 часа 25 минут или 145 минут. Из формулы суммы арифметической прогрессии получаем:

Ответ: 5.

Решение. Продолжительность занятий составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  15, разностью d  =  10 и суммой прогрессии Sn  =  120. Выразим количество дней n (n>0) из формулы суммы арифметической прогрессии:

Подставим значения в полученное выражение:

Ответ: 4 дня.

Примечание.

Заметим, что задачу можно решить с помощью перебора:

За один день время занятий составит 15 минут.

За два дня время занятий составит 15 + (15 + 10)  =  15 + 25  =  40 минут.

За три дня время занятий составит 15 + 25 + 35  =  75 минут.

За четыре дня время занятий составит 15 + 25 + 35 + 45  =  120 минут.

Решение. Пройденные за каждую секунду пути составляют арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  0,6 и разностью d  =  0,6. Сумма членов этой прогрессии равна 6. Подставляя, получаем:

Ответ: 4 с.

Решение. Составим математическую модель задачи: в первую секунду  — 5 м, во вторую секунду  — 15 м, в третью секунду  — 25 м, в четвертую секунду  — 35 м, в пятую секунду  — 45 м.

Всего за пять секунд  — 5 + 15 + 25 + 35 + 45  =  125 (м).

Ответ: глубина шахты 125 м.

Приведем другое решение.

Пути, пройденные телом за каждую секунду, представляют собой арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  5 и разностью d  =  10. Путь, пройденный телом за 5 секунд, найдем по формуле суммы арифметической прогрессии при n  =  5:

Решение. Движение второго велосипедиста составляет арифметическую прогрессию, его путь  — сумма арифметической прогрессии, количество членов (n>0)  — время движения, первый член прогрессии a1 =3, разность прогрессии d =5. Так как велосипедисты едут навстречу, то 153 км  — сумма их путей за одно и то же время. Составим уравнение:

Ответ: через 6 ч.

Решение. Движение улитки составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1=800, разностью d  =  −25 мм и суммой прогрессии Sn  =  5700 мм. Выразим количество часов n (n>0) из формулы суммы арифметической прогрессии:

Подставим значения в полученное выражение:

Заметим, что при n  =  57 последний член прогрессии получится отрицательным, следовательно, n  =  8.

Ответ: 8 часов.

Решение. Растущее количество белок на опушке составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  6 и разностью d  =  2, посчитав количество белок, которые придут на опушку за n  =  30 дней по формуле суммы арифметической прогрессии мы сможем найти количество съеденных орехов:

Подставим значения в полученное выражение:

белок посетит опушку.

Значит, за 30 дней будет съедено орехов.

Ответ: 10500.

Решение. Количество минут игры составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  10 и разностью d  =  3, найдем по формуле сумму арифметической прогрессии первых восьми членов:

минуты.

Ответ: 164 минуты.

Решение. Растущее количество конфет составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  5, разностью d  =  2. Сумму первых 12 членов прогрессии конфеты.

Ответ: 192 конфеты.

Решение. Растущее количество задач составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  11, суммой прогрессии Sn  =  315 и количеством членов n  =  9. Найдем разность арифметической прогрессии из формулы суммы:

Подставим значения в полученное выражение:

задач.

По формуле для девятого члена найдем, сколько задач Рихард разберет в последний день:

задач.

Ответ: 59 задач.

Приведем другое решение.

Растущее количество задач составляет арифметическую прогрессию с первым членом a1  =  11, суммой прогрессии Sn  =  315 и количеством членов n  =  9. Из формулы суммы арифметической прогрессии найдем an:

задач.

Решение. Пусть за изготовление и установку всех колец заплатили Sn. Тогда

Средняя стоимость установки одного кольца с учетом премии равна 202 рубля, а значит, Получаем:

Следовательно, было установлено 9 колец.

Ответ: 9.

Решение. Обозначим за x возраст самой младшей дочери на момент, когда у них стало 495 книг, тогда возраст остальных дочерей составил x + 2, x + 4, x + 6 и x + 8 лет. Тогда

Решим уравнение:

Это верно при x  =  10, значит, старшей дочери было 18 лет.

Ответ: 18 лет.

3 0.  Шарами одинакового радиуса заполнили правильный треугольник, а потом тем же количеством шаров  — прямоугольник. Найдите количество шаров, если известно, что и на стороне треугольника, и на большей стороне прямоугольника располагается на два шара больше, чем на меньшей стороне прямоугольника.

Решение. Пусть большей стороне прямоугольника, как и на стороне треугольника расположено x шаров. Тогда на меньшей стороне прямоугольника расположено (x − 2) шара, поэтому всего шаров в прямоугольнике x(x − 2). Количество шаров в треугольнике представляет собой сумму членов арифметической прогрессии:

Решим уравнение:

Тогда всего шаров было 5 · 3  =  15.

Ответ: 15.

Решение. Пусть первый кран работал (n − 1)d + 8 часов, тогда второй кран работал (n − 2)d + 8 часов, ..., n-й кран  — 8 часов. Тогда

Получаем, что для заполнения сосуда требуется 24n часов работы. Если все краны открываются одновременно, то для заполнения всего сосуда потребуется часа.

Ответ: 24.

Приведем другое решение.

По условию последний кран был открыт 8 часов. Тогда первый кран был открыт 8 · 5  =  40 часов. Краны открывают через равные промежутки времени, следовательно, время их работы составляет арифметическую прогрессию, и суммарное время работы кранов составит