Практикум по решению задач по теме «Теория вероятностей»

Практикум по решению задач по теме «Теория вероятностей»

Комбинаторика

Среди задач по математике существует ряд задач, где нужно ответить на вопрос: каким числом различных способов можно осуществить требуемое. Или другими словами: сколько различных комбинаций, образованных по определенному правилу можно составить из элементов данного конечного множества. Область математики, которая занимается решением этих вопросов, называется комбинаторикой.

Опр. Каждое расположение всех элементов множества М в определенном порядке называют перестановкой этого множества. Число различных перестановок множества М, содержащего n различных элементов равно n!.

Если в множестве некоторые элементы повторяются:

a,a,…,a – α раз;

b,b,…,b – β раз;

…

c,c,…,c – γ раз, (α+β+…+γ =n), то тогда рассматривают перестановки с повторениями

1. Сколько можно составить пятизначных чисел , состоящих их цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры не повторяются)? (Отв.: 120)

2. Сколько можно составить шестизначных чисел, кратных пяти , состоящих их цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что цифры не повторяются? (Отв.: 120)

3.Сколько можно составить слов из букв слова «абрикос» (в каждом слове должны быть использованы все имеющиеся буквы)? (Отв.: 5040)

4.Для дежурства в классе в течение недели (кроме воскресенья) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очередность дежурств, если каждый учащийся дежурит 1 раз? (Отв.: 720)

5. Сколько различных перестановок можно сделать из букв слова «МАТЕМАТИКА»? (Отв.: 151200)

Опр. Любое m-элементное подмножество n-элементного множества () называют сочетанием из n элементов по m.

6.Для проведения экзамена создается комиссия из двух человек. Сколько различных комиссий можно составить из пяти преподавателей? (Отв.: 10)

7. В классе 29 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 5 человек для участия в математической олимпиаде? (Отв.: 118755)

8. На окружности отмечены 9 точек. Сколько можно построить :а)хорд, соединяя любые две из них? б) различных треугольников, с вершиной в этих точках? в)выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках? (Отв.: а)36; б)84; в)126)

9. У Саши есть 5 различных книг по математике, а у Юли – 7 различных по физике. Они решили подарить Федору по две книги. Сколько наборов можно составить? (Отв.: 210)

10.Сколькими способами из 12 врачей, 18 медсестер и 6 водителей можно сформировать бригаду, состоящую из 5 врачей, 4 сестер и 2-х водителей? (Отв.: 36352800)

Опр. Размещением из n элементов по m называют любое упорядоченное подмножество из m элементов данного типа.

11.Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, не повторяя их? (Отв.: 60)

12.В 7 классе изучаются 14 предметов. Сколькими способами можно составить расписания занятий на субботу, если в субботу должно быть 5 различных уроков?

(Отв.: 240240)

13.В отделении 12 солдат. Каким числом способов можно составить наряд из 2-х человек, если

а) один из них должен быть назначен старшим; б) не требуется назначать старшего по наряду? (Отв.: а)132; б)66)

Теория вероятностей

Событие называется случайным, если нельзя сказать заранее, произойдет ли данное событие или нет.

В теории вероятностей шансы того, что случайное событие произойдет, выражают числом, которое называется вероятностью случайного события.

Если событие никогда не наступит, то вероятность такого события считают равной нулю, а событие называют невозможным.

Если событие наступает всегда, его вероятность принимают за 1, а само событие называют достоверным.

Частотой случайного события А называют отношение числа тех опытов, в которых событие А произошло, к общему числу проведенных опытов. Вероятности и частоты связаны. При большом числе опытов частота события будет близка к его вероятности.

Если вероятность событие мала, то такое событие называется маловероятным.

Те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие, называют случайным опытом.

Элементарные события – это события, которые нельзя разбить на более простые. В результате случайного опыта обязательно наступает только одно элементарное событие.

Сумма вероятностей всех элементарных событий равна 1.

События, которые имеют равные вероятности, называют равновероятными. (Равновозможные элементарные события являются равновероятными).

Элементарные события, при которых наступает событие А, называют элементарными событиями, благоприятствующими событию А.

Если все элементарные события опыта равновозможны, тогда вероятность события равна отношению числа элементарных событий, благоприятствующих данному событию, к общему числу элементарных событий.Ответ: 0,32.

14.В ящике имеются 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 3 детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали будут окрашенными.

(Отв.: )

15.Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры. (Отв.: )

16.В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того , что среди отобранных студентов 5 отличников.

(Отв.: )

17.В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины. (Отв.0,5)

18.Из коробки, в которой 2 белых и 3 черных шара, вынимают наугад два шара. Найдите вероятность того, что они окажутся разного цвета. (Отв.0,6)

19.В шкафу находится 5 пар ботинок различных размеров. Из них случайным образом выбирают 2 ботинка. Найдите вероятность того, что они парные. (Отв.: )

20. Десять книг на одной полке расставляются наудачу. Найдите вероятность того, что при этом три определенные книги окажутся поставленными рядом. (Отв.: )

Теоремы о вероятностях событий.

Правило сложения вероятностей

События называются несовместными, если не могут наступать одновременно в ходе одного и того же опыта.

1)Если А и В – несовместны, то

2)Если А и В – совместны, то

События А и В – совместны, когда появление одного из них не исключает появление другого.

Правило умножения вероятностей

Если наступление события А не зависит от того, наступило событие В или нет, то такие события называют независимыми.

Если А и В – независимые события, то

Правило вычисления вероятности произведения событий А и В, которые не являются независимыми, будет рассмотрено ниже.

21.Два приятеля решили в отпуске пойти на охоту на четыре дня. Но охота на тетеревов возможна, только если нет дождя. И тогда вдвоем они сбивают за день 15 тетеревов. Вероятность того, что будет хорошая погода без дождя, 0,25. Какова вероятность того, что в результате охоты они за отпуск собьют 15 тетеревов? (Отв.: )

22. Так как в результате бомбежки связь была нарушена, для передачи срочного донесения с поля боя командир батальона послал двух связистов в штаб бригады разными дорогами. В силу различного боевого опыта и условий продвижения вероятность доставки донесения составляла 0,65 и 0,75. Какова вероятность доставки донесения в штаб бригады? (Отв.:0,9125)

23.В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга). (Отв.: 0,027)

24. Если шахматист А играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста В с вероятностью 0,5. Если А играет черными, то А выигрывает у В с вероятностью 0,32. Шахматисты А и В играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

(Отв.: 0,16)

25. Стре­лок стре­ля­ет по ми­ше­ни один раз. В слу­чае про­ма­ха стре­лок де­ла­ет вто­рой вы­стрел по той же ми­ше­ни. Ве­ро­ят­ность по­пасть в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,7. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ми­шень будет по­ра­же­на (либо пер­вым, либо вто­рым вы­стре­лом). (Отв.: 0,91)

26. В ма­га­зи­не стоят два платёжных ав­то­ма­та. Каж­дый из них может быть не­ис­пра­вен с ве­ро­ят­но­стью 0,05 не­за­ви­си­мо от дру­го­го ав­то­ма­та. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что хотя бы один ав­то­мат ис­пра­вен. (Отв.: 0,9975)

27. По от­зы­вам по­ку­па­те­лей Иван Ива­но­вич оце­нил надёжность двух ин­тер­нет-ма­га­зи­нов. Ве­ро­ят­ность того, что нуж­ный товар до­ста­вят из ма­га­зи­на А, равна 0,8. Ве­ро­ят­ность того, что этот товар до­ста­вят из ма­га­зи­на Б, равна 0,9. Иван Ива­но­вич за­ка­зал товар сразу в обоих ма­га­зи­нах. Счи­тая, что ин­тер­нет-ма­га­зи­ны ра­бо­та­ют не­за­ви­си­мо друг от друга, най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ни один ма­га­зин не до­ста­вит товар. (Отв.: 0,02)

​​​​​​​28.Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Маяк» по очереди играет с командами «Вымпел», «Звезда» и «Сатурн». Найдите вероятность того, что «Маяк» будет начинать только первую и последнюю игры. (Отв.: 0,125)

 29. Би­ат­ло­нист пять раз стре­ля­ет по ми­ше­ням. Ве­ро­ят­ность по­па­да­ния в ми­шень при одном вы­стре­ле равна 0,8. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что би­ат­ло­нист пер­вые три раза попал в ми­ше­ни, а по­след­ние два про­мах­нул­ся. Ре­зуль­тат округ­ли­те до сотых. (Отв.: 0,02)

30. По­ме­ще­ние осве­ща­ет­ся фонарём с двумя лам­па­ми. Ве­ро­ят­ность пе­ре­го­ра­ния лампы в те­че­ние года равна 0,3. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в те­че­ние года хотя бы одна лампа не пе­ре­го­рит. (Отв.: 0,91)

31. В тор­го­вом цен­тре два оди­на­ко­вых ав­то­ма­та про­да­ют кофе. Ве­ро­ят­ность того, что к концу дня в ав­то­ма­те за­кон­чит­ся кофе, равна 0,3. Ве­ро­ят­ность того, что кофе за­кон­чит­ся в обоих ав­то­ма­тах, равна 0,12. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что к концу дня кофе оста­нет­ся в обоих ав­то­ма­тах. (Отв.: 0,52)

32. Ве­ро­ят­ность того, что ба­та­рей­ка бра­ко­ван­ная, равна 0,06. По­ку­па­тель в ма­га­зи­не вы­би­ра­ет слу­чай­ную упа­ков­ку, в ко­то­рой две таких ба­та­рей­ки. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что обе ба­та­рей­ки ока­жут­ся ис­прав­ны­ми. (Отв.: 0,8836)

33. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос на тему «Прямоугольник», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем. (Отв.: 0,35)

34.Чтобы прой­ти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний, фут­боль­ной ко­ман­де нужно на­брать хотя бы 4 очка в двух играх. Если ко­ман­да вы­иг­ры­ва­ет, она по­лу­ча­ет 3 очка, в слу­чае ни­чьей — 1 очко, если про­иг­ры­ва­ет — 0 очков. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что ко­ман­де удаст­ся выйти в сле­ду­ю­щий круг со­рев­но­ва­ний. Счи­тай­те, что в каж­дой игре ве­ро­ят­но­сти вы­иг­ры­ша и про­иг­ры­ша оди­на­ко­вы и равны 0,4. (Отв.: 0,32)

Условная вероятность. Формула полной вероятности

Ранее было сказано, что если наступление события А не зависит от того, наступило событие В или нет, то такие события называют независимыми и тогда

Рассмотрим понятие условной вероятности.

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое уже произошло.

Обозначение: , - вероятность события А при условии, что ранее произошло событие В.

Можно по-другому определить понятие независимых событий : если , то А и В называются независимыми, то есть наступление одного из событий не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события являются зависимыми.

При зависимых событиях вероятность совместного появления двух зависимых событий равно произведению одного из них на условную вероятность другого.

Формула полной вероятности

Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместных событий (гипотез) ,,…, образующих полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице), равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А.

35.В ящике лежат 6 шаров: 3 черных и 3 белых. Найти вероятность появления белого шара вторым, если первым был вытянут черный шар. (Отв.: 0,3)

36.Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

(Отв.: 0,52)

37.В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен 1 шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету). (Отв.: )

38.В пирамиде 5 винтовок, три из которых снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с прицелом, рана0,95; для винтовки без прицела – 0,7. Найти вероятность того, что мишень будет поражена, если стрелок произведет один выстрел из наудачу взятой винтовки. (Отв.: 0,85)

39. В урне 4 белых и 2 черных одинаковых на ощупь шаров. Из урны вынимают сразу два шара. Найдите вероятность того, что оба эти шара будут белыми. (Отв.: 0,4)

40. В ящике лежат 5 одинаковых на ощупь шаров: 2 – зеленых, 3 – красных. Из ящика вынули наудачу 2 шара Найдите вероятность того, что оба вынутых шара разноцветные. (Отв.: 0,6)

41. В урне лежат 3 белых и 8 черных одинаковых на ощупь шаров. Из урны вынимают один шар и откладывают в сторону. Этот шар оказался белым. После этого из урны берут еще одни шар. Найдите вероятность того, что этот шар тоже будет белым. (Отв.: 0,2)

42. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных одинаковых на ощупь шаров, вынимают один за другим все шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку будет вынут белый шар. (Отв.: 0,6)

43.В вычислительной лаборатории имеются 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95, для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя. (Отв.: 0,89)

​​​​​​​ 44.Вероятность того, что во время работы цифровой электронной машины произойдет сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относятся как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,8; 0,9; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. (Отв.: 0,87)

45. В первой урне содержатся 10 шаров, из них 8 белых; во второй урне 20 шаров, из них 4 белых. Их каждой урны наудачу извлекли по одному шару, а затем из этих двух шаров взяли один шар. Найти вероятность того, что взят белый шар. (Отв.: 0,5)

46. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет забракована системой контроля.

(Отв.: 0,0296)

47. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. (Отв.: 0,019)

48.В цехе три типа автоматических станков производят одни и те же детали. Производительность их одинаковая, а качество различное. Известно, что станки первого типа производят 0,94 деталей отличного качества, второго типа – 0,9 деталей отличного качества, а третьего – 0,85. Все изготовленные детали сложены вместе. Определить вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется отличного качества, если в цехе 5 станков первого типа, 3 станка второго типа, 2 танка третьего типа. (Отв.: 0,91)

Формула Байеса.

Пусть событие А может наступить только при условии появления одного из событий (гипотез) ,,…, которые образуют полную группу событий (сумма их вероятностей равна единице). Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса

, где

.

49.Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго . Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что деталь произведена первым автоматом. (Отв.: )

50. В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него? (Отв.: вероятнее, что стрелок стрелял из винтовки без оптического прицела, так как )

51.Число грузовых машин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин, проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машин, а равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0,2. К бензоколонке подъехала для заправки машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. (Отв.: )

52.Для передачи сообщения путем подачи сигналов точка и тире используется телеграфная система. Статистические свойства помех таковы: искажается в среднем 2/5 сообщений точка и 1/3 сообщений тире. Известно, что среди переданных сигналов точка и тире относятся как 5:3. Определить вероятность того, что при приемке сигналов точка и тире в действительности были переданы эти сигналы. (Отв.: )

Формула Бернулли

Испытанием Бернулли называют случайный опыт, который может закончиться только одним из двух элементарных событий (одно из них условно называют успехом, а другой - неудачей). Если проводится несколько одинаковых и независимых испытаний Бернулли подряд, то говорят, что проведена серия испытаний Бернулли.

Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p (0<p<1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна , где .

53.Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: две партии из четырех или три партии из 6 (ничьи во внимание не принимаются)? (Отв.: вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.)

Монету бросают 5 раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз. (Отв.:а) )

54.Найти вероятность того, что событие А появится не менее трех раз в четырех независимых испытаниях, если вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. (Отв.: 0,1792)

55.Событие В появится в случае, если событие А наступит не менее четырех раз. Найти вероятность наступления события В, если будет произведено 5 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна 0,8. (Отв.: 0,73728)

56.Отрезок АВ, длина которого равна 15 см, разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу бросили четыре точки. Найти вероятность того, что две точки окажутся левее точки С и две – правее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения. (Отв.: )

57.Найти вероятность того, что бросив кость 8 раз, мы выбросим шестерку не менее четырех, но не более шести раз. (Отв.: 0,0306)

Литература

1.Математика. Алгебра и начала математического анализа:11 класс: учебник: углубленный уровень/ А.Г. Мерзляк, Д.А. Номировский, В.М. Поляков; под ред. В.Е. Подольского. – 4-е изд. стереотип – М.: Просвещение, 2021. – 412, [4] с. : ил.

2.Теория вероятностей и статистика/ Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. – 2-е изд., переработанное. – М.:МЦНМО:ОАО «Московские учебники», 2008. – 256 с.: ил.

3.Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для втузов. Изд. 2-е, доп. М., «Высш. школа», 1975.

4.Цифровые ресурсы:

fipi.ru; festival.1september.ru; alexlarin.net; reshuege.ru; interneturok.ru; ege.sdamgia.ru.