Презентация к проектной работе по математике "Удивительный мир фракталов"

УДИВИТЕЛЬНЫЙ МИР ФРАКТАЛОВ Выполнили: студентки 14Д группы Стадниченко Яна Косаева Снежана Руководитель: Мустакаева Г.Р. Государственное бюджетное профессиональное Образовательное учреждение «Кузнецкий многопрофильный колледж»

Цель проекта познакомиться с новой ветвью математики -- фракталами. выявить способы построения фракталов и их виды. выяснить, как в жизни могут помочь знания по данной теме.

1.Кто придумал фрактал? Первые идеи фрактальной геометрии возникли в 19 веке. КАНТОР (Cantor) Георг (1845- 1918) - немецкий математик, логик, теолог, создатель теории бесконечных множеств с помощью простой рекурсивной (повторяющейся) процедуры превратил линию в набор несвязанных точек (так называемая Пыль Кантора). Он брал линию, удалял центральную треть и после этого повторял то же самое с оставшимися отрезками.

Джузеппе ПЕАНО (Giuseppe Peano; 1858-1932) — итальянский математик, нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве. Джузеппе ПЕАНО (Giuseppe Peano; 1858-1932) — итальянский математик, нарисовал особый вид линии. Для ее рисования Пеано использовал следующий алгоритм. На первом шаге он брал прямую линию и заменял ее на 9 отрезков длиной в 3 раза меньшей, чем длина исходной линии Далее он делал то же самое с каждым отрезком получившейся линии. И так до бесконечности. Ее уникальность в том, что она заполняет всю плоскость. Позднее аналогичное построение было осуществлено в трехмерном пространстве.

Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.. Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. МАНДЕЛЬБРОТ (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. Он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии Кривая Пеано и пыль Кантора выходили за рамки обычных геометрических объектов. Они не имели четкой размерности. Пыль Кантора строилась вроде бы на основании одномерной прямой, но состояла из точек (размерность 0). А кривая Пеано строилась на основании одномерной линии, а в результате получалась плоскость.. Так было, пока за них не взялся Бенуа Р. МАНДЕЛЬБРОТ (Benoit Mandelbrot), математик из Исследовательского центра им. Томаса Уотстона при IBM - отец современной фрактальной геометрии, который и предложил термин "фрактал" для описания объектов, структура которых повторяется при переходе к все более мелким масштабам. Он изучал шумы в электронных схемах, которые невозможно было описать с помощью статистики. Постепенно сопоставив факты, он пришел к открытию нового направления в математике - фрактальной геометрии

Определение фрактала Сам Мандельброт вывел слово fractal от латинского слова fractus, что означает разбитый (поделенный на части). И одно из определений фрактала - это геометрическая фигура, состоящая из частей и которая может быть поделена на части, каждая из которых будет представлять уменьшенную копию целого (по крайней мере, приблизительно)

Фрактал - это математическое понятие многолокального и многоуровнего подобия самому себе. В частности, для геометрических фигур, понятие фрактал означает бесконечное подобное повторение исходной фигуры как равного размера, так и постройка подобных фигур меньших и больших масштабов из исходного геометрического элемента через наращивание подобными же элементами Фрактал - это математическое понятие многолокального и многоуровнего подобия самому себе. В частности, для геометрических фигур, понятие фрактал означает бесконечное подобное повторение исходной фигуры как равного размера, так и постройка подобных фигур меньших и больших масштабов из исходного геометрического элемента через наращивание подобными же элементами

2.Типы фракталов Фракталы делятся на группы. Самые большие группы это: 1.геометрические фракталы 2.алгебраические фракталы 3.стохастические фракталы

Геометрические фракталы Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

Классические примеры геометрических фракталов Снежинка коха Треугольник Серпинского Кривая Гильберта

Снежинка Коха Эта фигура — один из первых исследованных учеными фракталов. Строится она на основе равностороннего треугольника. Каждая сторона которого заменяется на 4 линии длиной в 1/3 исходной .  Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. Если сделать бесконечное число итераций - получим фрактал - снежинку Кохабесконечной длины. Получается, что наша бесконечная кривая покрывает ограниченную площадь.

Треугольник Серпинского Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Чтобы его получить, нужно взять равносторонний треугольник с внутренностью, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Дальше эти же действия нужно повторить с каждым из оставшихся трех треугольников, и т. д.

Пирамида Серпинского Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Кривая Гильберта Эта кривая (кривая Гильберта) была описана Давидом Гильбертом в 1891 году. Мы можем увидеть лишь конечные приближения к тому математическому объекту, который имеется в виду, — сам он получится в пределе только после бесконечного числа операций.

Дерево Пифагора Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, в которой на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево. Впервые дерево Пифагора построил Босман А.Е. (1891-1961), используя обычную линейку. Если взять угол не 45 градусов, а другой , то получится так называемое дерево Пифагора, обдуваемое ветром

Алгебраические фракталы Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул иногда весьма простых. Алгебраические фракталы могут быть линейными и нелинейными. Линейные фракталы - это фракталы, определяемые линейными функциями, то есть уравнениями первого порядка. Значительно богаче и разнообразнее нелинейные фракталы - это фракталы, определяемые нелинейными функциями. Примером алгебраических фракталов является Множество Мандельброта.

Множество Мандельброта Для его построения необходимы комплексные числа. Комплексное число - это число, состоящее из двух частей - действительной и мнимой, и обозначается a+bi. Действительная часть a, а bi - мнимая часть. i - называют мнимой единицей. (Если возвести i в квадрат, то получим -1). Комплексное число можно изобразить как точку на плоскости, у которой координата Х - это действительная часть a, а Y - это коэффициент при мнимой части b. Функционально множество Мандельброта определяется как Zn+1=Zn*Zn+C.

Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняется некоторое (достаточно большое) количество раз вычисление функции Zn+ 1=Zn*Zn+C. Если Zn значение больше 2, то изображается точка цветом равным номеру итерации, на которой абсолютное значение превысило 2, иначе изображается точка черного цвета. Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо хаотично. Для всех точек на комплексной плоскости в интервале от -2+2i до 2+2i выполняется некоторое (достаточно большое) количество раз вычисление функции Zn+ 1=Zn*Zn+C. Если Zn значение больше 2, то изображается точка цветом равным номеру итерации, на которой абсолютное значение превысило 2, иначе изображается точка черного цвета. Черный цвет в середине показывает, что в этих точках функция стремится к нулю - это и есть множество Мандельброта. За пределами этого множества функция стремится к бесконечности. Границы множества являются фрактальными. На границах этого множества функция ведет себя непредсказуемо хаотично.

Таким образом, множество Мандельброта – это фрактал, определенный, как множество точек на комплексной плоскости

Алгебраические фракталы необыкновенно красивы

Всего лишь элементарное уравнение, запущенное по фрактальному принципу – может дать невероятно сложные формы, потрясающие воображение. Их можно изменить, всего лишь подкорректировав базовое уравнение – в таком случае, по подобию малой части, вся сложная структура глобально изменится Всего лишь элементарное уравнение, запущенное по фрактальному принципу – может дать невероятно сложные формы, потрясающие воображение. Их можно изменить, всего лишь подкорректировав базовое уравнение – в таком случае, по подобию малой части, вся сложная структура глобально изменится

Стохастические фракталы Многие природные системы настолько сложны, что использование знакомых объектов Евклидовой геометрии для их моделирования представляется безнадежным. Здесь используется стохастический фрактал - "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры и текстуры Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры и текстуры

Термин “стохастичность” происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”. Стохастическим природным процессом является броуновское движение. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых. Термин “стохастичность” происходит от греческого слова, обозначающего “предположение”. Стохастическим природным процессом является броуновское движение. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря. С помощью компьютерной программы можно построить какие-нибудь объекты живой природы, например, ветку дерева. Процесс конструирования этого геометрического фрактала задается более сложным правилом, нежели построение вышеописанных кривых.

Фракталы в природе

Мандельброт, по сути дела, создал неевклидову геометрию негладких и кудрявых, шероховатых и зазубренных и корявых объектов - бывших изгоев в евклидовой геометрии, для которой всё должно быть сглажено, причёсано и усреднено, тогда как вся живая Природа состоит из «неправильных» форм. Причина успеха фракталов в моделировании природных объектов основана на использовании принципа подобия. Мандельброт, по сути дела, создал неевклидову геометрию негладких и кудрявых, шероховатых и зазубренных и корявых объектов - бывших изгоев в евклидовой геометрии, для которой всё должно быть сглажено, причёсано и усреднено, тогда как вся живая Природа состоит из «неправильных» форм. Причина успеха фракталов в моделировании природных объектов основана на использовании принципа подобия.

Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Фракталы – вот средство для исследования поставленных вопросов. Как представить всю сложность системы кровообращения, состоящей из множества капилляров и сосудов и доставляющей кровь к каждой клеточке человеческого тела? Представить строение легких и почек, напоминающие по структуре деревья с ветвистой кроной. Фракталы – вот средство для исследования поставленных вопросов. Кровеносная система напоминает фракталы

Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. Природа зачастую создаёт удивительные и прекрасные фракталы с идеальной геометрией и такой гармонией, что просто замираешь от восхищения. Лист (увеличение) Морские раковины

Папоротник – фрактал среди флоры Морозные узоры на окнах тоже фракталы Павлины – в их красочном оперенье спрятаны сплошные фракталы

Осьминог – морское животное из отряда головоногих. Взглянув на эту фотографию, становится очевидным фрактальное строение тела и присосок на щупальцах животного. Осьминог – морское животное из отряда головоногих. Взглянув на эту фотографию, становится очевидным фрактальное строение тела и присосок на щупальцах животного.

Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса. Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.

Еще одним представителем фрактального подводного мира является коралл . В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов Еще одним представителем фрактального подводного мира является коралл . В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов

3.Применение фракталов Геометрические фракталы применяются для получения изображений деревьев, кустов, береговых линий и т. д. Алгебраические и стохастические - при построении ландшафтов, поверхности морей, карт раскраски, моделей биологических объектов и др.

Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск. Фрактальные антенны. Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Литература Среди литературных произведений находят такие, которые обладают фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста: неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе с любой итерации: «У попа была собака…», «Притча о философе, которому снится, что он бабочка, которой снится, что она философ, которому снится…», «Ложно утверждение, что истинно утверждение, что ложно утверждение…» и т.п. неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями: «У Пегги был весёлый гусь…» и тексты с наращениями: «Дом, который построил Джек».

Присмотревшись к матрешкам с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал. Матрёшка это конструкция состоящая из самоподобных элементов. Присмотревшись к матрешкам с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал. Матрёшка это конструкция состоящая из самоподобных элементов.

Картина японского художника Хокусаи "Большая волна", волна цунами изображена на фоне Фудзиямы. Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап. Картина японского художника Хокусаи "Большая волна", волна цунами изображена на фоне Фудзиямы. Если вглядываться в эту картину, то обращаешь внимание, что художник рисуя гребень волны использовал фрактал, как бы состоящий из многочисленных хищных водяных лап.

Фракталы широко применяются в компьютерной графике: Фракталы широко применяются в компьютерной графике: сжатие изображений и информации; сокрытие информации на фрактальных изображениях или в звуке; шифрование данных с помощью фрактальных алгоритмов; создание фрактальной музыки; моделирование систем; С помощью этого метода создаются реалистичные изображения природных объектов, таких, например, как листья папоротника, деревья, при этом неоднократно применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают части изображения.

Сейчас многие учёные Вселенную воспринимают в качестве комплекса бесконечных фракталов. Даже все виды атомов представляют варианты фрактала атома водорода. Все виды волн есть фракталы. Все звуки речи есть акустическомнемонические фракталы. Все музыкальные произведения, есть фракталы, особенно гармоничны фракталы мелодической музыки. Любой научный, или литературный, или финансовый и т. п. тексты есть фракталы. Ведь все тексты, в качестве системы понятий, построены из отдельных слов-понятий. Стихи есть наиболее наглядные примеры фрактальности текстов! Общество людей есть фрактал из элементовлюдей, из элементов-семей, из элементовгосударств... Сейчас многие учёные Вселенную воспринимают в качестве комплекса бесконечных фракталов. Даже все виды атомов представляют варианты фрактала атома водорода. Все виды волн есть фракталы. Все звуки речи есть акустическомнемонические фракталы. Все музыкальные произведения, есть фракталы, особенно гармоничны фракталы мелодической музыки. Любой научный, или литературный, или финансовый и т. п. тексты есть фракталы. Ведь все тексты, в качестве системы понятий, построены из отдельных слов-понятий. Стихи есть наиболее наглядные примеры фрактальности текстов! Общество людей есть фрактал из элементовлюдей, из элементов-семей, из элементовгосударств...

4.Вывод В ходе выполнения проектной работы, мы познакомились с таким понятием, как «фрактал»; выявили их виды и способы построения; выяснили, как в жизни могут помочь знания по этой теме. Для нас этот проект открыл много нового и интересного. Мы с удовольствием искали информацию про фракталы. Изучили много полезного, которое сможем применять не только в математике, но и в жизни.