Проектно-исследовательская работа по математике в 6 классе «Удивительные фигуры: правильные многогранники»

Проектно-исследовательская работа:

"Удивительные фигуры: правильные многогранники".

В этом году на занятиях математического кружка мы изучали правильные многогранники, которые называют ещё Платоновыми телами. Изготавливая их модели мы были удивлены необычностью и красотой некоторых из них. С помощью развёрток мы научились конструировать эти фигуры. Но для того, чтобы построить развёртку нужно обладать комплексом математических знаний, чертёжными навыками, пространственным мышлением.

Мы решили больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, научиться их строить оптимально, легко и быстро, исследовать их роль в окружающем мире, и, наконец, разобраться, а пригодятся ли нам эти фигуры и знания о них в практической жизни

Цель исследования: расширение круга знаний о правильных многогранниках, изучение практического применения в окружающем мире.

Задачи исследования:

- изучить информационные источники по данной теме;

- изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним.

-найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде;

-доказать, что формы правильных многогранников применимы в быту.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур

Методы исследования:

- поиск, сбор и обработка информации по теме

- наблюдение;

-анкетирование;

-практическая работа.

Работая над этой темой мы выполнили все цели и задачи, которые ставили перед собой: научились конструировать модели правильных многогранников, изучили историю возникновения, их свойства, нашли связь форм правильных многогранников с природными объектами, нашли применение в повседневной жизни. Мы убедились, что эти фигуры вызывают интерес у окружающих. Кроме этого мы научились решать некоторые математические задачи, с помощью циркуля и линейки, совершенствуя тем самым свои чертёжные навыки и математические знания. Это очень нам пригодится, т.к уже в следующем году нам предстоит изучать геометрию.

В результате практической работы, мы совершенствовали мелкую моторику рук, у нас развивались фантазия и воображение, трудолюбие и настойчивость в достижении поставленных целей.

Оглавление.

Введение. 4

Понятие правильного многогранника 5-6

Из истории многогранников 6-7

Использование форм и применение правильных многогранников 7-9

Изготовление правильных многогранников 9-10

Заключение. 11

Список источников информации. 12

Приложение 13-18

Введение

В нашем мире много необычного и прекрасного. Нас окружают предметы, формы которых нас удивляют. Таковыми, например, являются правильные многогранники. Эти фигуры обладают и красотой, и совершенностью форм, и притягательностью.

С раннего детства мы уже встречаемся с правильными многогранниками, играя в кубики и развивающие конструкторы, решая головоломки Кубика-Рубика и его разновидностей. Архитекторы, строители и дизайнеры воплощают свои оригинальные идеи, используя эти фигуры.

В этом году на занятиях математического кружка мы изучали правильные многогранники, которые называют ещё Платоновыми телами. В учебных пособиях по геомет­рии за курс средней школы даны очень не богатые сведения о многогранниках. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулиро­вать много интересных задач. Решение предложенных задач позволит увидеть, что опреде­ленные приемы построения помогают в значительной мере упростить как само построение, так и понимание свойств фигуры.

Изучая свойства этих фигур, конструируя их развёртки, складывая многогранники, мы поняли, что нам это интересно. Мы решили больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, исследовать их роль в окружающем мире, и найти их практическое применение.

Гипотеза: правильные многогранники – гармоничные и выгодные фигуры и их можно широко использовать.

 Цель исследования: расширение круга знаний о правильных многогранниках, изучение практического применения в окружающем мире.

Задачи исследования:

- изучить литературные источники по данной теме;

- изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним.

-найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде;

-доказать, что формы правильных многогранников применимы в быту.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур

Методы исследования:

- поиск, сбор и обработка информации по теме

- наблюдение;

-практическая работа.

-анкетирование;

Многогранники - это простейшие фигуры в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Правильный многогранник это фигура, обладающая следующими свойствами:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двугранные углы равны.

Доказано существование только пяти правильных многогранников.

Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20, «додека» - 12.

Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников представлены в таблице (Приложение 1)

Изучив внимательно содержание таблицы мы увидели закономерность: если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так: « Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .

Таким образом, мы открыли формулу, которая впервые была выведена Рене Декартом в 1640 году, а позднее вновь открыта Эйлером в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Из истории многогранников.

Честь открытия и детального изучения правильных многогранников приписывают древнегреческим учёным. В некоторых источниках можно найти информацию о том, что Пифагор впервые выделил эти фигуры. В других источниках утверждается, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский, который ещё описал все пять правильных многогранников.

Значительное внимание правильным многогранникам уделял  Платон, в честь которого они и названы «Платоновы тела». Он каждой из четырёх стихий Земле, Воздуху, Воде и Огню сопоставил определённый правильный многогранник. Куб или Гексаэдр предназначался Земле, Октаэдр - Воздуху, Икосаэдр - Воде, а Тетраэдр - Огню. Такое сопоставление очень легко объяснить: жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры; воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, как капельки воды, на которые больше всего похожи икосаэдры; в противоположность воде, устойчивые кубики составляют землю. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». 

Полное математическое описание пяти правильных многогранников дал Евклид и доказал, что других правильных многогранников нет.

Идеи Платона о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира нашли своё продолжение и в наше время. В 80-х годах. московские инженеры В. Макаров и В. Морозов высказали интересную научную гипотезу: ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, которое оказывает активное воздействие природные процессы, идущие на планете. Силовое поле лучей этого кристалла, формируют икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Доказано, что многие залежи полезных ископаемых как раз и находятся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки: 62 вершины и середины рёбер многогранников, обладают особыми свойствами, позволяющими объяснить многие явления на нашей планете. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Использование форм и применение правильных многогранников.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Человек и природа этим широко пользуются. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Мы в этом убедились, рассмотрев кристаллы поваренной соли в электронный микроскоп в кабинете биологии.(Приложение 2)

А как разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Мы живём в мире кристаллов: ходим по кри­сталлам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кри­сталлы, лечимся кристаллами. В кабинете географии мы нашли кристаллы горного хрусталя и кварца, имеющих шестиугольную призматическую поверхность. Этот минерал обладает целебными свойствами. Раньше маленьким детям этот камень вешали на грудь, повязывая его на верёвочку, чтобы рёбёнок не простудился и не страдал простудой. Ещё мы убедились, что кристаллы калийной соли имеют форму гексаэдра. Этот минерал используют при изготовлении минеральных удобрений.

Много разных бактерий и вирусов имеют форму многогранников. Но все они имеют икосаэдровую или додекаэдровую форму. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя иглами, выходящими из вершин скелета. Так оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Гармоничность и простота правильных многогранников позволила создать серию игрушек, головоломок и конструкторов. Играя в эти игрушки у нас развивается логическое мышление, воображение, совершенствуется и мелкая моторика рук.

На занятиях математического кружка, прежде чем чертить развёртку и склеивать многогранник из бумаги, мы собирали развёртку и сам правильный многогранник с помощью магнитного конструктора.

Формы правильных многогранников также используются в бытовых предметах и упаковке товаров : чайные и молочные пакеты, коробочки и различные сувениры и др. Мы побывали на экскурсии в музее Сарсинской СОШ, где увидели сувениры в форме куба и тетраэдра с горсточками земли многострадального Ленинграда, ныне Санкт-Петербурга – послевоенный подарок от Ленинградского стекольного завода, который в годы Великой отечественной войны был эвакуирован в п.Сарс.

А какие необычные и смелые идеи воплощают архитекторы, строители и дизайнеры с помощью форм правильных многогранников. В интернете мы нашли очень много фотографий как эти удивительные фигуры используются при строительстве зданий, оформлении парков и дизайне бытовых интерьерных решений. (Приложение 3)

Художники разных эпох проявляли постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники стремились найти обоснованные с точки зрения науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяли художнику создавать трехмерное пространство на плоскости, добиваться ощущения объёмности и рельефности предметов. Для некоторых мастеров многогранники являлись весьма удобной моделью для оттачивания мастерства изображения перспективы. Были и такие кто искренне восхищался их симметрией и лаконичной красотой. Увлекался многогранниками и часто писал их на своих полотнах знаменитый Леонардо да Винчи (1452-1519). Он обогатил изображениями многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции».

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр и октаэдр.

В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Мы в постоянном окружении многогранников: многие предметы быта имеют форму многогранников, все архитектурные строения возведены в стиле многогранных моделей.

Изготовление моделей многогранников.

Мы познакомились и воспользовались таким способом изготовления моделей многогранников, который называется методом развёрток.

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки (Приложение 4)

Можно вырезать каждую грань отдельно, а затем склеить их в многогранник. Этот способ позволяет сэкономить расходный материал.

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё и другие способы построения этих фигур. Это, например, изготовление Платоновых тел способом плетения, с помощью оригами. Эти способы позволяют создать удивительные по красоте конструкции. На экскурсии в Сарсинской СОШ мы действительно увидели какие получаются чудные фигуры и получили мастер-класс по изготовлению правильных многогранников в технике оригами (Приложение5)

Таким образом, мы создали коллекцию правильных многогранников, а некоторым из них нашли собственное практическое применение. Например, 12 граней додекаэдра можно использовать в качестве настольного календаря, а любой другой многогранник можно оформить в виде новогодней игрушки или в виде фотоальбома с различными темами содержания.

И вот что у нас получилось!

Кроме этого мы организовали выставку своих работ в классе и провели небольшой опрос в 1-х, 5-х, 8-х и 11 классов.

Встречались ли Вы ранее с правильными многогранниками? Если - да, то где?

Эти фигуры вызывают Ваш интерес? Если - да, то какие именно?

Захотелось ли Вам самим попробовать изготовить их?

Как Вы думаете: где могут найти применение формы правильных многогранников?

Из 64 опрошенных почти все учащиеся встречались ранее с правильными многогранниками: в виде игрушек, сувениров, упаковок предметов, люстр, наглядных пособий в кабинете математики.

Всем участникам опроса понравились представленные фигуры, а первоклассникам и пятиклассникам понравились особенно те, которые ещё не были оформлены, так как им захотелось самим пофантазировать и придумать что-то своё с этими фигурами. Наибольший интерес вызвали додекаэдр (44 учащихся) и икосаэдр (52 учащихся) так они необычные и красивые и им хотелось бы научиться их изготавливать. Мы объяснили как это сделать и что это совсем нетрудное и, главное, полезное занятие, потому что развивается мелкая моторика рук, фантазия и творческие способности. На вопрос где можно найти применение этим фигурам мы получили самые разнообразные ответы: кормушки для птиц, шкатулки, сувениры, украшения, и даже мебель.

Опрос показал, что правильные многогранники вызывают интерес, многим хочется заниматься таким творчеством, а самое главное – эти фигуры находят своё применение в учебной деятельности и в повседневной жизн

Заключение.

Мы познакомились с красивыми, совершенными и гармоничными фигурами - правильными многогранниками, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому свои труды. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, в окружающей нас действительности.

Мы научились конструировать модели правильных многогранников, изучили историю возникновения, их свойства, нашли связь форм правильных многогранников с природными объектами, нашли применение в повседневной жизни. Мы убедились, что эти фигуры вызывают интерес у окружающих

Модели этих фигур могут найти применение на уроках физики, математики, химии, биологии как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Останавливаться на достигнутом нам бы не хотелось. В наших планах научиться изготовлять модели полуправильных и звёздчатых многогранников.

5. Список литературы и Интернет-ресурсов.

Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

http://ru.wikipedia.org

http://www.vseznaika.ru

http://youtube.com

http://origamisan.com

http://liberte.com

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=ffb40eea69a705e84bc1650202023061&n=21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id=9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n=21

Приложение1

Характеристики правильных многогранников

Приложение 2

Исследование кристаллов

Приложение 3

Использование форм правильных многогранников в бытовых сферах.

Приложение 4

Изготовление правильных многогранников

Приложение 5

Экскурсия и мастер-класс

Отзыв к работе
DOCX / 13.35 Кб
рецензия к работе
DOCX / 12.47 Кб
презентация к работе
PPT / 13.63 Мб