Материал опубликовала

Россия, Ханты-Мансийский АО, Нягань

Материал размещён в группе «Исследовательская деятельность учащихся»

#6 класс #Математика #Публикации #Проектно-исследовательская работа #Учитель-предметник #Школьное образование

Проектно-исследовательская работа: «Удивительные фигуры: правильные многогранники»

Проектно-исследовательская работа:

"Удивительные фигуры: правильные многогранники".

Краткая аннотация.

В этом году на занятиях математического кружка мы изучали правильные многогранники, которые называют ещё Платоновыми телами. Изготавливая их модели мы были удивлены необычностью и красотой некоторых из них. С помощью развёрток мы научились конструировать эти фигуры. Но для того, чтобы построить развёртку нужно обладать комплексом математических знаний, чертёжными навыками, пространственным мышлением.

Мы решили больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, научиться их строить оптимально, легко и быстро, исследовать их роль в окружающем мире, и, наконец, разобраться, а пригодятся ли нам эти фигуры и знания о них в практической жизни

Цель исследования: расширение круга знаний о правильных многогранниках, изучение практического применения в окружающем мире.

Задачи исследования:

- изучить информационные источники по данной теме;

- изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним.

-найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде;

-доказать, что формы правильных многогранников применимы в быту.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур

Методы исследования:

- поиск, сбор и обработка информации по теме

- наблюдение;

-анкетирование;

-практическая работа.

Работая над этой темой мы выполнили все цели и задачи, которые ставили перед собой: научились конструировать модели правильных многогранников, изучили историю возникновения, их свойства, нашли связь форм правильных многогранников с природными объектами, нашли применение в повседневной жизни. Мы убедились, что эти фигуры вызывают интерес у окружающих. Кроме этого мы научились решать некоторые математические задачи, с помощью циркуля и линейки, совершенствуя тем самым свои чертёжные навыки и математические знания. Это очень нам пригодится, т.к уже в следующем году нам предстоит изучать геометрию.

В результате практической работы, мы совершенствовали мелкую моторику рук, у нас развивались фантазия и воображение, трудолюбие и настойчивость в достижении поставленных целей.

Оглавление.

Введение. 4

Понятие правильного многогранника 5-6

Из истории многогранников 6-7

Использование форм и применение правильных многогранников 7-9

Изготовление правильных многогранников 9-10

Заключение. 11

Список источников информации. 12

Приложение 13-18

Введение

В нашем мире много необычного и прекрасного. Нас окружают предметы, формы которых нас удивляют. Таковыми, например, являются правильные многогранники. Эти фигуры обладают и красотой, и совершенностью форм, и притягательностью.

С раннего детства мы уже встречаемся с правильными многогранниками, играя в кубики и развивающие конструкторы, решая головоломки Кубика-Рубика и его разновидностей. Архитекторы, строители и дизайнеры воплощают свои оригинальные идеи, используя эти фигуры.

В этом году на занятиях математического кружка мы изучали правильные многогранники, которые называют ещё Платоновыми телами. В учебных пособиях по геометрии за курс средней школы даны очень не богатые сведения о многогранниках. Задач на эту тему предлагается совсем немного, из-за чего возможности темы совершенно не раскрываются. А ведь она в теоретическом отношении очень богата, позволяет сформулировать много интересных задач. Решение предложенных задач позволит увидеть, что определенные приемы построения помогают в значительной мере упростить как само построение, так и понимание свойств фигуры.

Изучая свойства этих фигур, конструируя их развёртки, складывая многогранники, мы поняли, что нам это интересно. Мы решили больше узнать о правильных многогранниках, познакомиться с историей их появления, исследовать их роль в окружающем мире, и найти их практическое применение.

Гипотеза: правильные многогранники – гармоничные и выгодные фигуры и их можно широко использовать.

Задачи исследования:

- изучить литературные источники по данной теме;

- изготовить коллекцию правильных многогранников и отследить интерес к ним.

-найти примеры правильных многогранников в окружающей природе и в бытовой среде;

-доказать, что формы правильных многогранников применимы в быту.

Объект исследования: правильные многогранники.

Предмет исследования: значение и применение этих фигур

Методы исследования:

- поиск, сбор и обработка информации по теме

- наблюдение;

-практическая работа.

-анкетирование;

Понятие правильного многогранника.

Многогранники - это простейшие фигуры в пространстве, как, например, многоугольники - простейшие фигуры на плоскости. Если рассматривать многогранник с точки зрения геометрии, то это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Стороны и вершины граней называют рёбрами и вершинами самого многогранника.

Правильный многогранник это фигура, обладающая следующими свойствами:

- он выпуклый;

- все его грани являются равными правильными многоугольниками;

- в каждой его вершине сходится одинаковое число граней;

- все его двугранные углы равны.

Доказано существование только пяти правильных многогранников.

Тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трёх треугольников.
Куб (гексаэдр) составлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов.
Октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырёх треугольников.
Додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников.
Икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников.

Названия этих фигур запомнить очень легко. В переводе с греческого «эдра» означает грань, «тетра» - 4, «гекса» - 6, «окта» - 8, «икоса» - 20, «додека» - 12.

Основными характеристиками многогранника являются число и вид граней, число вершин и число ребер. Эти характеристики для правильных многогранников представлены в таблице (Приложение 1)

Изучив внимательно содержание таблицы мы увидели закономерность: если число ребер рассматриваемого многогранника увеличить на 2, то получится число, равное сумме числа граней и вершин этого многогранника. Сформулируем это правило так: « Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2», то есть Г + В = Р + 2 .

Правильный многогранник	ЧИСЛО ГРАНЕЙ + ВЕРШИН	ЧИСЛО РЕБЕР
ТЕТРАЭДР	4 + 4 = 8	6
КУБ	6 + 8 = 14	12
ОКТАЭДР	8 + 6 = 14	12
ДОДЕКАЭДР	12 + 20 = 32	30
ИКОСАЭДР	20 + 12 = 32	30

Таким образом, мы открыли формулу, которая впервые была выведена Рене Декартом в 1640 году, а позднее вновь открыта Эйлером в 1752 году, имя которого с тех пор она и носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников.

Из истории многогранников.

О правильных многогранниках человечество знает давно. Их орнаментные модели можно найти на резных шарах из камней, появившихся в Шотландии, задолго до того, как их открыл Платон. Разновидные игральные кости того времени, также по форме напоминают правильные многогранники.

Уже тогда люди использовали бронзовые аналоги этих удивительных фигур.

Честь открытия и детального изучения правильных многогранников приписывают древнегреческим учёным. В некоторых источниках можно найти информацию о том, что Пифагор впервые выделил эти фигуры. В других источниках утверждается, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский, который ещё описал все пять правильных многогранников.

Значительное внимание правильным многогранникам уделял Платон, в честь которого они и названы «Платоновы тела». Он каждой из четырёх стихий Земле, Воздуху, Воде и Огню сопоставил определённый правильный многогранник. Куб или Гексаэдр предназначался Земле, Октаэдр - Воздуху, Икосаэдр - Воде, а Тетраэдр - Огню. Такое сопоставление очень легко объяснить: жар огня ощущается чётко и остро как маленькие тетраэдры; воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, как капельки воды, на которые больше всего похожи икосаэдры; в противоположность воде, устойчивые кубики составляют землю. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон писал: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца».

Полное математическое описание пяти правильных многогранников дал Евклид и доказал, что других правильных многогранников нет.

Идеи Платона о связи правильных многогранников с гармоничным устройством мира нашли своё продолжение и в наше время. В 80-х годах. московские инженеры В. Макаров и В. Морозов высказали интересную научную гипотезу: ядро Земли имеет форму и свойства растущего кристалла, которое оказывает активное воздействие природные процессы, идущие на планете. Силовое поле лучей этого кристалла, формируют икосаэдро-додекаэдровую структуру Земли. Она проявляется в том, что в земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра.

Доказано, что многие залежи полезных ископаемых как раз и находятся вдоль икосаэдро-додекаэдровой сетки: 62 вершины и середины рёбер многогранников, обладают особыми свойствами, позволяющими объяснить многие явления на нашей планете. Здесь располагаются очаги древнейших культур и цивилизаций: Перу, Северная Монголия, Гаити, Обская культура и другие. В этих точках наблюдаются максимумы и минимумы атмосферного давления, гигантские завихрения Мирового океана. В этих узлах находятся озеро Лох-Несс, Бермудский треугольник.

Использование форм и применение правильных многогранников.

Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. Человек и природа этим широко пользуются. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Мы в этом убедились, рассмотрев кристаллы поваренной соли в электронный микроскоп в кабинете биологии.(Приложение 2)

А как разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Мы живём в мире кристаллов: ходим по кристаллам, строим из кристаллов, обрабатываем кристаллы на заводах, выращиваем кристаллы в лабораториях, создаем приборы и изделия из кристаллов, широко применяем кристаллы в науке и технике, едим кристаллы, лечимся кристаллами. В кабинете географии мы нашли кристаллы горного хрусталя и кварца, имеющих шестиугольную призматическую поверхность. Этот минерал обладает целебными свойствами. Раньше маленьким детям этот камень вешали на грудь, повязывая его на верёвочку, чтобы рёбёнок не простудился и не страдал простудой. Ещё мы убедились, что кристаллы калийной соли имеют форму гексаэдра. Этот минерал используют при изготовлении минеральных удобрений.

Много разных бактерий и вирусов имеют форму многогранников. Но все они имеют икосаэдровую или додекаэдровую форму. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя иглами, выходящими из вершин скелета. Так оно больше похоже на звёздчатый многогранник.

Гармоничность и простота правильных многогранников позволила создать серию игрушек, головоломок и конструкторов. Играя в эти игрушки у нас развивается логическое мышление, воображение, совершенствуется и мелкая моторика рук.

На занятиях математического кружка, прежде чем чертить развёртку и склеивать многогранник из бумаги, мы собирали развёртку и сам правильный многогранник с помощью магнитного конструктора.

Формы правильных многогранников также используются в бытовых предметах и упаковке товаров : чайные и молочные пакеты, коробочки и различные сувениры и др. Мы побывали на экскурсии в музее Сарсинской СОШ, где увидели сувениры в форме куба и тетраэдра с горсточками земли многострадального Ленинграда, ныне Санкт-Петербурга – послевоенный подарок от Ленинградского стекольного завода, который в годы Великой отечественной войны был эвакуирован в п.Сарс.

А какие необычные и смелые идеи воплощают архитекторы, строители и дизайнеры с помощью форм правильных многогранников. В интернете мы нашли очень много фотографий как эти удивительные фигуры используются при строительстве зданий, оформлении парков и дизайне бытовых интерьерных решений. (Приложение 3)

Художники разных эпох проявляли постоянный интерес к изучению и изображению многогранников. Пик этого интереса приходится, конечно, на эпоху Возрождения. Изучая явления природы, художники стремились найти обоснованные с точки зрения науки способы их изображения. Учения о перспективе, светотени и пропорциях, построенные на математике, оптике, анатомии, становятся основой нового искусства. Они позволяли художнику создавать трехмерное пространство на плоскости, добиваться ощущения объёмности и рельефности предметов. Для некоторых мастеров многогранники являлись весьма удобной моделью для оттачивания мастерства изображения перспективы. Были и такие кто искренне восхищался их симметрией и лаконичной красотой. Увлекался многогранниками и часто писал их на своих полотнах знаменитый Леонардо да Винчи (1452-1519). Он обогатил изображениями многогранников книгу своего друга монаха Луки Палочи (1445 – 1514) «О божественной пропорции».

Сальвадор Дали на картине «Тайная вечерня» изобразил Иисуса Христа со своими учениками на фоне огромного прозрачного додекаэдра.

В XIII-XVII вв. многогранники были основой архитектурных строений, больше всего применялись кубы, но по мере развития нашли применения и другие виды многогранников, такие как тетраэдр и октаэдр.

В наши дни многогранники – это главное открытие человечества. Мы в постоянном окружении многогранников: многие предметы быта имеют форму многогранников, все архитектурные строения возведены в стиле многогранных моделей.

Изготовление моделей многогранников.

Мы познакомились и воспользовались таким способом изготовления моделей многогранников, который называется методом развёрток.

Чаще всего при создании моделей многогранников из плоских разверток используют такие развертки, в которых грани прилегают друг к другу ребрами, а модель строится путем загибания развертки вдоль ребер. Например, при создании моделей правильных многогранников чаще всего используют следующие развертки (Приложение 4)

Можно вырезать каждую грань отдельно, а затем склеить их в многогранник. Этот способ позволяет сэкономить расходный материал.

Кроме изготовления многогранников с помощью развёрток есть ещё и другие способы построения этих фигур. Это, например, изготовление Платоновых тел способом плетения, с помощью оригами. Эти способы позволяют создать удивительные по красоте конструкции. На экскурсии в Сарсинской СОШ мы действительно увидели какие получаются чудные фигуры и получили мастер-класс по изготовлению правильных многогранников в технике оригами (Приложение5)

Таким образом, мы создали коллекцию правильных многогранников, а некоторым из них нашли собственное практическое применение. Например, 12 граней додекаэдра можно использовать в качестве настольного календаря, а любой другой многогранник можно оформить в виде новогодней игрушки или в виде фотоальбома с различными темами содержания.

И вот что у нас получилось!

Кроме этого мы организовали выставку своих работ в классе и провели небольшой опрос в 1-х, 5-х, 8-х и 11 классов.

Встречались ли Вы ранее с правильными многогранниками? Если - да, то где?

Эти фигуры вызывают Ваш интерес? Если - да, то какие именно?

Захотелось ли Вам самим попробовать изготовить их?

Как Вы думаете: где могут найти применение формы правильных многогранников?

Из 64 опрошенных почти все учащиеся встречались ранее с правильными многогранниками: в виде игрушек, сувениров, упаковок предметов, люстр, наглядных пособий в кабинете математики.

Всем участникам опроса понравились представленные фигуры, а первоклассникам и пятиклассникам понравились особенно те, которые ещё не были оформлены, так как им захотелось самим пофантазировать и придумать что-то своё с этими фигурами. Наибольший интерес вызвали додекаэдр (44 учащихся) и икосаэдр (52 учащихся) так они необычные и красивые и им хотелось бы научиться их изготавливать. Мы объяснили как это сделать и что это совсем нетрудное и, главное, полезное занятие, потому что развивается мелкая моторика рук, фантазия и творческие способности. На вопрос где можно найти применение этим фигурам мы получили самые разнообразные ответы: кормушки для птиц, шкатулки, сувениры, украшения, и даже мебель.

Опрос показал, что правильные многогранники вызывают интерес, многим хочется заниматься таким творчеством, а самое главное – эти фигуры находят своё применение в учебной деятельности и в повседневной жизн

Заключение.

Мы познакомились с красивыми, совершенными и гармоничными фигурами - правильными многогранниками, узнали имена учёных, художников, которые посвятили этому свои труды. Ещё раз убедились, что истоки математики – в природе, в окружающей нас действительности.

Мы научились конструировать модели правильных многогранников, изучили историю возникновения, их свойства, нашли связь форм правильных многогранников с природными объектами, нашли применение в повседневной жизни. Мы убедились, что эти фигуры вызывают интерес у окружающих

Модели этих фигур могут найти применение на уроках физики, математики, химии, биологии как наглядно-иллюстративный материал, а так же, как материал для дальнейших исследований всех заинтересовавшихся.

Останавливаться на достигнутом нам бы не хотелось. В наших планах научиться изготовлять модели полуправильных и звёздчатых многогранников.

5. Список литературы и Интернет-ресурсов.

Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.

Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990.

Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. М., 1992.

http://ru.wikipedia.org

http://www.vseznaika.ru

http://youtube.com

http://origamisan.com

http://liberte.com

http://im0-tub-ru.yandex.net/i?id=ffb40eea69a705e84bc1650202023061&n=21

http://im3-tub-ru.yandex.net/i?id=9cc09d8e342fa87d287ddaabca5d5bde&n=21

Приложение1

Характеристики правильных многогранников

Название многогранника	Вид	Число граней	Число вершин	Число ребер
Тетраэдр		4	4	6
Куб		6	8	12
Октаэдр		8	6	12
Икосаэдр		20	12	30
Додекаэдр		12	20	30