Копецкая Марина Геннадьевна

Проектная работа по математике: «Сфера - верх совершенства архитектуры»

Материал опубликован 3 August 2018

Коми Республикаса йöзöс велöдан да том йöз политика министерство

Министерство образования и молодежной политики Республики Коми

Государственное профессиональное образовательное учреждение

«Сыктывкарский целлюлозно – бумажный техникум»

III Внутритехникумская студенческая научно- практическая конференция «Студенческая наука», посвященная

95 –летию Республики Коми

Конкурсная работа

«Сфера – верх совершенства архитектуры»

Выполнил студент группы СЗ-11 Жданов Д.Р.

специальность «строительство и эксплуатация

зданий и сооружений»

научный руководитель Копецкая М. Г.

преподаватель математики

Сыктывкар,2016

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………...3

2. Теоретическая часть.

История геодезического купола………………………………………….........4

Состояние проблемы купольного строительства за рубежом и в России …..6

Математическая модель геодезического купола……………………………...9

Основные параметры геодезического купола………………………………..11

Геометрический расчет геодезического купола……………………………...13

Преимущества и недостатки домов сферической формы…………………...17

3. Практическая часть……………………………………………………...........20

4. Заключение……………………………………………………………………23

5. Литература…………………………………………………………………….25

Введение.

Вопрос строительства и обустройства окружающего пространства всегда был актуален. «Мой дом – моя крепость», - согласитесь, поговорка совершенна справедлива. Глядя на скучное однообразие городов, иногда ощутимо не хватает какой-то изюминки, которая не только радует глаз, но и меняет эту привычную скуку и однообразие. Дома современной архитектуры, созданные мастерами своего дела, стремятся уйти от однообразия, серости и скуки безликих бетонных коробок конца прошлого века. Основной целью, что преследует современная архитектура и дизайн, является создание индивидуального уголка красоты и уюта, который несет удобство и тепло, и куда всегда радостно возвращаться. Находясь на отдыхе у родственников, на одном из дачных участков я увидел дом необычной формы. От удивления я задал себе вопрос: Ничего себе, шар, кто-то построил? Меня, как будущего строителя, заинтересовала тема проектировании дома сферической формы. Какие есть новинки купольной архитектуры в нашей стране и за рубежом, какими преимуществами обладают дома сферы, удобны ли для проживания такие дома, как производится геометрический расчет геодезического купола? Ответы на эти вопросы я попытался найти при разработке данного проекта.

Цель проекта: выяснить является ли сфера наилучшей формой дома для комфортного проживания человека.

Задачи проекта:

рассмотреть математическую модель построения купольного дома (сферы);

выяснить, как производится геометрический расчет геодезического купола;

выявить преимущества и недостатки купольных домов;

провести сравнительный анализ площадей поверхности домов прямоугольной и сферической формы при равных объемах; объемов домов стандартной квадратной формы и сферической при одинаковой полезной площади.

Объект исследования: сфера

Теоретическая часть.

История геодезического купола

Знакомство с купольными домами я начал с изучения истории их возникновения. Круг всегда считался идеальной формой и ассоциировался с самой жизнью. Звезды, планеты, и даже наш мозг имеет круглую форму. Человечество всегда обожествляло неведомые силы и помещало их в пантеон, который по его мнению представлял собой сферу. Недаром верхушки всех церквей имеют куполообразную форму

Первые дома-сферы были построены в железном веке и проявили себя наилучшим образом. Останки первых круглых домов были найдены на территории, принадлежавшей кельтам, еще до римского вторжения. Эти дома были построены из камня или дерева и покрыты тростником.

Как показывают археологические раскопки, круглые дома были широко распространены на всех континентах Земли: достаточно вспомнить чумы и юрты северных народов, шатры восточных владык и глинобитные мазанки степных жителей. Римляне, строившие свои грандиозные храмы, почти не использовали прямые линии. Пытаясь разгадать тайну вековых конструкций, современные архитекторы были поражены этим фактом.

Купола использовались в качестве элементов или основы для храмов, соборов и капелл.

Тадж Махал Купол мечети Лотфоллах

Софийский собор Шахская мечеть

Римский пантеон Собор Василия Блаженного

Первый круглый дом купол, который можно было бы полноправно назвать "геодезическим" был создан после первой мировой войны Вальтером Баурсфельдом, главныи инженером Carl Zeiss Jena для планетария фирмы. Круглый дом купол был построен фирмой Dykerhoff и Wydmann на крыше завода в Йене, Германия, и открыт для публики в июле 1926 года.

Одним из самых известных популяризаторов идей купольных круглых домов был американский инженер и архитектор Ричард Фуллер (1895 - 1983). Он первый создал математический алгоритм для расчета купола круглого дома. Фуллер запатентовал технологию строительства, способную обеспечить послевоенную Европу доступным жильем. К сожалению, идея не получила распространения, но уже через пятьдесят лет о купольных домах снова заговорили, и на этот раз — всерьез. Неофициальная история утверждает, что еще в 1951 году Фуллер построил первый большой купол в Кабуле – в качестве павильона США на Международной торговой выставке. Это было сооружение из алюминиевых труб диаметром 30 метров и площадью основания 8 тыс. квадратных футов. В Афганистане купол был собран несколькими неквалифицированными рабочими, не знавшими английского языка, но сумевшими соединить вместе помеченные цветным кодом элементы конструкции. Геодезический купол вызвал у посетителей выставки гораздо больший интерес, чем размещенные в нем экспонаты…

В 1954 году Генри Форд заказал постройку геодезического купола для штаб-квартиры Ford Motors. В 1958 году был возведен геодезический купол для тропического ботанического сада в Сент-Луисе. В 1959 году геодезический купол накрыл выставочный павильон США в Москве. В 1967 еще более грандиозный геодезический купол был построен на выставке «Экспо-67» в Монреале.

Состояние проблемы купольного строительства в России

и за рубежом .

Сегодня геодезические купола используются повсеместно – как выставочные павильоны, крыши для стадионов, теннисных кортов, бассейнов… за ними прячут сложные элементы радиолокационных станций, спасают от антарктического холода полярные экспедиции. Геодезический купол – непременный элемент проектов освоения Луны и Марса, основа для постройки в космосе гигантских космических станций.

Архитектор Виталий Гребнев придумал концепцию биоэкополисов, которая сегодня считается новым подходом к строительству жилья. Автор озаглавил свою идею как «Архитектура ноосферы». Ноосфера – это психофизическое, ментальное единение человека с природой, предполагающее энергоинформационный обмен. По мнению Гребнева, век ноосферы можно приблизить, если начать строить дома в форме шара. Виталий Гребнев предполагает, что в ближайшем времени будут построены целые мини-города, в которых люди смогут жить в гармонии с природой. Сам же архитектор имеет загородный дом круглой формы и утверждает, что это идеальное место для жизни: «Я понял, что нельзя строить дорого и долго, ведь природа так не строит. Вдруг осознал: у природы нет прямого угла!»

Купольный дом Виталия Гребнева

Можно найти много интересных примеров зарубежной купольной архитектуры. Это Дом науки (Ванкувер), Биосфера в Монреале, (Канада, музей, посвященный воде), здание - шар в Берлине, Германия (Планетарий имени Карла Цейса), Эспланада Сингапур, Национальный театр (National Theatre). Пекин, Китай), Проект Эдем в графстве Корнуолл, Великобритания, дома - шары в Гертогенбоше, Нидерланды и многие другие (см. приложение 1).

Изначально, идея домов в виде полусферы была интересна благодаря их оригинальной форме. Сегодня, люди осознали преимущества таких строений. Современные инженеры в один голос утверждают, что купольные дома – технология будущего, которая практически не имеет недостатков. Пришло время строить жилища, помогающие нам всем жить полноценной жизнью, не тратить десятки лет на ипотеку и строительство. Дом не должен быть «монстром», сжирающим нашу жизнь, средства, здоровье, начиная с его строительства и в ближайшие 40-50 лет содержания. Примеры купольных домов показаны в приложении 2.

Математическая модель геодезического купола

Геодезический купол — это сетка, построенная из множества «граней» (многогранников), максимально близкая к форме сферы.

Если приглядеться, то именно треугольники стали основой сетки, а не ромбы, квадраты или шестигранники. Треугольник был выбран как самая стабильная и прочная геометрическая структура из всех известных. И поэтому, структура из треугольников (в нашем случае геокупол), очень прочная. Она «держит» сама себя, являясь целостной структурой. Чем больше граней мы используем для построения, тем прочнее наша сетка, и более сглажена форма.

Структура построения геодезической сетки не является хаотичной, а представляет собой строгую математическую модель. Эта модель берет свое начало из геометрии Платоновых тел, правильных многогранников, открытых учеными еще в далеком прошлом.

В основе построения геодезического купола лежат Платоновы Тела, всего которых насчитывается пять, но я рассмотрю детально только Икосаэдр, как наиболее распространенный вариант. Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 30 одинаковых ребер, которые создают 20 равносторонних треугольников.

Итак, рассмотрим построение геодезического купола поэтапно:

1. Для начала мы строим сферу с заданным радиусом

2. Далее мы строим икосаэдр «вписанный» в сферу. В этом случае все 12 вершин икосаэдра лежат на поверхности сферы. Все треугольники равны.

3. Т.к. все треугольники в икосаэдре равны, мы выбираем любой из них и разбиваем его на более мелкие равносторонние треугольники. В нашем случае разбивка происходит в пятой частоте (об этом пойдет речь позже). Выбранный изначальный треугольник икосаэдра делиться на 5 «рядов» более мелких треугольников. Так получается наша «плоская» разбивка сетки.

4. На этом этапе мы строим отрезки от вершин всех получившихся мелких треугольников до поверхности сферы. Отрезки строятся перпендикулярно плоскости изначального треугольника икосаэдра.

5. Далее мы соединяем все вершины отрезков, лежащие теперь на поверхности сферы. У нас получилась структура из треугольников, вершины которых лежат на поверхности сферы, практически повторяя ее форму. Т.к. все изначальные треугольники икосаэдра одинаковые, то мы можем смело копировать нашу получившуюся сетку, получая желаемый геодезический купол или сферу.

Основные параметры геодезического купола

Частота триангуляции геодезического купола

Понятие «частота» или «частота триангуляции» часто встречается в расчетах геокупола. Она подразумевает плотность разбивки купола на треугольники. Т.е. один и тот же купол можно «описать» разным количеством треугольников. К примеру, для менее плотной разбивки потребуется меньше треугольников, но с большей длиной ребра и форма будет более угловатой. Для более плотной разбивки потребуется большее количество треугольников с меньшей длиной ребра, но форма получится более ровной и близкой к сферической. В мире используется стандартное обозначение частоты латинской буковкой «V». Ниже приведены примеры триангуляции до пятого значения. Как Вы заметите, число значения частоты равняется количеству «рядов», на которые делиться один из треугольников икосаэдра.

Для своего дома я бы выбрал выбрал частоту 3V.

Сечение сферы

Следующий параметр — это значение сечения сферы. У куполов с разной частотой «V» — разное количество «рядов», поэтому сечение для них всегда индивидуальное. Ниже приведены некоторые примеры сечения куполов разной частоты.

Геометрический расчет геодезического купола

Целью геометрического расчета купола является получение выходных данных на основе входных данных. Зная радиус купола, высоту купола и выбрав частоту разбиения, можно рассчитать размеры и количество ребер, площадь основания купола, площадь поверхности купола.

Площадь основания купола

Рассчитывается по радиусу основания: S=π Rосн2 .

При этом надо учитывать, что реальная площадь получится несколько меньше, вследствие того, что радиус купола считается, обычно, по внешней

поверхности сферы (по "вершинам"), и стенки купола имеют также определенную толщину (обычно 400 мм). Геодезический купол- это нечистая сфера (в основании лежит не круг, а многоугольник, вписанный в заданную окружность). Площадь такого многоугольника меньше площади круга.

Высота геодезического купола

Определяется по заданному диаметру сферы и зависит от частоты разбиения, и может принимает значения:

 для четной частоты разбиения: 1/2, 1/4 диаметра сферы(при большой частоте может быть и 1/6, 1/8);

 для нечетной частоты разбиения: 3/8, 5/8 диаметра сферы.


4V, 1/4 сферы	4V, 1/2 сферы

Площадь поверхности геодезического купола

Рассчитывается по радиусу сферы: S=4π R2:

 Для купола, равного 1/2 сферы, площадь поверхности равна: S=2π R2;

 Для купола высотой H, площадь поверхности равна: S=2π RH

Расчет конструктивных элементов геодезического купола

Расчет длины ребер купола производится по формуле: L=RK

Где R – радиус купола, K – коэффициент ребер геодезического купола, согласно таблице.

Например, для купола с частотой 3V высотой 5/12 и радиусом 5 метров используя формулу L=RK и таблицу коэффициентов ребер геодезического купола я посчитал, что длины ребер равны: А =1,7431 м; В = 2,01775 м;

C = 2,06205 м. Коэффициенты ребер геодезического купола

Тип треугольника	Частота разбиения купола
	1	2	3	4	5	6
A	1,05146	0,61803	0,34862	0,25318	0,19814743	0,1625672
B		0,54653	0,40355	0,29524	0,23179025	0,1904769
С			0,41241	0,29453	0,22568578	0,1819083
D				0,31287	0,24724291	0,2028197
E				0,32492	0,25516701	0,1873834
F				0,29859	0,24508578	0,1980126
G					0,2615981	0,2059077
H					0,2315976	0,2153537
I					0,24534642	0,2166282

Преимущества и недостатки купольных домов

Рассмотрим достоинства домов, имеющих форму сферы. Круглый дом – одно из самых прочных сооружений из всех возможных. Благодаря равномерному распределению нагрузки по граням купола, он способен выдержать все природные катаклизмы: снег, дождь, ветер и даже землетрясение. Купольный дом можно как угодно разместить на участке – он все равно «круглый». И, опять же, купольный дом, как все круглое, просто красив.

Купольные дома – легкое сооружение, для возведения которого не требуется дорогостоящий, мощный фундамент.

Купольный дом – прочная конструкция, не имеющая стропильной системы, крыши, тяжелых перекрытий. Поэтому сферические сооружения - самые сейсмически безопасные.

Имея большую прочность, сферические строения выдерживают огромные снеговые нагрузки, что важно для нашего северного края.

Купольные дома имеют отличные звукоизоляционные свойства.

Купольные конструкции экономят энергию, затрачиваемую на отопление и охлаждение. Площадь поверхности, подверженной влиянию окружающей среды, имеет намного больше влияния ни энергетическую эффективность, чем качество уплотнения швов, и толщина стен. К тому же потери тепла фундаментом здания в основном зависят не от площади пола, а от длины периметра. Купол с меньшими пропорциями периметра к площади, чем прямоугольный дом потеряет меньше теплоты через фундамент.

Есть преимущества дизайна купольных домов. Отсутствие несущих стен дает больше свободы для внутренней планировки. Есть возможность соединять эти дома в две или несколько сфер. Выгодный вариант, если не располагаешь в данный момент достаточными средствами, чтобы построить сразу большой дом. Также очень удобный вариант, если разделить две сферы, в одной расположить кухню, столовую, гостиную, а во второй спальни.

Купольные дома идеально вписываются в любой ландшафт. Благодаря своей форме строения сферической формы выглядят органично на участке любого размера. Красиво будет смотреться рядом с домом бассейн с покрытием в виде сферы, гараж для машины, беседки и т. д.

Эргономика – наука об удобстве, комфортности и безвредности окружающих человека предметов и пространства – утверждает, что современная окружающая среда негативно влияет на психоэмоциональное состояние. Так, например, ученые установили, что строгий и четкий рисунок в виде ровных линий, решеток (ряды окон на зданиях, строгий геометрический рисунок на линолеуме, кафеле или обоях, частокол забора, сетка кирпичной стены) негативно влияет на психику человека, вызывает подавленность и агрессию. Человеческий глаз и мозг природой настроен на восприятие нечетких, криволинейных контуров, плавный перепад цветовой гаммы. В этом отношении купольный дом более органичен. Вся его архитектура и дизайн ближе к природе. Купол органично встраивается в природный ландшафт, замечательно смотрится на фоне деревьев, растительности.

Кроме достоинств у купольных домов есть несколько недостатков. Попробую с ними разобраться и найти решение проблемы. Наклонные стены купола ограничивают жизненное пространство. Невозможно вплотную подойти к стене. Этот недостаток действительно присущ некоторым видам купольных домов с плоской формой купола. Обладатели таких строений, как правило, устраивают вдоль стен напольные шкафчики, полочки, либо радиаторы отопления – т.е. заполняют малофункциональное пространство, тем самым освобождая его в высокой части комнат. Есть и другое решение, выбрать вариант высокого купола.

Есть и такая проблема, как отделка круглых стен, пола и потолка рулонными обоями, ламинатом и другими материалами, которые наносятся на плоскости с ровными краями. Эту проблему можно решить, используя жидкие обои.

Практическая часть

1.Проведу сравнительный анализ площадей домов прямоугольной и сферической формы при одинаковых объемах.

Возьму для расчета купольный и прямоугольный дом площадью 50 кв. метров (именно такую площадь занимает квартира, в которой я проживаю с мамой.)

Прямоугольный дом (прямоугольный параллелепипед) с длинами стен:

а = 5м; в = 10 м и высотой потолка h = 2.6 м. Vпрямоугольного параллелепипеда = а

h =10

2.6=130 куб. метров (объем прямоугольного дома)
Площадь поверхности прямоугольного дома (стены и плоская крыша) равна: Sповерхности прямоугольного параллелепипеда = Sбоковой поверхности + Sоснования

\

Sбоковой поверхности = Росн.

h = 2(а+в)

h =2

(5+10)

2,6 = 78 метров Sоснования = а

в = 5

10 =50 кв. метров Sповерхности прямоугольного параллелепипеда = 78+50 = 128 кв. метров Итак, я получил площадь полной поверхности дома прямоугольной формы 128 квадратных метра при объеме 130 кубических метра Посчитаю площадь дома купольной конструкции, занимающий приблизительно такой же объем.

Купольный дом радиусом 4 м.
Объем сферического дома (шара) равен: Vшара = (4πR3)/3 = 268 куб. метров.
Объем купольного дома (половины сферы) равен: Vкупола =

134 куб. метра.
Площадь купольного дома равна (половина сферы) равна: Sкупола = 2πR2 =2

3,14

42 = 100.5 кв. метра. Вывод: Сфера имеет наименьшую площадь поверхности среди всех фигур одинакового объема. Вот почему купольный дом позволяет экономить на энергоресурсах. Посчитаю сколько процентов, составляет экономия.
Имею:
Площадь поверхности прямоугольного дома Sпрям = 128 кв. метров.
Площадь купольного дома равна: Sкупол = 100.5 кв. метра.
(Sпрям - Sкупол)/Sпрям = 22%
Вывод: Площадь поверхности купольного дома меньше площади поверхности прямоугольного дома на 22%.
Для случая треугольной крыши прямоугольного дома значение будет больше. Вот почему купольный дом позволяет экономить на энергоресурсах минимум 20%. Меньше затрат на обогрев (из-за снижения потерь на рассеяние тепла) - минимум на 20%.

Если меньше тепла рассеивается, то и меньше тепла проникает внутрь - меньше расходы на кондиционирование.

2.Сравню объемы домов купольной и прямоугольной формы при одинаковых площадях. Возьмем приблизительно одинаковую полезную площадь и сравним объемы, которые имеют купольный дом и дом, например, квадратной формы. Для удобства расчетов, возьмем купол, который имеет площадь 314 квадратных метров. Рассчитаем объем купольного дома, для этого надо знать радиус R 2= = 5метров

V== = 523.3 кубических метров

Возьмем дом кубической формы, имеющий такую же площадь 314 квадратных метров.

Расcчитаем объем, для этого из формулы поверхности куба S пов. куба =6а2

Найдем а2 =314:6 =52.3

а =7,2метра

V = а3 =7.23 =385 метров кубических

Вывод: При одинаковой полезной площади купольный дом имеет гораздо больший объем, чем дом квадратной формы. Следовательно, больше имеем воздуха и света.

Круглый дом — это экономия 22% — на использовании строительных материалов при строительстве дома. Геометрия сферы гораздо эффективнее прямоугольных структур в соотношении внутреннего объема к оболочке. Пример: Дом 1010=100 кв. метров, периметр = 40 метров. Купол диаметром 11,3 метра = 100,28 кв. метров, длина окружности 35,5 метров. Экономия начинается уже с фундамента.

Заключение

В своей работе я выяснил, что очевидные преимущества строений на основе геодезического купола задаются свойствами сферы.

Я провел сравнительный анализ площадей поверхности домов прямоугольной и сферической формы, произвел математический расчет для купольного и прямоугольного дома. При этом я выяснил, что сфера обладает минимальной площадью поверхности по сравнению с прямоугольным параллелепипедом при одинаковых объемах, тем самым показав, что купольный дом позволяет экономить на энергоресурсах, стройматериалах.

Далее я сравнил объемы домов купольной и прямоугольной формы при одинаковых площадях. Математический расчет показал, что сфера имеет максимальный внутренний объем при одинаковой с прямоугольным строением полезной площади. Следовательно, сферические дома содержат больше воздуха и света. Обобщив результаты моего исследования, я сделал вывод, что сферические дома являются наилучшей формой дома для проживания человека.

Рассматривая достоинства и недостатки домов сферической формы, я получил ответ на вопрос: что я же я хочу от дома своей мечты?

Я хочу жить на берегу Вычегды, в красивом, уютном, теплом, недорогом доме, построенным из экологически чистых материалов, чтобы он защищал меня от холода, жары, дождя и снега, землетрясений, ураганов и других катаклизм. И я доказал, что у купола неоспоримое преимущество по сравнению со строениями других форм. Именно дом сфера отвечает всем моим запросам. Пока у меня не хватает еще знаний, чтобы провести полный расчет конструкций для дома своей мечты, но я планирую после окончания техникума поступить в высшее учебное заведение на инженера – строителя, и тогда я точно смогу осуществить свою мечту. И закончить свой проект я хотел бы стихотворением Вирджила Теодореску:

Из всех существующих форм -

Так говорили греки -

Верх совершенства -

Сфера!

Человек -

Гордость, и радость, и разум

Обширного мира живого,

Разве он не достоин.

Жить в самой высокой

И сверхсовременной форме?!

Поэтому наша планета, как шар...

Страна моя - капля живая...