Программа элективного курса «Решение задач с параметрами»
Программа элективного курса «Решение задач с параметрами»
Пояснительная записка
Одна из целей, на которых направлено изучение математики на профильном уровне среднего (полного) общего образования - это развитие логического мышления, алгоритмической культуры, математического мышления и интуиции, творческих способностей, необходимых для продолжения образования и для самостоятельной деятельности в области математики и ее приложений в будущей профессиональной деятельности. В заданиях ЕГЭ по математике и в различных математических олимпиадах определенное место занимают задания с параметрами. Решение заданий подобного рода можно считать деятельностью, близкой по своему характеру к исследовательской. С помощью задач с параметрами возможно проверить методы решения уравнений и неравенств, уровень логического мышления учащихся. Задачи данного вида совершенствуют умения наблюдать, сравнивать, анализировать, строить графики, выдвигать гипотезу и обосновывать полученные результаты. Задачи с параметрами развивают способность к поиску нестандартных решений, формируют творческий подход к выполнению заданий.
Необходимость элективного курса «Решение задач с параметрами» обусловлена тесной связью подобных задач с физическими процессами и геометрическими закономерностями, включением данных задач в задания олимпиад, конкурсов, ЕГЭ. Данный элективный курс продолжает линию изучения профильного предмета, позволяет учитывать интересы и способности учащихся и создавать условия для обучения в соответствии с профессиональными интересами учащихся и намерениями в отношении продолжения образования.
В процессе изучения курса учащиеся знакомятся с методами решения задач с параметром (аналитическим, функциональным, функционально-графическим), приобретают навыки рационального поиска решения.
Целью данного курса является подготовка учащихся к ЕГЭ, к участию в математических олимпиадах, а также продолжению образования в ВУЗе.
Задачи курса:
-формирование у учащихся умения и навыков по решению задач с параметром;
-стимулирование исследовательской деятельности учащихся;
- формирование логического мышления;
- повышение математической культуры;
- совершенствование навыков самостоятельной творческой работы;
- развитие у учащихся интереса к математике.
Элективный курс продолжительностью 34 часа рассчитан на учащихся 10-х классов, обладающих достаточной математической подготовкой и проявляющих интерес к предмету.
В результате изучения курса учащиеся должны приобрести умения:
- анализировать и выбирать оптимальные способы решения уравнений и неравенств с параметром;
- применять свойства функций для построения графиков и решения уравнений и неравенств с параметром;
- логически мыслить рассуждать, выдвигать гипотезы, делать выводы, обосновывать полученные результаты.
Результат обучения выражается в повышении математической культуры, в проявлении умения самостоятельно планировать пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффективные способы решения учебных и познавательных задач, осуществлять исследовательскую деятельность и применять полученные знания для решения практических задач.
Учебно-методическое и материально-техническое обеспечение
1.Математика. Алгебра и начала математического анализа: 10 класс: учебник: углубленный уровень/ А.Г. Мерзляк, Д.А. Номировский, В.М. Поляков; – 5-е изд. стереотип – М.: Просвещение, 2021. – 480 с. : ил.
2.П.И. Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия,1999. – 336с.
3.Математика. Решение задач повышенного и высокого уровня сложности. Как получить максимальный балл на ЕГЭ. Учебное пособие. / А.В. Семенов, И.В. Ященко, И.Р. Высоцкий, А.С. Трепалин, Е.А. Кукса. – Москва: Интеллект-Центр, 2015 – 128с.
4.Колесникова С.И. Задачи с параметром. ЕГЭ. Математика. – М.:ООО»Азбука-2000», 2012.-112с. (серия «МФТИ помогает готовиться а ЕГЭ», выпуск 8)
5.Крамор В.С. Математика. Типовые примеры на вступительных экзаменах. - М.: Аркти, 2009.
6.Математика. Задачи М.И.Сканави. - Минск; В.М.Скакун,1998г.
7.Высоцкий В.С. Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ. – 2-е издание, исправленное и дополненное. – М.:Научный мир, 2013. – 316с.
8.Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами: Учебное пособие. – 2-ие изд., доп., перераб. – Чебоксары:Изд-во Чуваш. Ут-та, 2000. – 144с.
9.Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф. Математика. Теория и задачи. Книга 2. М.: Издательство МЭИ, 1998. – 344с.
10.Элективные математические курсы: Учебное пособие/ М.В.Шабанова, О.Л.Безумова, С.Н.Котова, Е.З.Минькина, И.Н.Попов; Поморский гос. Ун-т им. М.В. Ломоносова. – Архангельск: Поморский университет, 2005. – 315с.
11.С.А. Субханкулова. Элективный курс «Задачи с параметрами»,издательство «Илекса», 2010.
Цифровые ресурсы:
fipi.ru; festival.1september.ru; alexlarin.net; reshuege.ru; interneturok.ru
Содержание
Тема 1. Линейные уравнения с параметром.
Поиск решения линейных уравнений в общем виде. Исследование количества корней в зависимости от значений параметра.
Тема 2. Линейные неравенства с параметром.
Определение линейного неравенства. Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами. Исследование полученного ответа.
Тема 3. Квадратное уравнение, содержащее параметр.
Определение квадратного уравнения. Исследование количества корней, в зависимости от знака дискриминанта. Теорема Виета и ее использование при решении квадратных уравнений с параметром. Аналитический и графический способы решения квадратных уравнений, содержащих параметр.
Тема 4. Дробно-рациональные уравнения с параметром.
Поиск решения дробно-рациональных уравнений в общем виде. Обработка результатов, полученных при решении, исследование полученного ответа. Геометрическая интерпретация. Решение систем уравнений.
Тема 5. Задачи на расположение корней квадратного трехчлена.
Описание условий расположения корней квадратного относительно одного или двух чисел. Их графическая интерпретация. Решение задач на расположение корней квадратного трехчлена относительно одной точки. Решение задач на расположение корней относительно двух и более точек. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратного трехчлена.
Тема 6. Квадратные неравенства с параметром.
Метод интервалов. Аналитический способ решения квадратных неравенств, содержащих параметр. Использование графических иллюстраций.
Тема 7. Уравнения и неравенства с параметром, содержащие знак модуля.
Построение графиков, содержащих модуль. Решение уравнений и неравенств с параметрами с помощью графиков.
Тема 8. Метод областей и его применение в задачах с параметром.
Неравенства с двумя переменными. Метод областей для построения графической иллюстрации решений неравенства с двумя переменными. Использование данного метода при решении задач с параметрами в координатных плоскостях хОа или аОх.
Тема 9. Иррациональные уравнения и неравенства, содержащие параметр.
Общий подход к решению иррациональных уравнений и неравенств. Использование графических иллюстраций.
Тема 10. Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами.
Использование основных свойств тригонометрических функций. Область значений тригонометрических функций. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр. Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Тема 11-12. Использование симметрии алгебраических выражений для решения задач с параметром. Использование ограниченности множества значений функции при решении задач с параметром.
Инвариантность относительно знака переменной, инвариантность относительно перестановки переменных х и y.
Тема 13. Решение задач с параметрами различными методами.
Метод решения относительно параметра.
Учебно-тематический план.
№ | Наименование тем | Всего часов | Виды деятельности |
1. | Линейные уравнения с параметром. | 1час | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач. Овладение универсальными учебными действиями (УУД): обобщать, систематизировать, сопоставлять, сравнивать, логически выстраивать систему доказательств. |
2. | Линейные неравенства с параметром. | 1 час | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач. Формирование и отработка умения у учащихся четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать связь между величинами. Самостоятельная работа №1 |
3. | Квадратное уравнение, содержащее параметр. | 2 часа | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач. Овладение УУД - анализ, выполнение логических операций сравнения, обобщения, классификации. Развитие осознанной необходимости ориентироваться на собственный опыт в процессе решения. |
4. | Дробно-рациональные уравнения с параметром | 3 часа | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач. Деятельность по самоконтролю, взаимоконтролю в системе формирования УУД. Работа в парах при решении задач. Самостоятельная работа №2 (с последующей перекрестной проверкой в парах). |
5. | Расположение корней квадратного трехчлена. | 4 часа | Лекция, практикум по решению задач. Овладение УУД: планирование учебных действий, когда есть возможность выбора. Самостоятельная работа №3 |
6. | Квадратные неравенства с параметром. | 2 часа | Лекция, практикум по решению задач. Деятельность по самопроверке в системе формирования УУД. Овладение УУД: сопоставлять, сравнивать, использовать аналогии, анализировать промежуточные результаты деятельности. Самостоятельная работа №4 |
7. | Уравнения и неравенства с параметром, содержащие знак модуля. | 2 часа | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач Овладение УУД : обобщать, систематизировать, сопоставлять , сравнивать, логически выстраивать цепочку решения. Самостоятельная работа №5 |
8. | Метод областей и его применение в задачах с параметром. | 3 часа | Лекция, практикум по решению задач. Анализ условия задания как один из путей поиска наиболее эффективного способа решения задачи с параметром. Самостоятельная работа №6 |
9. | Иррациональные уравнения и неравенства, содержащие параметр. | 3 часа | Лекция, практикум по решению задач. Овладение УУД : интерпретация сведений, полученных из условия задачи, отбор фактов, овладение приемами выбора способа решения задачи. Самостоятельная работа №7 |
10. | Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами | 4 часа | Эвристическая беседа по теоретическому материалу, практикум по решению задач. Овладение УУД : обобщать, систематизировать, сопоставлять, сравнивать, логически выстраивать цепочку решения. Самостоятельная работа №8 |
11-12. | Использование симметрии алгебраических выражений для решения задач с параметром. Использование ограниченности множества значений функции при решении задач с параметром. | 4 часа | Эвристическая беседа, практикум по решению задач. Овладение УУД : интерпретация сведений, полученных из условия задачи, отбор фактов, выбор варианта решения задачи, анализ промежуточных результатов, умение делать выводы. Формирование умения выдвигать гипотезы, развитие осознанной необходимости ориентироваться на собственный опыт в процессе творческой деятельности. Самостоятельная работа №9. |
13. | Решение задач с параметрами различными методами. | 3 часа | Самостоятельная работа №10. Выступления учащихся по различным вопросам темы, практическому применению задач с параметрами. Защита творческих работ и демонстрация презентаций. |
14. | Итоговая контрольная работа | 2 часа | Итоговая контрольная работа |
Самостоятельная работа № 1
1.Для всех значений параметра р решите уравнение
.
2.При каких значениях параметров а и b уравнение
.
3.Для каждого допустимого значения параметра а решите неравенство
.
Самостоятельная работа № 2
1.Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение
.
2.Решите относительно х уравнение
.
3.При каких значениях параметра а уравнение
имеет положительные решения.
Самостоятельная работа № 3
1.Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение 
.
2.Найдите все значения параметра а, при которых уравнения
и 
имеют по крайней мере один общий корень.
3.При каких значениях параметра a корни уравнения
лежат по разные стороны от точки x=1.
4.При каких значениях параметра m множество корней уравнения
непусто и все его корни принадлежат интервалу (-1;1).
Самостоятельная работа № 4
1.Для каждого допустимого значения параметра a решить неравенство
2.Для каждого допустимого значения параметра a решить неравенство
.
3.Найдите все значения параметра а , при которых решением неравенства 
является объединение интервала и точки, не принадлежащей интервалу и не являющейся его концом.
Самостоятельная работа № 5
1.Определите все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы один положительный корень:
2.При каких значениях параметра к уравнение
имеет а) одно, б) два, в) три, г) четыре решения.
Самостоятельная работа № 6
При решении данной работы воспользуйтесь геометрической интерпретацией с использованием плоскости «переменная – параметр»
1.Для каждого значения параметра а решите неравенство
.
2.Для каждого значения параметра а решите систему неравенств
Самостоятельная работа № 7
1.Для каждого допустимого значения параметра a решите уравнение
.
2.Найдите все значения параметра a , при которых уравнение
имеет единственное решение.
3.При любом допустимом значении параметра a решите неравенство
.
Самостоятельная работа № 8
1.Решите уравнение
для всех значений параметра а.
2.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение имеет решение 
.
3.Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 
имеет на промежутке 
ровно одно решение.
Самостоятельная работа № 9
1. При каких значениях параметра а уравнение
имеет единственное решение?
2.Найти все значения параметра а, при каждом из которых хотя бы одно решение системы уравнений
удовлетворяет неравенству 
.
Самостоятельная работа № 10
1. Найти все значения параметра р, при каждом из которых уравнение
имеет ровно три различных корня.
2. Найти все значения параметра р, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
Итоговая работа
1.Решите для всех значений параметра а :
.
2. Найти все значения параметра а, при которых корни 
и 
уравнения
удовлетворяют условию 
.
3.Найдите область определения функции для каждого значения параметра а: 
4. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение 
имеет на промежутке 
ровно три решения.
5.Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений
имеет единственное решение.
11
