Софизмы вокруг нас

ГБОУ СПО НО «Нижегородский медицинский базовый колледж»

Кафедра общенаучных дисциплин

СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС

Белова Лариса Григорьевна – преподаватель математики

2019 год

СОФИЗМЫ ВОКРУГ НАС

Белова Л. Г.

Кафедра общенаучных дисциплин

В своей работе «Софизмы вокруг нас» автор приводит понятие софизма, его историю, виды софизмов, отдельно выделяя математические софизмы.

Все мы с детства знаем и пытались решать задачи: почему Ахиллес никогда не догонит черепаху, как может спичка быть длиннее телеграфного столба, почему дважды два равно пяти и т.д.

Далее автор стремится показать, что математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций.

Кроме математических софизмов рассматриваются и другие: полупустое и полуполное, «вор, который не желает мне ничего дурного», «рогатый», «чем больше, тем не лучше» и т.д.

В конце работы я привожу классификацию ошибок в софизмах. Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической  форме (Силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Автор пытается объяснить в своей работе, что наиболее типичными источниками ошибок логических софизмов являются нарушения правил силлогизма (силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо).

В заключение делается вывод, что разбор софизмов развивает логическое мышление; помогает сознательному усвоению изучаемого материала; воспитывает вдумчивость, наблюдательность, критическое отношение к тому, что изучается. Кроме того, разбор софизмов увлекателен. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает  от повторения её в других математических рассуждениях.

Содержание

Введение………………………………………………….………..3

Софизм - интеллектуальное мошенничество?...............................4

История…………………………………………………………….5

Современный софизм………………..……………………………7

Математический софизм……………………………………...…..9

Прочие софизмы……………………………………………….…13

Классификация ошибок ………………………………………….17

Заключение………………………………………………..…..…..19

Список литературы…………………………………………….…20

«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию».

И.П. Павлов

1. Введение

Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает нас от повторения её в других математических рассуждениях.

Софизм – это умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещённые» действия, не учитываются условия применимости формул и правил. Софизм является особым приёмом интеллектуального мошенничества, попыткой выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. Поиск заключённых  в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключённой в софизме, зачастую оказываются  более поучительными, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, в чём и состоит смысл софизма, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение тем или иным математическим правилам, и последующий поиск и разбор ошибки, приведшей к нелепице, позволяют на эмоциональном уровне понять и «закрепить» то или иное математическое правило или убеждение. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому её пониманию и осмыслению.

Актуальностью работы является знакомство с миром софизмов – это погружение в проблемы философии, математики древности, обучение глубине мышления, развитие интуиции, восприятие познавательной активности, настойчивости  в достижении цели. Данная работа открывает уникальную возможность проследить, как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений. Думаю, многие не раз слышали такие высказывания, как: «Все числа равны» или «два равно трём». И услышав их, я заинтересовался: что они значат? кто это придумал? можно - ли как-то объяснить эти высказывания или всё это – вымысел? Целью моего исследования является доказательство того, что софизмы – это не просто интеллектуальное мошенничество, а важный двигатель человеческой мысли.

2. Софизм — интеллектуальное мошенничество?

Софи́зм (в переводе с греческого - «мастерство, умение, хитрая выдумка, уловка, мудрость») — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

В обычном и распространенном понимании софизм — это умышленный обман, основанный на нарушении правил языка или логики. Но обман тонкий и завуалированный, так что его не сразу и не каждому удается раскрыть.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. История математики полна неожиданных и интересных софизмов, разрешение которых порой служило толчком к новым открытиям. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записи чертежей, за законностью математических операций. Очень часто понимание ошибок в софизме ведет к пониманию математики в целом, помогает развивать логику и навыки правильного мышления. Если нашел ошибку в софизме, значит, ты ее осознал, а осознание ошибки предупреждает от ее повторения в дальнейших математических рассуждениях. Софизмы строятся на том, что в рассуждении незаметно подменяются понятия, отождествляются разные вещи или же, наоборот, — различаются тождественные объекты. Будучи интеллектуальными уловками или подвохами, все софизмы разоблачимы, только в некоторых из них логическая ошибка в виде нарушения закона тождества лежит на поверхности и поэтому, как правило, почти сразу заметна. Такие софизмы разоблачить не трудно. Однако встречаются софизмы, в которых подвох спрятан достаточно глубоко, хорошо замаскирован, в силу чего над ними надо изрядно поломать голову.

Итак, любой софизм полностью раскрыт, или разоблачен только в том случае, если нам удалось ясно и определенно установить, какие нетождественные вещи преднамеренно и незаметно отождествляются в том или ином рассуждении. Софизмы встречаются довольно часто и в самых различных областях жизни: в математике, в экономике, в философии, в логике и, особенно, в риторике (науке и искусству красноречия).

3. История

С офизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Если софизмы — всего лишь хитрости и словесные уловки, выведенные на чистую воду еще Аристотелем, то долгая их история и устойчивый интерес к ним непонятны.

Во второй половине 5 века до н.э. в Греции появились софисты. Они появи­лись во время становления демократии в Афинах и на подвластных Афинам территориях.

Софисты - это мудрецы, но мудрецы особого рода. Этих муд­рецов истина не интересовала. Они были, как правило, платными “учите­лями мудрости”. Их нанимали политики для того, чтобы организовать свою предвыборную компанию, в частности, переспорить оппонентов на собра­нии, а также для того, чтобы выиграть судебное дело Они обучали и просвещали древнегреческий народ, старались способствовать достижению нравственности, присутствия духа, способности ума ориентироваться во всяком деле. Но софисты не были учеными. Известнейший ученый и философ Сократ поначалу был софистом, активно участвовал в спорах и обсуждениях софистов, но вскоре стал критиковать учение софистов и софистику в целом. Такому же примеру последовали и его ученики (Ксенофонт и Платон). Философия Сократа была основана на том, что мудрость приобретается с общением, в процессе беседы. Софизмы древних нередко использовались с намерением ввести в заблуждение. Но они имели и другую, гораздо более интересную сторону. Сформулированные в тот период, когда науки логики еще не было, древние софизмы прямо ставили вопрос о необходимости ее построения. Именно с софизмов началось осмысление и изучение доказательства и опровержения. И в этом плане софизмы непосредственно содействовали возникновению особой науки о правильном, доказательном мышлении.

Софизмы использовались и теперь продолжают использоваться для тонкого, завуалированного обмана. В этом случае они выступают в роли особого приема интеллектуального мошенничества, попытки выдать ложь за истину и тем самым ввести в заблуждение. А вот софизм - песенка английских студентов.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.
Чем больше знаешь, тем больше забываешь.
Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.
Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.
Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.
Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

Софисты придавали исключительное значение человеческому слову и первыми не только подчеркнули, но и показали на деле его силу. “Слово, — говорил софист Горгий, — есть великий властелин, который, обладая весьма малым и совершенно незаметным телом, совершает чудеснейшие дела. Ибо оно может и страх изгнать, и печаль уничтожить, и радость вселить, и сострадание пробудить... То же самое значение имеет, какую сила лекарства относительно природы тел. Ибо подобно тому, как из лекарств одни изгоняют из тела одни соки, другие иные, и одни из них устраняют болезнь, а другие прекращают жизнь, точно так же и из речей одни печалят, другие радуют, третьи устрашают, четвертые ободряют, некоторые же отравляют и околдовывают душу, склоняя ее к чему-нибудь дурному”.

Софизм обескураживает: дескать, возможны положения, когда человек не знает того, что он хорошо знает. С другой стороны - хорошо было в древности! Все знали, что добродетель есть добро, и не сомневались в этом.

Само слово “софист” означает не только “интеллектуального мошенника”, но и философа, впервые задумавшегося над проблемами языка и логики.

4. Современный софизм

Современный софизм, основной задачей которого является манипуляция общественным сознанием, существует в многочисленных формах.

Современные софисты, прежде всего, - специалисты по пиару, работа, кото­рых заключается в навязывании обществу тех или иных политических дея­телей. Во время предвыборных компаний никто не борется за истину, борются за голоса избирателей; борьба идёт межу софистами, упражняющимися в крас­норечии. Побеждает тот, кому удается обмануть избирателей. Все это дела­ется изощренно, с учетом современных достижений софистов в области пси­хологии и манипуляции общественным сознанием.

Суды, где вопрос виновности и невиновности подсудимых зависят от дейст­вий адвоката - софиста, умеющего манипулировать общественным созна­нием, судьями и толкованием подчас спорных законов.

Например, такой софизм:

«Акционерное общество, получившее когда-то ссуду от государства, теперь ему уже не должно, так как оно стало иным: в его правлении не осталось никого из тех, кто просил ссуду».

Реклама: Наш шампунь для роста волос лучше

Информацию о товарах заменили рекламой. Специалисты по рекламе -софисты, стараются обмануть потребителей (быстрый эффект, лучше, скидки, низкие цены и т.д.) Что характерно: специалист по рекламе, цель которого обмануть людей, не осуждается в современном обществе.

Недостатки стандартного истолкования софизмов

Таково стандартное истолкование софизмов, подкупающее своей простотой. За ним стоит многовековая традиция. Однако, несмотря на кажущуюся очевидность, слишком многое оно оставляет недосказанным и неясным. Софизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причем острота их обсуждения не снижается с годами. Уже из одних общих соображений ясно, что с софизмами дело обстоит далеко не так просто, как это принято обычно представлять.

5. Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Для развития познавательной деятельности математические софизмы можно применять при изучении математики в школе, колледже, техникуме:

на уроках, чтобы сделать их более интересными, для создания проблемных ситуаций;

в домашних задачах, для более осмысленного понимания материала, пройденного на уроках (найти ошибку в МС, придумать свои МС);

при проведении различных математических соревнований, для разнообразия;

на занятиях факультативов, для более глубокого изучения тем математики;

при написании реферативных и исследовательских работ.

a

b

1) Спичка вдвое длиннее телеграфного столба

Пусть а дм- длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c .

Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, находим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc. Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда

b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Где ошибка??

В выражении b(b-a-c )= -c(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

2) 2 * 2 = 5

Найти ошибку в рассуждении: Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка: ошибка допущена в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки.)

3) Оценка 2 равна оценке 5

В озьмем числовое равенство:

14 + 4 – 18 = 35 + 10 – 45

Вынесем общие множители левой и правой части за скобки:

2(7+2-9)=5(7+2-9)

Разделим обе части на общий множитель:2 = 5

Значит оценка 2 равна оценке 5?

Мы допускаем ошибку при делении на общий множитель:

7+2-9 = 0

4) Размещение 10 коней в 9 стойлах

На конеферме старший конюх предложил ребятам, пришедшим на экскурсию, необычную задачу: попробовать разместить 10 коней в 9 стойлах конюшни так, чтобы в каждом стойле находился 1 конь. Задача была неразрешима.

Тогда конюх сказал: «Слушайте внимательно, как я буду размещать лошадей. Сначала 10 коня временно помещу в 1 стойло. Тогда в 1 стойле будет 2 коня, третий - во 2 стойле, четвертый – в 3, пятый – в 4, шестой – в 5, седьмой – в 6, восьмой – в 7, девятый – в 8, а девятое стойло окажется свободно, переведем туда 10 коня из первого стойла, где он помещался временно».

На самом деле в первом стойле окажутся первый и десятый кони, а во втором не третий, а второй, в третьем – третий, и т.д., в девятом – девятый, а десятому стойла не хватит.

5)«Один рубль не равен ста копейкам»

И звестно, что любые два неравенства можно перемножать почленно, не нарушая при этом равенства, т.е.

Если a=b, c=d, то ac=bd.

Применим это положение к двум очевидным равенствам

1 р.=100 коп, (1)

10р.=10*100коп.(2)

перемножая эти равенства почленно, получим

10 р.=100000 коп. (3)

и, наконец, разделив последнее равенство на 10 получим, что

1 р.=10 000 коп.

таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Где ошибка??

Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правил действия с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

Действительно, перемножая равенства (1) и (2), мы получим не (3), а следующее равенство

2 2

10 р. =100 000 к . ,

которое после деления на 10 дает

2 2

1 р. = 10 000 коп., (*)

а не равенство 1р=10 000 к, как это записано в условии софизма.

Извлекая квадратный корень из равенства (*), получаем верное равенство 1р.=100 коп.

6. Прочие софизмы

Кроме математических софизмов, существует множество других, например: логические, терминологические, психологические и т.д. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.

1.«Полупустое и полуполное»

«Полупустое есть то же, что и полуполное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть то же, что и полное».

2. «Вор»

«Вор не желает приобрести ничего дурного.

Приобретение хорошего есть дело хорошее.

Следовательно, вор желает хорошего».

3.«Рогатый»

« Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

4.«Чем больше»

«Чем больше я пью водки, тем больше у меня трясутся руки.

Чем больше у меня трясутся руки, тем больше спиртного

я проливаю.

Чем больше я проливаю, тем меньше я выпиваю.

Значит, чтобы пить меньше, надо пить больше».

5.«Самое быстрое существо не способно догнать самое медленное»

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет медлительную черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет и это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.

6.«Медимн зерна»

Большая масса мелких, просяных например, зерен при падении на землю всегда производит шум. Он складывается из шума отдельных зерен, и, значит, каждое зерно и каждая малейшая часть зерна должны, падая, производить шум. Однако отдельное зерно падает на землю совершенно бесшумно. Значит, и падающий на землю медимн зерна не должен был бы производить шум, ведь он состоит из множества зерен, каждое из которых падает бесшумно. Но все-таки медимн зерна падает с шумом!

7 .«Куча»

Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе.

Возьмем некоторую кучу, например, орехов.

Теперь начнем брать из нее по ореху:

50 орехов - куча,

49 - куча,

48 - тоже куча и т.д.

Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу.

Вот тут-то и парадокс – сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей.

Такое рассуждение нельзя применять, так как не определено само понятие «куча».

Другие примеры софизмов, сформулированных еще в древней Греции:

1. «Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

2. «Сократ - человек; человек - не то же самое, что Сократ; значит, Сократ - это нечто иное, чем Сократ».

3.«Глаза»

4. «Тот, кто лжет, говорит о деле, о котором идет речь, или не говорит о нем; если он говорит о деле, он не лжет; если он не говорит о деле, он говорит о чем-то несуществующем, а о нем невозможно не только лгать, но даже мыслить и говорить».

5. Движение летящей стрелы невозможно ввиду того, что в каждый неделимый момент времени она покоится, а промежуток времени является суммой бесконечного числа неделимых моментов.

4. Классификация ошибок

4.1 Логические

Так как обычно вывод может быть выражен в силлогистической  форме (Силлогизм - тонкий, хитрый ход (для подтверждения или доказательства чего-либо)), то и всякий софизм может быть сведён к нарушению правил силлогизма. Наиболее типичными источниками логических софизмов являются следующие нарушения правил силлогизма:

1. Вывод с отрицательной меньшей посылкой в первой фигуре: «Все люди суть разумные существа, жители планет не суть люди, следовательно, они не суть разумные существа».

2. Вывод с утвердительными посылками во второй фигуре: «Все, находящие эту женщину невинной, должны быть против наказания её; вы - против наказания её, значит, вы находите её невинной».

3. Вывод с общим заключением в третьей фигуре: «Закон Моисеев запрещал воровство, закон Моисеев потерял свою силу, следовательно, воровство не запрещено».

4. Особенно распространённая ошибка «Учетвере́ние те́рминов» (лат. quaternio terminorum), то есть употребление среднего термина в большой и в меньшей посылке не в одинаковом значении: «Все металлы – простые тела, бронза - металл: бронза - простое тело» (здесь в меньшей посылке слово «металл» употреблено не в точном химическом значении слова, обозначая сплав металлов): отсюда в силлогизме получаются четыре термина.

4.2 Терминологические ошибки

Грамматические, терминологические и риторические источники софизмов выражаются в неточном или неправильном словоупотреблении и построении фразы наиболее характерные:

Ошибка омонимия. Например: реакция в смысле химическом, биологическом и историческом; доктор как врач и как учёная степень.

Ошибка сложения — когда разделительному термину придаётся значение собирательного. Все углы треугольника < π в том смысле, что сумма < π.

Ошибка разделения, когда собирательному термину даётся значение разделительного: «все углы треугольника = π» в смысле «каждый угол = сумме 2 прямых углов».

Ошибка ударения, когда подчёркивание повышением голоса в речи и курсивом в письме определённого слова или нескольких слов во фразе искажает её первоначальный смысл.

Ошибка выражения, заключающаяся в неправильном или неясном для уразумения смысла построении фразы, например: «сколько будет дважды два плюс пять?» Здесь трудно решить имеется ли в виду (2 * 2) + 5 или 2 * (2 + 5).

4.3 Психологические ошибки

Психологические причины софизмов бывают троякого рода: интеллектуальные, аффективные и волевые. Во всяком обмене мыслей предполагается взаимодействие между 2 лицами, читателем и автором или лектором и слушателем, или двумя спорящими. Убедительность софизмов предполагает два фактора: α — психические свойства одной и β — другой из обменивающихся мыслями сторон. Правдоподобность софизмов зависит от ловкости того, кто защищает его, и уступчивости оппонента, а эти свойства зависят от различных особенностей обеих индивидуальностей.

4.3.1 Интеллектуальные причины

Интеллектуальные причины софизма заключаются в преобладании в уме лица, поддающегося софизму, ассоциаций по смежности над ассоциациями по сходству, в невнимание, в слабой памяти, непривычке к точному словоупотреблению, бедности знаний по данному предмету, лености в мышлении и т.д. Обратные качества, разумеется, являются наиболее выгодными для лица, защищающего софизм. Обозначим первые отрицательные качества через b, вторые соответствующие им положительные через a.

4.3.2 Аффективные причины

Сюда относятся трусость в мышлении — боязнь опасных практических последствий, вытекающих от принятия известного положения; надежда найти факты, подтверждающие ценные для нас взгляды, побуждающая нас видеть эти факты там, где их нет и т.д. Желающий обольстить ум своего соперника софист должен быть не только искусным диалектиком, но и знатоком человеческого сердца, умеющим виртуозно распоряжаться чужими страстями для своих целей. Обозначим аффективный элемент в душе искусного диалектика, который распоряжается им как актёр, чтобы тронуть противника, через c, а те страсти, которые пробуждаются в душе его жертвы и омрачают в ней ясность мышления через d.

6. Заключение

Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок.

О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то чаще они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений.
Я поняла, что софистика - это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно и необычно. Порой сам попадаешься на уловки софиста, на столь безукоризненную череду его рассуждений. Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других, научится грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Поиск заключенных в софизме ошибок, понимание их причин ведет к осмысленному изучению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, очень часто оказывается более поучительным, чем просто разбор решений «безошибочных» задач. Эффектная демонстрация «доказательства» явно неверного результата, демонстрация того, к какой нелепице приводит пренебрежение каким-либо математическим правилом, и последующий поиск и разбор ошибки, позволяют понять и «закрепить» математическое правило или утверждение. Такой подход способствует пониманию того, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле.

7. Список литературы

А.Г. Мадера, Д.А. Мадера «Математические софизмы»

Москва, «Просвещение», 2003 г.

Ф.Ф. Нагибин, Е.С. Канин «Математическая шкатулка»

Москва, «Просвещение», 1988 г.

«Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия 2004 г.»

Ахманов А. С., Логическое учение Аристотеля, М., 1960;

Брадис В. М., Минковский В. Л., Харчева Л. К.,

Ошибки в математических рассуждениях, 3 изд., М., 1967.

А.Г. Мадера, Д.А. Мадера Математические софизмы.- Москва, 2003.

Статья «Математические софизмы»
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E8%FF_%E2%E5%F0%EE%FF%F2%ED%EE%F1%F2%E5%E9

Статья «Вероятность события»
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/veroyatnost-sobytiya.html

Статья «Софизмы в обычной жизни»

http://images.yandex.ru/