| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Байрамова Елена Николаевна257 учитель математики Россия, Смоленская обл., Смоленск |
Урок по теме «Теорема Пифагора»
МО учителей математики и физики
МБОУ «СШ № 7» города Смоленска
Урок по теме «Теорема Пифагора»
УМК Атанасян Л. С.
Учитель математики
Байрамова Елена Николаевна
2021 – 2022 учебный год
Предмет: математика.
Раздел: площадь фигур.
Тема: теорема Пифагора.
Класс: 8.
Тип урока: изучение и первичное закрепление новых знаний.
Предметные компетенции
Восприятие и первичное осознание материала темы «Теорема Пифагора».
Опора на ранее изученный материал: многоугольник, виды треугольников, элементы прямоугольного треугольника.
Доказательство теоремы Пифагора.
Формирование умений применять теорему Пифагора в процессе решения математических моделей реальных ситуаций.
Знакомство с исторической эпохой, основными этапами жизни Пифагора.
Осуществление межпредметных связей геометрии с алгеброй, историей, географией, литературой.
Использование дополнительной литературы, применение Интернета в индивидуальной образовательной деятельности.
Ключевые образовательные компетенции (ценностно-смысловая, общекультурная, информационная, коммуникативная, личностного совершенствования).
Повышение мотивации.
Улучшение эмоционального фона урока.
Снижение конфликтности и напряженности при изучении нового материала
Развитие навыка элементарных построений.
Развитие умения проводить доказательные рассуждения.
Развитие умения проводить информационно-смысловой анализ текста геометрической задачи.
Развитие познавательных компетенций: сравнение, сопоставление, классификация объектов по одному или нескольким предложенным критериям.
Развитие умения сопоставлять окружающий мир и геометрические модели.
Развитие логики и конструктивного мышления, смекалки и наблюдательности.
Воспитание культуры общения.
Воспитание познавательного интереса к предмету.
УУД:
Со словесной основой: владение устной речью, владение определенными знаниями по истории, географии, литературе, ИЗО, умение работать с информационным текстом, дополнительной литературой, выделять главную мысль, вести поиск нужной информации; контекст анализ выступлений одноклассников; подготовка и представление публичного выступления в виде презентации; самостоятельная работа с учебником, ЭОР; поиск информации в справочных изданиях, словарях, сети Интернет; отбор и сравнение материала из нескольких источников (текс научно-популярной литературы); составление с помощью различных компьютерных средств обучения плана, тезисов, резюме, аннотации, обзора литературы; подготовка выступлений и докладов с использованием разнообразных источников информации; решение задач.
На основе восприятия образа: просмотр, наблюдение и обсуждение, объяснение и интерпретация наблюдаемых явлений; анализ таблиц, схем, рисунков; анализ проблемных учебных ситуаций.
С практической основой: доказательство теоремы; выполнение работ практикума;
разработка вариантов доказательства; построение гипотезы на основе анализа
имеющихся данных; проведение исследовательского эксперимента; моделирование и
конструирование; решение задач; подготовка и оформление результатов самостоятельной
работы в ходе учебной и научно-познавательной деятельности.
Мотивация к познанию, работе: само мотивация от удовлетворения собственным трудом, личный интерес учащихся, самореализация.
Предполагаемые «приращения»: новое содержание и новый взгляд на тему, изучение геометрии в тандеме с алгеброй, историей, географией и литературой.
Новые методические (практические) приемы: работа с историческими источниками
Знания, на получение которых нацелен результат проекта: знание зависимости между сторонами прямоугольного треугольника; умение доказывать теорему Пифагора; применение теоремы Пифагора для решения задач; знание истории, географии, литературы, мирового культурного наследия.
Создание положительного эмоционального фона; снижение конфликтности и напряженности при изучении темы; воспитание толерантности и культуры общения; расширение кругозора и познавательного интереса к геометрии.
Статус учебного проекта.
Автор-разработчик учитель математики Байрамова Е. Н.
Опыт использования (апробация) параллель 8-х классов
Степень распространения: МБОУ «СШ №7» города Смоленска
Принципы дидактики:
Принцип наглядности. Виды наглядности:
а) изобразительные (модели, экранные средства, рисунки);
б) словестно-образные (рассказ, звуковые средства);
в) внутренняя наглядность (опора на опыт обучающихся).
Принцип сознательности и активности:
а) постановка проблемной ситуации;
б) умение облекать свои знания в правильную словесную оболочку;
в) положительное отношение к изучаемому материалу;
г) опора на предыдущий опыт, на систему знаний;
д) интерес.
Принцип доступности:
а) соответствие содержания, методов и форм возрастным особенностям, уровню развития обучающихся;
б) отбор содержания, рациональные методы работы;
в) совпадение темпа информации и скорости усвоения;
г) ориентация на понимание, а не на запоминание;
д) от простого к сложному, от легкого к трудному, от известного к неизвестному.
Принцип научности:
а) материал отвечает современным достижениям науки;
б) методы научного исследования: работа с литературными источниками, выдвижение проблемы и ее разрешение;
в) знакомство с различными точками зрения;
г) формирование научного мировоззрения.
Принцип индивидуального подхода:
а) учитывать обучаемость: запас знаний и навыков;
б) восприимчивость к изучению нового материала и умение осмысливать его;
в) умение обобщать, выделять существенные признаки нового материала.
Принцип систематичности и последовательности:
а) установление ассоциаций;
б) межпредметные связи, преемственность;
в) «опережающее обучение» - почва для последующего урока;
г) повторение изученного материала с новых позиций;
г) связь теории с практикой.
Принцип прочности в овладении предметными и ключевыми компетенциями:
а) развитие логической, механической памяти;
б) установки «это надо запомнить хорошо», «это надо запомнить навсегда»;
в) «предотвращать забывание» с помощью опорных сигналов, схем, рисунков;
г) запись обучающимися важной информации;
д) систематическое повторение.
Принцип закономерности процесса обучения:
а) воспитывающий характер обучения;
б) развивающий характер обучения.
Методы обучения по средствам обучения.
Словесные. Методы устного изложения материала:
а) объяснение (доказательное изложение);
б) рассказ;
в) беседа (поисковая, наводящая);
г) методы работы с учебной литературой, интернет ресурсы .
Наглядные методы:
а) иллюстрации;
б) наблюдение;
в) компьютерная техника.
Упражнения:
а) обеспечивающие прочное усвоение знаний, направленные на запоминание учебного материала;
б) по выработке умений по применению знаний в практической деятельности;
в) упражнения творческого характера.
Методы обучения по характеру познавательной деятельности.
Информационное восприятие:
а) устное слово (рассказ, объяснение);
б) наглядность.
Репродуктивный метод (воспроизведение):
а) упражнения;
б) практические задания.
Проблемное изложение:
а) рассказ-рассуждение;
б) логическое рассуждение.
Частично-поисковый или эвристический метод. Способ поиска решения проблемы определяет учитель, но решение находя обучающиеся.
Исследовательский метод. Творческая деятельность по решению новых задач.
Прогнозируемый результат
Обучающиеся знают зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.
Обучающиеся знают формулировку теоремы Пифагора и умеют доказывать теорему различными способами.
Обучающиеся умеют применять теорему Пифагора для решения задач.
Структура урока
Организационный момент.
Актуализация знаний.
а) проблемная задача №1;
б) практическая работа исследовательского характера;
в) постановка темы, целей и мотивация урока.
Историческая справка о жизни Пифагора Самосского и теоремы Пифагора.
Доказательство теоремы Пифагора.
Формирование у обучающихся практических умений темы в процессе решения задач.
Рефлексия.
Домашнее задание.
Итог урока.
Оборудование:
чертежные инструменты, портрет Пифагора, раздаточный материал (мозаика фигур; листы миллиметровой бумаги), геометрические пазлы, презентация Microsoft Office PowerPoint
Ход урока.
Организационный момент.
Актуализация опорных знаний.
а) Вопросы:
У какого многоугольника меньше вершин?
Какая геометрическая фигура называется треугольником?
Назовите виды треугольников?
Как называются стороны прямоугольного треугольника?
Проблемная задача №1
| Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? |
Анализируя математическую модель этой практической задачи, обучающиеся формулируют проблему – нужно найти гипотенузу прямоугольного треугольника по двум известным катетам.
б) практическая работа исследовательского характера.
с
а
b
Задание по группам: построить на миллиметровой бумаге прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см; 6 см и 8 см; 8 см и 15 см; и измерить гипотенузу. Результаты занести в таблицу:
| b | a | c |
№1 | 5 | 12 | 13 |
№2 | 8 | 6 | 10 |
№3 | 15 | 8 | 17 |
Затем обучающимся предлагается выразить формулой зависимость между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. Школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются.
Вывод: зависимость между сторонами прямоугольного треугольника:
с2 = а2 + b2 |
После установления зависимости между сторонами прямоугольного треугольника эмпирический вывод требует теоретического обоснования.
Историческая справка
Влилась в века Эллада, как вино, -
В дворцовой фреске, в мраморном кумире,
В живом стихе, в обточенном сапфире,
Явя, что было, есть и суждено.
Валерий Брюсов
Время повествования отстоит от дня сегодняшнего ни много ни мало на 2500 лет. Эллада.
Эгейское море для древних греков – это не просто место ловли кефали или сардин, но это и путь к иным народам и иной культуре, это дорога к невиданным произведениям искусства и восточным сказочным богатствам, это окно в неведомый мир знаний, хранимый скупыми на слова восточными мудрецами.
Развалины храма Герайон в Кротоне.
| Перед вами мраморная статуя богини Геры Самасской. Специалисты относят скульптуру к 560 году до нашей эры. Париж, Лувр. Мраморные складки одежды Геры Самосской хранят, быть может, взгляд юного грека. Звали этого мальчика «Ты вырос из Самоса. Отправляйся путешествовать – только так утолишь ты жажду познания. Помни: путешествия и память суть два средства, возвышающие человека и открывающие ему врата мудрости» |
, в переводе на русский «тот, о ком объявила пифия». Откуда такое необычное имя? Как гласит легенда, однажды грек Мнесарх получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Дельфийского оракула звали – Пифия. Родившийся мальчик был сказочно красив не только ликом, но и душою, и вскоре проявил незаурядные способности. Он страстно увлекался музыкой и поэзией; но главное занятие, которое увлекало его ум – наблюдение за природой. Природа стала для Пифагора первым и главным учителем. Неугомонному воображению Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе. Мудрый учитель понимал все без слов. | Шел 550 год до нашей эры. В жизни Пифагора были путешествия по Финикии (религиозные таинства), Египту (религия, египетский язык, астрономия, математика), Вавилону (совершенствует науку о числах, музыка, астрология, основы геометрии). Вернулся на родину остров Самос Пифагор в возрасте около 40 лет. Много путешествует по Греции. Затем он вынуждено переезжает на юг Италии город Кротон и открывает там свою знаменитую школу. Знание, мудрость, скромный образ жизни, политическое влияние превратили Пифагора в философа, учителя и математика Статуя Пифагора (на ней он выглядит как древний римлянин). |
Теорема Пифагора
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалась бы с теоремой Пифагора. Пожалуй, даже те, кто в своей жизни распрощался с математикой, сохраняют воспоминания о «пифагоровых штанах». «Пифагоровы штаны - на все стороны равны.
Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота – красота – значимость. Но кроме того теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и поэтому существует около 500 различных доказательств этой теоремы: геометрических, алгебраических, механических.
Открытие теоремы Пифагора окружено ореолом красивых легенд. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство этой теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.
Мы рассмотрим некоторые классические доказательства теоремы Пифагора, известные из древних трактатов. Сделать это полезно еще и потому, что в современном учебнике дается алгебраическое доказательство теоремы. Но при таком доказательстве исчезает первозданная геометрическая аура теоремы, теряется нить Ариадны, которая вела древних мудрецов к истине, а путь этот всегда оказывается кратчайшим и всегда красивым.
Итак, Теорема Пифагора:
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах».
или
"Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах".
Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника.
| Дано: △АВС; ∟АВС = 900; АВ = ВС. Доказать: АС2 = АВ2 +ВС2 (SАС = SАВ + SВС). |
Доказательство. Рассмотрим мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников. Для △АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах ВС и АВ – по два. Таким образом SАС = SАВ + SВС или АС2 = АВ2 +ВС2. Что и требовалось доказать. | |
Смотрите, а вот и «Пифагоровы штаны – на все стороны равны»
Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы; рисовали шаржи.
Древнекитайское доказательство.
Математические трактаты Древнего Китая дошли до нас в редакции II века до нашей эры. В это время в Китае была изобретена бумага и одновременно начинается воссоздание древних книг. Так возникла «Математика в девяти книгах» - главное из сохранившихся математико-астрономических сочинений. В 9 книге «Математики …» помещен чертеж, доказывающий теорему Пифагора.
| На древнекитайском чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а и b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со сторонами (а + b), а внутренний – квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе. |
Доказательство: Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся четыре треугольника уложить в два прямоугольника, то площадь, образовавшийся пустоты, с одной стороны равна с2, а с другой – (а2 + b2), т. е. с2 = а2 + b2. Что т требовалось доказать. | |
Древнеиндийское доказательство.
| СМОТРИ! «Сиддханта широмани» XII век математик Бхаскар
|
Формирование у обучающихся практических умений темы в процессе решения задач.
«Великая теорема в действии»
Задача №1 (вернемся к проблемной задачи).
| Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты? Ответ: нет 50 м не хватит. |
З а д а ч а №2
| Дано: △ АВС; ∟С = 900; АС = 8 см; ВС = 6 см. Найти: АВ. |
Решение. Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2, АВ2 = 82 + 62, АВ2 = 64 + 36, АВ2 = 100, АВ = - 10 или АВ = 10. - 10 – посторонний корень, т. к. не подходит по смыслу задачи. О т в е т: АВ = 10 см. | |
З а д а ч а №3
| Дано: △ DCE; ∟ С = 900; DE = 5 м; СЕ = 3 м. Найти: DC. | |
Решение. Δ DCE – прямоугольный с гипотенузой DE, по теореме Пифагора: DE2 = DС2 + CE2, DC2 = DE2 – CE2, DC2 = 52 – 32, DC2= 25 – 9, DC2 = 16, DC = - 4 или DC = 4. - 4 – посторонний корень, т.к. не подходит по смыслу задачи. О т в е т: DC = 4 м . | «Правило верёвки» «Египетский треугольник» | |
Задача №4 индийского математика XII века Бхаскары (работа в паре).
| "На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой С теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола, Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: У тополя как велика высота?" |
Задача №5 Древнерусская Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого (работа в паре)
| Условие. «Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать». |
Дано: △ АВС; ∟ С = 900; АС = 117 стоп; АВ = 125 стоп. Найти: ВС. Ответ: 44 стопы. |
Задача №6 Задача из китайской "Математики в девяти книгах" (продвинутый уровень)
| "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?" |
| Дано: △ АВС; ∟ С = 900; а = 5 чи; Найти: b. |
Решение. Δ АВС – прямоугольный с гипотенузой АВ, по теореме Пифагора: АВ2 = АС2 + ВС2. Пусть АС = х чи (глубина водоема), тогда АВ = (х + 1) чи (длина стебля камыша); ВС = 5 чи (расстояние от берега до середины водоема). Тогда по теореме Пифагора составим уравнение: | (х + 1)2 = х2 + 52, (х + 1)2 – х2 = 25, 2х = 24, х = 12. Итак, АС = 12 (чи) – глубина водоема. АВ = 12 + 1 = 13(чи) - длина стебля камыша . Ответ: 12 чи и 13 чи. |
Домашнее задание
| Выучить материалы §3; П. 54; вопрос 8, стр. 134; № 483 (а,б); № 484 (а,б). Дополнительные задачи. Фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона. 2. Используя этот рисунок Леонардо да Винчи доказал теорему Пифагора. Пройдите путь гениального ученого. |
Итог
«Тот, о ком объявила пифия»
Суть истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна …
Отрывок из стихотворения
А. Шамиссо
26
