Конкурс исследовательских работ «День науки» Секция математика "Тригонометрия вокруг нас"

Секция математика

Тригонометрия вокруг нас

Кострома 2019

Оглавление

«Мир, в котором мы живем, удивительно склонен к колебаниям…»

специалист в области механики,

профессор Лондонского университета

Р. Бишопа

Введение

Изучая курс алгебры до 9 класса, мы имели дело с алгебраическими функциями, но модели реальных жизненных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. С первыми представителями класса неалгебраических функций - тригонометрическими функциями мы столкнулись в 10 классе. На наш взгляд тригонометрические функции играют большую роль в познании реального мира. Знание их свойств позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Изучение тригонометрических функций является актуальным.

Тригонометрия – раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Слово тригонометрия состоит из двух греческих слов: trigwnon - треугольник и metrew - измерять и в буквальном переводе означает измерение треугольников. Как и всякая другая наука, тригонометрия возникла в результате человеческой практики в процессе решения конкретных практических задач.

Приступая к написанию данной работы, мы столкнулись с противоречием между имеющимися теоретическими знаниями по данной теме и отсутствием понимания того, где в реальной жизни можно встретиться с функциональной моделью, и как человек использует свойства тригонометрических функций в своей практической деятельности.

Цель: выявить связь тригонометрических функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека, показать, что данные функции находят широкое применение в жизни.

Задачи:

выяснить, какие законы природы выражаются тригонометрическими функциями;

найти примеры применения тригонометрических функций в окружающем мире;

определить связь тригонометрии с различными предметами.

Методы исследования:

изучение Интернет-ресурсов;

применение собственных знаний;

анализ полученных результатов;

обобщение полученных данных.

Основные этапы нашей работы:

Сбор необходимой информации: использование сети Интернет, книг, публикаций по данной теме. (декабрь 2018)

Сортировка информации по темам: систематизация и определение порядка написания работы ( январь 2019)

Составление текстовой работы: написание текста, частичное оформление систематизированной информации (февраль 2019)

Подготовить оформленный материал в соответствии с требованиями информационного проекта (февраль 2019)

5. Разработать в соответствии с содержанием проекта электронную презентацию (февраль 2019)

Основная часть

Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии. Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon - треугольник, а metrew - измеряю). Большое количество практических задач, а также задач планиметрии, стереометрии, астрономии и других приводятся к задаче решения треугольников. Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях. С данной наукой мы сталкиваемся не только на уроках математики , но и в нашей повседневной жизни. Мы даже не подозревали об этом, но тригонометрия встречается в таких науках, как физика, биология, не последнюю роль она играет и в медицине, музыке и архитектуре. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли следующие учёные: Абу-ль-Вафа, Франсуа Виет, Насиреддин Туси Мухамед, Аль-Батани,Исаак Ньютон,Леонард Эйлер, Ричард Саусвелл.

Области применения тригонометрии

Тригонометрия в физике

В технике и окружающем нас мире часто приходится сталкиваться с периодическими процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие процессы называют колебательными. Колебательные явления различной физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой точки зрения. Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения.

Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f(t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени. Примером волны такого рода могут служить волны, бегущие по натянутому резиновому жгуту или по струне.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис.1).

Рис.1. Механические колебательные системы.

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

На рисунке 2 приведены графики координаты, скорости и ускорения тела, совершающего гармонические колебания.

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания, которые описываются уравнением: x = m cos (ωt + f0).

Рис. 2. Графики координаты x(t), скорости υ(t) и ускорения a(t) тела,

совершающего гармонические колебания.

Значительный интерес для практики представляют простые гармонические или синусоидальные волны.

Если бы зрение людей обладало способностью видеть звуковые, электромагнитные и радиоволны, то мы видели бы вокруг многочисленные синусоиды всевозможных видов.

Наверняка, каждый не раз наблюдал явление, когда опущенные в воду предметы сразу же меняли свои размеры и пропорции. Интересное явление, погружаешь в воду свою руку, и она сразу же превращается в руку какого-то другого человека. Почему так происходит? Ответ на этот вопрос и подробное объяснение этого явления как всегда дает физика – наука, которая может объяснить практически все, что нас окружает в этом мире.

Итак, на самом деле, при погружении в воду предметы, конечно же, не меняют ни своих размеров, ни своих очертаний. Это просто оптический эффект, то есть мы зрительно воспринимаем этот объект по-другому. Происходит это из-за свойства светового луча. Оказывается, на скорость распространения света в огромной мере влияет, так называемая оптическая плотность среды. Чем плотнее эта оптическая среда, тем медленнее распространяется луч света.

Но и изменение скорости луча света еще не объясняет в полной мере рассматриваемого нами явления. Существует и еще один фактор. Так вот, когда световой луч проходит границу между менее плотной оптической средой, например воздухом, и более плотной оптической средой, например водой, часть светового луча не проникает внутрь новой среды, а отражается от ее поверхности. Другая же часть светового луча проникает внутрь, но, уже меняя направление. 

Это явление называется преломлением света, и ученые уже давно могут не просто наблюдать, но и точно рассчитывать угол этого преломления. Оказалось, что простейшие тригонометрические формулы и знание синуса угла падения и угла преломления дают возможность узнать постоянный коэффициент преломления для перехода светового луча из одной конкретной среды в другую. Например, коэффициент преломления воздуха чрезвычайно мал и составляет 1,0002926, коэффициент преломления воды чуть больше - 1,332986, алмаз преломляет свет с коэффициентом 2,419, а кремний - 4,010.

Данное явление лежит в основе, так называемой Теории радуги. Впервые теория радуги была дана в 1637 году Рене Декартом. Он объяснил радугу, как явление, связанное с отражением и преломлением света в дождевых каплях.

Радуга возникает из-за того, что солнечный свет испытывает преломление в капельках воды, взвешенных в воздухе по закону преломления:

,

где n1=1, n2≈1,33 – соответственно показатели преломления воздуха и воды, α – угол падения, а β – угол преломления света.

Тригонометрия в искусстве и архитектуре.

Архитектура ещё одна сфера науки, в которой используются тригонометрические формулы. Большинство композиционных решений и построений рисунков проходило именно с помощью геометрии. Мы рассмотрим пример на построение одной скульптуры французского мастера Золотого века искусства.

Пропорциональное соотношение в построении статуи было идеально. Однако при поднятии статуи на высокий пьедестал, она смотрелась уродливой. Скульптором не было учтено, что в перспективе к горизонту уменьшаются многие детали и при взгляде снизу-вверх уже не создается впечатления ее идеальности. Зная примерное расстояние от статуи до точки зрения, а именно от верха статуи до глаз человека и высоту статуи, можно рассчитать синус угла падения взгляда с помощью таблицы, тем самым найдем точку зрения (рис.3).

На рисунке 4 ситуация меняется, так как статую поднимают на высоту АС и НС увеличиваются, можно рассчитать значения косинуса угла С, по таблице найдем угол падения взгляда. В процессе можно рассчитать АН, а также синус угла С, что позволит роверить результаты с помощью основного тригонометрического тождества cos 2 a + sin 2 a = 1

. Рис.3,4.

Культовые здания во всем мире были спроектированы благодаря математике, которая может считаться гением архитектуры. Некоторые известные примеры таких зданий: Детская школа Гауди в Барселоне, Небоскрёб Мэри-Экс в Лондоне, Винодельня «Бодегас Исиос» в Испании, Ресторан в Лос-Манантиалесе в Аргентине. При проектировании этих зданий не обошлось без тригонометрии.

Тригонометрия в биологии и медицине

Одно из фундаментальных свойств природы - это цикличность большинства её процессов. Биологические ритмы, биоритмы, - это более или менее регулярные изменения характера и интенсивности биологических процессов. Способность к таким изменениям жизнедеятельности передается по наследству и обнаружена практически у всех живых организмов. Биоритмы подразделяют на физиологические, имеющие периоды от долей секунды до нескольких минут и экологические, по длительности совпадающие с каким либо ритмом окружающей среды, они могут быть суточные, сезонные, годовые, приливные и лунные ритмы.

Мы заметили, что в определенные периоды наша жизнь делает необъяснимые скачки. Вдруг, откуда не возьмись,  - бьют через край эмоции, повышается чувствительность, которая внезапно может смениться полной апатией. Подмечено, что возможности человеческого организма меняются периодически. Эти знания лежат в основе «теории трех биоритмов».

Физический биоритм – регулирует физическую активность. В течение первой половины физического цикла человек энергичен, и достигает лучших результатов в своей деятельности (вторая половина – энергичность уступает лености).

Эмоциональный ритм – в периоды его активности повышается чувствительность, улучшается настроение. Человек становится возбудимым к различным внешним катаклизмам. При снижении эмоционального биоритма происходит упадок душевных сил, пропадает желание, радостное настроение.

Интеллектуальный биоритм - он распоряжается памятью, способностью к обучению, логическому мышлению. В фазе активности наблюдается подъем, а во второй фазе спад творческой активности, отсутствуют удача и успех.

Рис.5. Биоритмы

Теория трех ритмов.

Физический цикл - 23 дня. Определяет энергию, силу, выносливость, координацию движения

Эмоциональный цикл - 28 дней. Состояние нервной системы и настроение

Интеллектуальный цикл - 33 дня. Определяет творческую способность личности.

Тригонометрия встречается и в природе. Движение рыб в воде происходит по закону синуса или косинуса, если зафиксировать точку на хвосте, а потом рассмотреть траекторию движения. При плавании тело рыбы принимает форму кривой, которая напоминает график функции y=tgx.

При полёте птицы траектория взмаха крыльев образует синусоиду

Тригонометрия в медицине.

В результате исследования, проведенного студентом иранского университета, медики впервые получили возможность упорядочить информацию, относящуюся к электрической активности сердца или, другими словами, электрокардиографии.

Формула, получившая название тегеранской, представляет собой комплексное алгебраически-тригонометрическое равенство, состоящее из 8 выражений, 32 коэффициентов и 33 основных параметров, включая несколько дополнительных для расчетов в случаях аритмии. Как утверждают медики, эта формула в значительной степени облегчает процесс описания основных параметров деятельности сердца, ускоряя, постановку диагноза и начало лечения.

В будущем будут вычислены формулы других органов человека, и медики с помощью элементарных уравнений смогут прогнозировать и лечить любую болезнь.

Примененный в практических целях в 70-х годах 19 века англичанином А.Уоллером аппарат, записывающий электрическую активность сердца, продолжает служить человеку и по сей день. Электрокардиограф позволяет выявить явные отклонения от нормального ритма сердца.

Многим людям приходится делать кардиограмму сердца, но немногие знают, что кардиограмма человеческого сердца – график синуса или косинуса.

Тригонометрия помогает нашему мозгу определять расстояния до объектов. Американские ученые утверждают, что мозг оценивает расстояние до объектов, измеряя угол между плоскостью земли и плоскостью зрения. Такой вывод был сделан после серии экспериментов, участникам которых предлагалось взглянуть на окружающий мир через призмы, увеличивающие этот угол.

Такое искажение приводило к тому, что подопытные носители призм воспринимали удаленные объекты как более близкие и не могли справиться с простейшими тестами. Некоторые из участников экспериментов даже наклонялись вперед, стремясь выровнять свое тело перпендикулярно неправильно представляемой поверхности земли. Однако по прошествии 20 минут они привыкли к искаженному восприятию, и все проблемы исчезли. Это обстоятельство указывает на гибкость механизма, с помощью которого мозг приспосабливает зрительную систему к меняющимся внешним условиям. Интересно заметить, что после того, как призмы были сняты, некоторое время наблюдался обратный эффект - переоценка расстояния.

Результаты нового исследования, как можно предположить, окажутся небезынтересны инженерам, конструирующим системы навигации для роботов, а также специалистам, которые работают над созданием максимально реалистичных виртуальных моделей. Возможны и приложения в области медицины, при реабилитации пациентов с повреждениями определенных областей мозга.

Тригонометрия в музыке

Согласно дошедшим из древности преданиям, первыми, кто попытался увидеть математику в музыке были Пифагор и его ученики. Они заметили, что частоты, соответствующие одной и той же ноте в первой, второй и т.д. октавах, относятся, как 1:2:4:8, диатоническая гамма как 2:3:5 . С помощью тригонометрии затем стали вычислять, к примеру расстояния между ладами на гитаре. Перед вами, похожий на тригонометрическую функцию тетраэдр из различных типов аккордов четырёх звуков: синий - малые интервалы, более тёплые тона - более разряженные звуки аккорда, красная сфера-наиболее гармоничный аккорд с равными интервалами между нотами.

Сейчас мы слушаем музыку в формате mp3.

Звуковой сигнал – это волна, перед вами её «график».

Как можно увидеть – это хотя и очень сложная, но синусоида, подчиняющаяся законам тригонометрии.

Во МХАТе весной 2003 года состоялась презентация альбома «Тригонометрия» группы «Ночные снайперы», солистка Диана Арбенина. Содержание альбома раскрывает первоначальное значение слова «тригонометрия» - измерение Земли.

Заключение

В настоящее время тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел, сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Мы выяснили, что тригонометрия была вызвана к жизни необходимостью производить измерения углов, но со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

Мы доказали, что тригонометрия тесно связана с физикой, биологией, встречается в природе, архитектуре и медицине.

Мы думаем, что тригонометрия нашла отражение в нашей жизни, и сферы, в которых она играет важную роль, будут расширяться.

Подготовлена презентация к уроку математики по теме «Тригонометрия вокруг нас».

Считаем, что практическая значимость данной работы заключается в следующем:

автор работы, изучив литературу по данному вопросу, получил дополнительные знания в области математики, укрепив свой интерес к этой науке.

Подготовленные материалы могут быть использованы учащимися при подготовке к урокам.

Литература

Виленкин Н.Я. Функции в природе и техники: Кн. для внеклас. чтения IX-XX кл. – 2-е изд., испр.-М: Просвещение, 2017.

Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. — М.: Просвещение, 2011.

Маслова Т.Н. «Справочник школьника по математике» 2010.

Рыбников К.А. История математики: Учебник. — М.: Изд-во МГУ, 2010.

Math.ru  «библиотека».

Википедия / ресурсы интернета.

https://infourok.ru/informacionnoissledovatelskiy-proekt-po-teme-trigonometriya-vokrug-nas-1167081.html

https://multiurok.ru/files/proekt-na-temu-trigonometriia-vokrug-nas-po-distsi.html

https://kopilkaurokov.ru/matematika/meropriyatia/informatsionnoissliedovatielskiiproiektpotiemietrighonomietriiavokrughnas

https://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2016/03/29/issledovatelskaya-rabota-trigonometriya-v

Исследовательская работа
DOCX / 1.06 Мб
Презентация
PPT / 3.33 Мб