Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке: от сложного к простому

МБОУ «Устино-Копьёвская СОШ»

Секция математики

Нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
от сложного к простому

Автор:

Бочарникова Полина Дмитриевна,

ученица 10 класса,

МОУ «Устино-Копьёвская СОШ»

Научный руководитель:

Романова Елена Александровна,

учитель математики,

руководитель РМО.

2023г

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1 Теоретический материал…………………………….………………………....4

2 Практический материал

2.1 Степенные и иррациональные функции ……………………………….......4

2.2 Показательные функции:…………..…………………………...……..…......6

2.3 Логарифмические функции ……………………………………………….…7

2.4 Тригонометрические функции ……………………………………………...8

2.5 Функции вида ……………….…………………………….............9

3 Исследование простого способа нахождения наибольшего и

наименьшего значение функции на отрезке на выпускниках школы………..10

Заключение………………………………………………………………………..10

Литература……………………………………………………………………......10

Введение

Основная задача обучения математики в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения дисциплины и продолжения образования.

Продолженное обучение наряду с решением основной задачи предусматривает выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, подготовку к обучению в ВУЗе.

Изучив задания из открытого банка заданий ЕГЭ профильного уровня, пробных тренировочных заданий, пришла к выводу, что для успешной сдачи ЕГЭ профильного уровня необходимо больше времени на вторую часть, поэтому решение первой части надо упростить.

В связи с этим передо мной встала проблема: при помощи дополнительной литературы выявить имеющиеся простые приёмы, способы нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке не рассматривающиеся в школьных учебниках математики, затем помочь широкой массе школьников, будущих выпускников освоить найденные приёмы.

Цель моей работы: исследование простых способов нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

Задачи:

изучить учебники разных авторов по данной теме,

изучить нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке по алгоритму с применением производной

исследовать, проанализировать простые способы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке

применить простые способы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке при подготовке к ЕГЭ

апробировать простые способы нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке на выпускниках школы,

Предмет – функция на отрезке.

Объект – простые способы нахождение
наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Гипотеза - существуют ли простые способы нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке и можно ли их использовать при подготовке к экзамену

Проблема - исследовать учебники разных авторов, дополнительную литературу и простые способы для решения данной темы.

1 Теоретический материал

Что говорят учебники по данной теме?

Изучив учебники:

1)Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Н.Колмогоров, А.М. Абрамов и др. – М.: Просвещение, 2015г.

2)Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А.Алимов, Ю.М,Колягин, и др. – М.: Просвещение, 2019г. Алгоритм:

3) Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 частях. Часть 1. Учебник (базовый уровень) - Мордкович А.Г. и др. – М.: Просвещение, 2016г. 4) Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник - Никольский С.М. и др. и др. – М.: Просвещение, 2018г.

5)Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учебник для общеобразоват. Организаций: базовый и углубленный уровень/ Ю.М.Колягин и др.– М.: Просвещение, 2021г.

На протяжении многих лет нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке вытекало из алгоритма.

** При помощи производной найти критические точки, выбрать те, которые принадлежат данному отрезку,

** Вычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка,

** Из вычисленных значений выбрать наименьшее или наибольшее.

Изучив дополнительную литературу, о свойствах функций пришла к простому способу нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке. Рассмотрим, на примерах взятых в открытом банке заданий.

2 Практический материал

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке по алгоритму с применением производной и без производной

2 .1 Степенные и иррациональные функции

1) Найдите наибольшее значение функции на отрезке [-5;0]

Решение:

В ычислим производную, используя формулу для вычисления производной сложной функции.

Найдем критические точки. x = – 2ϵ [-5;0]

В ычислить значения функции в критических точках и на концах отрезка

Ответ: 3

Решение:

Найдем критические точки, которые принадлежат данному отрезку.

Квадратный трехчлен, достигает наибольшего значения в точке

Н аходим значение функции только в критической точке. И получаем, наибольшее значение составляет

О твет 3.

2)Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Так как ответ не содержит чисел с радикалами, то выбираем из отрезка натуральные числа, из которых вычисляется соответствующий корень:

Среди полученных чисел находим наибольшее значение yнаиб=10

Ответ: 10

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Для функции найдем производную:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Наибольшее значение составляет 10.

3)Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Функции вида , где принадлежит отрезку, на котором требуется найти наибольшее или наименьшее значение функции, имеют соответствующее значение .

Т.е. в нашем примере yнаим=y(-3)= - 1

Ответ: -1

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Находим производную:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке:

Ответ:-1

2.2. Показательные функции:

Найти наибольшее значение функции , на

Решение: Так как в ответ не может содержать букву е, то возможны следующие варианты ответа:

А) y=0

Б) Приравнять к нулю степень у буквы е, т.е. x-7=0, получим x=7. Подставим в функцию: y(7)=1*e0=1.

Среди найденных значениях y выбираем наибольшее. Таким образом получим yнаиб=1

Ответ: 1

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Н аходим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: 1

Найти наибольшее значение функции , на отрезке

Решение:

А) y=0

Б) 10-x=0, x=10

y(10)=(100-100+10)e0=10.

yнаиб=10 Ответ: 10

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: 10

2.3 Логарифмические функции

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке [−4,5; 0].

Решение:

Ответ не должен содержать ln, поэтому приравниваем к 1 внутреннюю часть натурального логарифма, т.е. (x+5)5=1, получим x=-4. Находим

y(-4)=ln1+20=20.

унаиб=20.

Ответ: 20

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: 20

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке 

Решение:

9x=1, т.е. x=1/9.

Находим y(1/9)=1-ln1+3=4.

yнаим=4

Ответ: 4

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: 4

2.4 Тригонометрические функции

Найдите наименьшее значение функции  на отрезке  ∙

Решение:

Так как ответ не должен содержать числа π и чисел с радикалами, то выделяем выражение с числом π и с x, и приравниваем его к нулю

5π/4 -5x=0,

x=π/4

Находим

Ответ: -2

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: - 2

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Ответ: 4

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: 4

2.5 Функции вида

Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

Решение:

Точка, в которой находится наибольшее (наименьшее) значение функции равна: , а конкретно в той точке, которая принадлежит заданному отрезку.

Ответ: -10.

Привожу решение этого же задания с помощью производной.

Найдем производную функции:

Приравняем производную к нулю найдем критические точки:

х=5, х=-5

Находим значение функции в критической точке и на концах отрезка:

Выберем наибольшее из полученных значений.

Запишем ответ: -10

3. Исследование простого способа нахождения наибольшего и наименьшего значение функции на отрезке на выпускниках школы

Выполните задания:

Заключение

При помощи свойств, формул, признаков выявила имеющиеся простые способы нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке в результате, которого у выпускников будет больше времени на выполнение 2 части профильного ЕГЭ.

Литература

1. Открытый банк заданий ЕГЭ профильный уровень 2024 год,

2. Бададина Е.А. За страницами учебника математики. М., Просвещение, 2021г.

3. Леонтьева И.Р. и др. Упражнения в обучении математики. М., Просвещение, 2022г.

4. Лоповок Л.М. Математика на досуге. М., Просвещение, 2020г.