Проектная работа «Треугольники и жизнь»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

              Чупалейская основная школа

Научно – исследовательский проект

на тему:

       «Треугольники и жизнь»

Разработала:

Копеина Ксения

ученица 9 класса

Руководитель

Воронина Валентина Александровна

                                2019г.

                                Бермудский  треугольник. 

С одной стороны – это простая геометрическая фигура. С другой стороны – тайный оккультный знак, встречающийся во многих цивилизациях. Три угла, три грани…магическое число 3. Немудрено, что треугольник можно найти на тайных письменах, символах, пентаграммах. И совсем не удивительно, что самые загадочные места и строения могут быть связаны тоже с треугольниками: египетские пирамиды, звезда Давида (образована  наложением двух треугольников), Бермудский треугольник. Первое упоминание о Бермудском треугольнике можно отнести к середине 20 века. До этого времени это было ничем не выдающееся место. Считается, что первые мистические случаи стали происходить возле  Бермудских островов, что и послужило окончательным названием всей территории. С тех пор писатели и журналисты не давали этому месту покоя, прославив его на века. Бермудский треугольник не имеет четких границ, нельзя найти на карте его точное обозначение. Разные ученые определяют его местоположение по разному. Самое распространенное его определение – это область в Атлантическом океане между Бермудами, Пуэрто-Рико и Майами. Общая площадь-1 млн. квадратных километров. Однако название этой области тоже условное, поэтому название «Бермудский треугольник» не является географическим.

Бермудский треугольник имеет дурную славу. Существует огромное число свидетельств исчезновения в нем кораблей, самолетов, подводных лодок. Более того, если судно все-таки удавалось найти, то экипаж и пассажиры пропадали бесследно. Следов поломок или сигнала бедствия  не было. Были также свидетельства исчезновения объектов с радара на несколько минут.

 Правда это или вымысел журналистов – разобраться трудно. Скорее всего, реальные истории переплетаются с легендами, обрастают слухами. Сбивает с толку еще и то, что снято слишком много фильмов и написано много книг про этот феномен. Поэтому отделить реальность от домыслов тяжело. Остается собирать факты по крупицам. Можно сказать с достоверностью, что ландшафт дна, направление ветров и течения в этом месте достойны изучения. При определенных стечениях обстоятельств здесь могут встречаться и аномалии. Давно доказано, что эта зона подвержена частому появлению торнадо, сильных штормов, что уже небезопасно для судов, а волнения в атмосфере могут подстерегать самолеты в воздухе. Существует много публикаций о том, что пассажирские и торговые рейсы стараются пустить в обход Бермудского треугольника. Однако это далеко от реальности, т.к. слишком дорого делать такой крюк. Да и люди, побывавшие в треугольнике, свидетельствуют, в основном, что никакой чертовщины не наблюдали. Сверхъестественные ощущения пассажиров можно приписать мнительности, а сбой техники – усилению магнитных полей или шторму. В настоящее время побережья, граничащие с территорией Бермудского треугольника , весьма популярны среди туристов. Прекрасные пляжи, чудесная природа, экзотика притягивают. Многих привлекает «дурная» слава, одного из самых загадочных мест планеты. Ведь лучше проверить все на собственном опыте. 

Виды треугольников.

 Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника. Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным. Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Сторона прямоугольного треугольника, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой, две другие стороны называются катетами. Треугольник называется остроугольным, если все три его угла — острые. Треугольник называется тупоугольным, если один из его углов — тупой.

Медианы, биссектрисы и высоты треугольника.

 Биссектриса.  Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника. Свойства биссектрис треугольника: биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон этого угла. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим сторонам.  Точка пересечения биссектрис треугольника является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

Медиана.  Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Свойства медиан треугольника: медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих треугольников.

Высота. Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника. Свойства высот треугольника: в прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобные исходному. В остроугольном треугольнике две его высоты отсекают от него подобные треугольники. Серединный перпендикуляр. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром к отрезку. Свойства серединных перпендикуляров треугольника: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

 Средняя линия. Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Свойство средней линии треугольника: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Соотношения в треугольнике.

 Неравенство треугольника

В невырожденном треугольнике сумма длин двух его сторон больше длины третьей стороны, в вырожденном — равна. Иначе говоря, длины сторон невырожденного треугольника связаны следующими неравенствами

 Теорема о сумме углов треугольника

 Теорема синусов

где R — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. Из теоремы следует, что если a < b < c, то α < β < γ.

 Теорема косинусов

Является обобщением теоремы Пифагора. Прочие соотношения

Метрические соотношения в треугольнике приведены для треугольника :

–  формула Эйлера

Где:

• aL,bL — отрезки, на которые биссектриса  делит сторону ,
• ma,mb,mc — медианы, проведённые соответственно к сторонам a, b и c,
• ha,hb,hc — высоты, опущенные соответственно на стороны a, b и c,
• r — радиус вписанной окружности,
• R — радиус описанной окружности,
•  — полупериметр,
• S — площадь,
• d — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

Площади треугольников. 

Треугольник — хорошо знакомая всем фигура. И это, несмотря на богатое разнообразие его форм. Прямоугольный, равносторонний, остроугольный, равнобедренный, тупоугольный. Каждый из них чем-то отличается. Но для любого требуется узнавать площадь треугольника. Общие для всех треугольников формулы, в которых используются длины сторон или высот Обозначения, принятые в них: стороны — а, в, с; высоты на соответствующие стороны на, нв, нс. 1. Площадь треугольника вычисляется, как произведение ½, стороны и высоты, опущенной на нее. S = ½ * а * на. 

2. Формула Герона, в которой фигурирует полупериметр р. Полупериметр необходимо сосчитать так: сложить все стороны и разделить их на 2. Формула полупериметра: р = (а+в+с) / 2. Тогда равенство для площади фигуры выглядит так: S = √ (р * (р - а) * (р - в) * (р - с)). 3. Если не хочется использовать полупериметр, то пригодится такая формула, в которой присутствуют только длины сторон: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в - с)).

 Общие формулы, в которых фигурируют углы треугольника: α, β, γ. Они лежат напротив сторон а, в, с, соответственно. 1. По ней половина произведения двух сторон и синуса угла между ними равна площади треугольника. То есть: S = ½ а * в * sin γ.  2. Площадь треугольника можно вычислить по одной стороне и трем известным углам. S = (а2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Существует еще формула с одной известной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Она выглядит таким образом: S = с2 / (2 (ctg α + ctg β)). Две последние формулы являются не самыми простыми.

 Общие формулы для ситуации, когда известны радиусы вписанных или описанных окружностей: r, R. Первый используется для радиуса вписанной окружности. Второй — для описанной. 1. Первая формула, по которой вычисляется площадь треугольника, связана с полупериметром. S = р * r. По-другому ее можно записать так: S = ½ r * (а + в + с). 2. Во втором случае потребуется перемножить все стороны треугольника и разделить их на учетверенный радиус описанной окружности: S = (а * в * с) / (4R). 3. Третья ситуация позволяет обойтись без знания сторон, но потребуются значения всех трех углов. S = 2 R2 * sin α * sin β * sin γ.  Самая простая ситуация- прямоугольный треугольник., поскольку требуется знание только длины обоих катетов. Они обозначаются латинскими буквами а и в. Площадь прямоугольного треугольника равна половине площади достроенного к нему прямоугольника. Математически это выглядит так: S = ½ а * в. Она запоминается проще всего. Потому что выглядит, как формула для площади прямоугольника, только появляется еще дробь, обозначающая половину.  Равнобедренный треугольник: поскольку у него две стороны равны, то некоторые формулы для его площади выглядят несколько упрощенными. Например, формула Герона, по которой вычисляется площадь равнобедренного треугольника, принимает следующий вид:  S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)). площадь равнобедренного треугольника если ее преобразовать,  станет короче. В таком случае формула Герона для равнобедренного треугольника записывается так: S = ¼ в √(4 * a2 - b2). Несколько проще, чем для произвольного треугольника, выглядит формула площади, если известны боковые стороны и угол между ними. S = ½ a2 * sin β.  Равносторонний треугольник: обычно в задачах про него известна сторона или ее можно как-либо узнать. Тогда формула, по которой находится площадь такого треугольника, выглядит следующим образом: S = (а2√3) / 4.

 Задачи на нахождение площади, если треугольник изображен на клетчатой бумаге.

Самой простой является ситуация, когда прямоугольный треугольник начерчен так, что его катеты совпадают с линиями бумаги. Тогда требуется просто посчитать число клеточек, укладывающихся в катеты. Потом перемножить их и разделить на два. Когда треугольник остроугольный или тупоугольный, его нужно дорисовать до прямоугольника. Тогда в получившейся фигуре будет 3 треугольника. Один — тот что дан в задаче, а два других — вспомогательные и прямоугольные. Определить площади двух последних нужно по уже описанному  способу. Потом сосчитать площадь прямоугольника и вычесть из него те, что вычислены для вспомогательных.  Гораздо сложнее оказывается ситуация, в которой ни одна из сторон треугольника не совпадает с линиями бумаги. Тогда его нужно вписать в прямоугольник так, чтобы вершины исходной фигуры лежали на его сторонах. В этом случае вспомогательных прямоугольных треугольников будет три.

Примеры решения задач.

  Найдем а  по теореме Пифагора из ΔADC, а b по теореме Пифагора из ΔBCE:

a2=AD2+DC2=62+42=52

a=√​52​​​=2√​13​​​

Теперь b2=BE2+CE2=22+32=13

b=√​13​​​

Подставляем в формулу:

S=​2​​1​​⋅ab=​2​​1​​⋅2√​13​​​⋅√​13​​​=13

II способ..Нужно окружить нашу фигуру прямоугольником.

Получился один (нужный) треугольник внутри и целых три ненужных треугольника снаружи. Но зато площади этих ненужных треугольников легко считаются на листе в клетку! Вот мы их посчитаем, а потом просто вычтем из целого прямоугольника.

Итак.

S1=12⋅6⋅4=12

S2=12⋅7⋅4=14

S3=12⋅3⋅2=3

⇒S=42−12−14−3=13

Почему же этот способ лучше? Потому что он работает и для самых хитрых фигур. Вот смотри, нужно посчитать площадь такой фигуры:

Окружаем ее прямоугольником и снова получаем одну нужную, но сложную площадь и много ненужных, но простых.

А теперь чтобы найти площадь S просто находим площадь прямоугольника и вычитаем из него оставшуюся площадь фигур на клетчатой бумаге S1+S2+S3+S4

S1=12⋅6⋅4=12

S2=12⋅a⋅h=12⋅5⋅4=10 (обрати внимание, S2

 площадь НЕ прямоугольного треугольника, но все равно легко считается по основной формуле).

S3=12⋅5⋅2=5

S4=12⋅1⋅11=5,5

Значит, S=66−12−10−5−5,5

 Ответ: S=33,5

Вычисление площади треугольника в пространстве с помощью векторов.

Пусть вершины треугольника находятся в точках  

Введём вектор площади  

Длина этого вектора равна площади треугольника, а направлен он по нормали к плоскости треугольника:

Положим     , где    

     — проекции треугольника на координатные плоскости.

Площадь треугольника равна    

Альтернативой служит вычисление длин сторон (по теореме Пифагора) и далее по формуле Герона.

Примеры решения задач.

№ 1. Один катет прямоугольного треугольника больше, чем второй на 31 см. Требуется узнать их длины, если площадь треугольника равна 180 см2.

 Решение. Придется решить систему из двух уравнений. Первое связано с площадью. Второе — с отношением катетов, которое дано в задаче. 180 = ½ а * в; а = в + 31. Сначала значение «а» нужно подставить в первое уравнение. Получится: 180 = ½ (в + 31) * в. В нем только одна неизвестная величина, поэтому его легко решить. После раскрытия скобок получается квадратное уравнение: в2 + 31 в - 360 = 0. Оно дает два значения для «в»: 9 и - 40. второе число не подходит в качестве ответа, так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной величиной. Осталось вычислить второй катет: прибавить к полученному числу 31. Получается 40. Это искомые в задаче величины. Ответ. Катеты треугольника равны 9 и 40 см.

№ 2. Площадь некоторого треугольника 60 см2. Необходимо вычислить одну из его сторон, если вторая сторона равна 15 см, а угол между ними равен 30º.

 Решение. Исходя из принятых обозначений, искомая сторона «а», известная «в», заданный угол “γ”. Тогда формула площади можно переписать так: 60 = ½ а * 15 * sin 30º. Здесь синус 30 градусов равен 0,5. После преобразований «а» оказывается равным 60 / (0,5 * 0,5 * 15). То есть 16. Ответ. Искомая сторона равна 16 см.

№ 3. Вершина квадрата со стороной 24 см совпадает с прямым углом треугольника. Две другие лежат на катетах. Третья принадлежит гипотенузе. Длина одного из катетов равна 42 см. Чему равна площадь прямоугольного треугольника?

Решение. Рассмотрим два прямоугольных треугольника. Первый — заданный в задаче. Второй — опирается на известный катет исходного треугольника. Они подобны, так как имеют общий угол и образованы параллельными прямыми. Тогда отношения их катетов равны. Катеты меньшего треугольника равны 24 см (сторона квадрата) и 18 см (заданный катет 42 см вычесть сторону квадрата 24 см). Соответствующие катеты большого треугольника — 42 см и х см. Именно этот «х» нужен для того, чтобы вычислить площадь треугольника. 18/42 = 24/х, то есть х = 24 * 42 / 18 = 56 (см). Тогда площадь равна произведению 56 и 42, разделенному на два, то есть 1176 см2. Ответ. Искомая площадь равна 1176 см2.

Вывод: 

Треугольник – геометрическая фигура, которая часто используется для вычисления площади любого участка неправильной формы. Теоремы треугольников используются при решении задач, а эти расчёты могут быть использованы при строительстве, разметке участка, составление чертежа. Треугольник – оптимальная форма, к которой стремится любой природный объект, например , горная вершина. Треугольная крыша наиболее удобная при строительстве зданий, так как на ней не остаётся осадков.

 Треугольники встречаться на дорогах – это дорожные знаки, которые называются:

  Памятка.

  Треугольник-многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами; фигура, образованная тремя точками, не лежащих на одной прямой, и тремя соединяющими их отрезками. Медиана- отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

 Биссектриса угла — это луч, который исходит из его вершины, проходит между его сторонами и делит данный угол пополам. Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противолежащей стороне этого треугольника.

 Высота треугольника - перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Средняя линия- отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Серединный перпендикуляр- перпендикуляр, восстановленный в середине стороны треугольника.

Вычисление площади поверхности пирамиды.

 Первая пирамида в Египте - пирамида Джосера (жил в 1-ой половине 28 (!) века до н.э.)
зодчий - Имхотеп.
Размеры: основание - 125 × 115 м., высота ~61 м. (сохранилась в хорошем состоянии, однако размеры за счет внешнего воздействия уменьшились: 121 × 109 м., высота ~59 м.)

1)Площадь основания пирамиды: 125*115=14375(м)

2)Высота боковой грани: 62,5 в квадрате + 61 в квадрате=3906,25+3721=7627,25(м)

Высота =√7627,25=87(м)

Другая высота: 57,5 в квадрате+ 61 в квадрате=3306,25+ 3721=7027,25(м)

Высота =√7027,25=84(м)

3)Площадь треугольника= 1/2* 125*84=125842=5250(м2)

Площадь треугольника=1/2* 115*87=4992,5=4993(м2)

4)Площадь поверхности пирамиды 14375+2*5250+2*4993=14375+10500+9986=14375+20486=34861(м2)

Высказывания великих писателей, поэтов и художников о треугольниках.

а)Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю,
чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и
раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение. (В. Ф. Каган)

б)Две тысячи лет назад мудрец по имени Ксенофан писал, что если бы у быков, львов и лошадей были руки, которыми можно было делать изображения, они бы изображали Бога в своем обличии — придали бы ему тело, подобное их телам. Я полагаю, что если бы треугольники могли мыслить, они бы создали Бога в виде треугольника и со свойствами треугольника, а круги создали бы круглого.(Ирвин Ялом)

в)Есть только один способ решить проблему любовного треугольника – изменить число углов. Если не можешь удалить третий – добавь четвертый.

Конструкции из треугольников: (паркет, вышивка, лоскутное шитье, оригами).

Заключение.
Работая над исследовательской работой, я обобщила и углубила свои знания по данной теме. Перед написанием реферата я ставил перед собой задачи и, думаю, что мне удалось их разрешить. Я отработала решение элементарных задач на треугольники, а также более сложных и интересных для меня задачи. Я считаю , что эти навыки мне  очень пригодятся в старших классах. При написании исследовательской работы у меня возникали различные трудности, главная из которых оформление  работы. Печатание текста и особенно задач с чертежами очень кропотливая работа. Поэтому при написании работы  я развила не только свои математические способности, но и компьютерные знания в некоторых областях.

В практической части  мною  было решено много различных задач, которые показались  мне более  интересными и была составлена памятка.

В дальнейшем я  хотела бы продолжить работу над этой темой, что бы ещё более усовершенствовать навыки решения задач и знания теории.

Список использованных источников и литературы 

• 1.  Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. “Геометрия 7-9 класс”(Москва,“Просвящение”1995г

• 2. Абачиев С. К. Радужная фрактальность треугольника Паскаля
• 3.Пирамида (геометрия): Джесси Рассел — Санкт-Петербург, Книга по Требованию, 2012 г.- 134 с.

• 4.Свойства треугольников. Справочные материалы: — Санкт-Петербург, Айрис-Пресс, 2013 г.- 379 с.
• 5.Атанасян Л.С. и др. Геометрия: Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса. – М.: Просвещение, 1996
• 6. Энциклопедия для детей. Т 11. Математика / Глав. ред. М. Аксенова; метод. и отв. ред. В. Володин. – М.: Аванта+,2004. – 688с.