Алфавит высказываний

Нильс Абель

Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.

* * *

Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.

А. Августин

Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.

* * *

Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия преисполнено определённых чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспорядочные.  

Жак Адамар 

Цель математической строгости состоит в том, чтобы санкционировать и узаконить завоевания интуиции.

Александр Данилович Александров

Математика полезна тем, что она трудна.

* * *

Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса.

* * * 

Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка.

* * *

Окружающий нас мир – это мир геометрии.

* * *

В моральном плане математика учит нас строго относиться к тому, что утверждается как истина, что выдвигается как аргумент или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений, не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений.

* * *

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты  и жара сконцентрированной в них мысли.

* * *

Своеобразие геометрии, выделяющее её среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой.

* * *

Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит прежде всего в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения.

* * *

Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы.

* * *

Инженер, не владеющий математическими методами, - это не инженер, а монтёр… Инженер в полном смысле этого слова немыслим без знания математики. Ничего нельзя сделать без математики: мост построить нельзя, плотину – нельзя, гидростанцию – нельзя. Сокращать объём преподавания математики – преступление! Надо изучать её как можно в большем объёме, а главное – как можно основательнее.  

Павел Сергеевич Александров

...Всякой аксиоматической обработке математического материала должно предшествовать конкретное, я бы сказал, наивное овладение им. 

Леон Баттиста Альберти

Мне любо изречение древнего и славнейшего живописца Памфила, у которого молодые люди благородного звания начали обучаться живописи. Он считал, что ни один живописец не может хорошо писать, не зная хорошо геометрии. Наши наметки, в которых изложено всё искусство живописи во всём безусловном совершенстве, будут легко поняты всяким геометром, но невежда в геометрии не поймёт ни этих, ни каких-либо иных правил живописи. Поэтому я и утверждаю, что живописцу необходимо обучаться геометрии. 

Аристотель

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

* * *

Мы с наслаждением познаём математику… Она восхищает нас, как цветок лотоса.

* * *

И учение о природе, и математику следует считать лишь частями мудрости.

* * *

Пифагорейцы были первыми, кто, занявшись математическими науками, продвинул их вперёд; воспитавшись на них, пифагорейцы стали считать их началами всех вещей. 

* * *

…В математике …ни в одном доказательстве не ссылаются здесь на то, что так лучше или хуже, да и вообще ничего подобного никому здесь даже на ум не приходит. Вот почему некоторые софисты, например Аристипп, относились к математике пренебрежительно: в остальных искусствах, мол, даже в ремесленнических, например в плотничьем и сапожном, всегда ссылаются на то, что так лучше или хуже, математическое же искусство совершенно не принимает во внимание хорошее и дурное. 

* * *

Хотя математик на свой лад и пользуется общими положениями, но начала математики должна исследовать первая философия.

* * *

Вкусив от сладкого плода математики, мы уподобляемся лотофагам, ибо воспользовавшись ею хоть раз, мы не хотим от неё оторваться и она овладевает нами, как цветок лотоса.

Архимед

Вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: Нет сомнений, что природа во всём остаётся себе подобной. Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным. Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания.

 

Стефан Банах

Математик – это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями. Лучший математик – кто устанавливает аналогии доказательств. Более сильный может заметить аналогии теорий. Но есть и такие, кто между аналогиями видит аналогии.

М.Башмаков

Главная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть. 

Эрик Темпл Белл

«Очевидный» – самое опасное слово в математике.

* * *

 Математика – королева и служанка наук.

* * *

Как известно большинству математиков по собственному опыту, многое из того, что одно поколение математиков считает надёжным и удовлетворительным, имеет шанс обратиться в тончайшую паутину под пристальным взором следующего поколения.

* * *

Принятое в XX веке определение математики как науки о бесконечном следовало бы заменить другим, более правильно отражающим ее сущность как науки о соотношениях конечного и бесконечного. 

Джордж Беркли 

Разве математики... не имеют своих тайн и, более того, своих неприятностей и противоречий?

* * *

Давно замечено, что геометрия – это чудесная логика. А таки действительно: когда определения ясны, когда постулаты неоспоримы, когда свойства фигур вытекают из четкого наблюдения с помощью четкой цепочки последовательных рассуждений, а объекты все время находятся в поле зрения, – то таким путем формируется привычка думать точно, последовательно и методично; эта привычка усиливает и оттачивает ум и становится нужной во время поисков истины в других областях.

Липман Берс

Строгость в математике означает, прежде всего, добросовестность и ясность.

Джордж Дэвид Биркгоф

Я надеюсь, что в будущем всё больше физиков-теоретиков будут обретать глубокие познания математических принципов, а математики не станут ограничиваться чисто эстетическим развитием математических абстракций.

* * *

По-видимому, новые математические открытия, совершаемые по подсказке физики, всегда будут наиболее важными, ибо природа проложила путь и установила каноны, которым должна следовать математика, являющаяся языком природы. 

Нильс Бор

Математика – это больше чем наука, это язык науки.

Э. Борель

В задачах по элементарной геометрии приходится пользоваться очень остроумными, подчас тонкими приёмами, и тот, кто в своей молодости вкусил их прелесть, никогда их не забудет.

Перси Уильямс Бриджмен

Это общеизвестная истина, очевидная с первого взгляда, что математика – изобретение человека.

Роберт Брингхерст

Математика существует не для того, чтобы навязывать кому-либо тяжелую работу. Наоборот, она существует только для удовольствия. Для удовольствия тех, кто любит анализировать то, что он делает, или может сделать, или то, что уже сделал в надежде сделать это еще лучше.

И.А. Бродский

... Мысль о пространстве рождает "ах",
Оперу, взгляд в лорнет.
В числах есть нечто, чего нет в словах,
Даже крикнув их, нет...

Дж. Буль

Оценка математической теории определяется не только её правильностью. Она зависит также от важности предмета и области применений. За пределами этого должно быть ещё место свободным суждениям человека. 

Никола Бурбаки

Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство".

* * *

С древнейших времён критические пересмотры оснований всей математики в целом или любого из её разделов почти неизменно сменялись периодами неуверенности, когда возникали противоречия, которые приходилось решать… Но вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять свои ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение науки; это даёт им право смотреть в будущее спокойно.

* * *

Как показывает анализ исторического развития математики, было бы неверно утверждать, что математика свободна от противоречий; непротиворечивость предстает как цель, к которой следует стремиться, как некое данное богом качество, ниспосланное нам раз и навсегда. С древнейших времен все критические пересмотры принципов математики в целом или любой из ее областей почти неизменно сменялись периодами неопределенности, когда появлялись противоречия и их приходилось решать... Вот уже двадцать пять веков математики имеют обыкновение исправлять се ошибки и видеть в этом обогащение, а не обеднение своей науки; это дает им право смотреть в будущее спокойно.  

Эмиль Антуан Бурдель

Искусство – завуалированная алгебра, отнимающая жизнь у тех, кто стремится приподнять её покрывало.

Роджер Бэкон

Человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства.

* * *

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.

* * *

Математика – первая из всех наук и полезна, и необходима для них.

* * *

Математика — это дверь и ключ к наукам.

* * *

Практика рождается из тесного соединения физики и математики.

* * *

Врата и ключ этих наук – математика, которую, как я докажу, открыли безупречные мужи от начала мира и которую предпочитали прочим наукам все безупречные и мудрые. А пренебрежение ею уже на протяжении 300 или 400 лет разрушило всякое знание у латинян. Ибо, не зная её, нельзя знать, как я покажу далее, ни прочих наук, ни мирских дел. И что ещё хуже, люди, в ней не сведущие, не ощущают собственного невежества, а потому не ищут от него лекарства. И напротив того, знакомство с этой наукой подготовляет душу и возвышает её ко всякому прочному знанию, так что, если кто познал источники мудрости, касающиеся математики, и правильно применил их к познанию прочих наук и дел, тот сможет без ошибок и без сомнений, легко и по мере сил постичь и все последующие науки.  

Фрэнсис Бэкон

В природе существует много такого, что не может быть ни достаточно глубоко понято, ни достаточно убедительно доказано, ни достаточно умело и надёжно использовано на практике без помощи и вмешательства математики.

 

 

С. Вавилов

Математические дарования, подобно музыкальным, нередко врожденны, проявляются рано и органически определяют склад ума данного человека.

Хорхе Вагенсберг

Математика помогает понять реальность и может ею вдохновляться, но для подтверждения или опровержения любого ее предложения реальность ей не нужна.

* * *

Физика кажется математикой в цвете, но математика больше, чем черно-белая физика.

* * *

Реальность говорит последнее слово, чтобы проверить или опровергнуть научную теорию, но что или кто заботится о таких вещах в математике?

* * *

Комплексные числа помогают из-за обратной стороны зеркала справиться с недостатками вещественных чисел.

* * *

Красота математики, как и красота любой вещи, – это внутреннее свойство, она происходит из гармонии между различными частями одного целого.

М. Ваннах

А вот нужны ли математические знания для того, чтобы в максимальной степени использовать возможности, предоставляемые современным компьютером? Рискну предположить, что без них не обойтись. Почему? Да потому, что компьютер подобен двуликому Янусу. С одной стороны – "железо”... Описать наиболее важные части "железа”может лишь математика. Причём в довольно абстрактных, "непрактичных” на уровне лабаза разделах. С другой стороны – "софт. Под тончайшим слоем дружественных интерфейсов и геологическими пластами кода лежит прочнейший скелет булевой алгебры. Дисциплины, возникшей не из практических нужд, но из попыток математиков XIX века привнести некоторую упорядоченность в свою науку.

* * * 

…Интуиционизм рассматривает математическое мышление как процесс мысленного построения, создающий свой собственный мир, не зависящий от наших ощущений и основывающийся на фундаментальной математической интуиции.

* * * 

Философы веками спорили – возможно ли невербальное мышление. ...Математика – полностью автономный, находящий основание в себе самом вид деятельности, не зависящий от языка. Идеи математики уходят в разум куда глубже, чем язык. Они не зависят от словесного восприятия и куда богаче его. Естественный язык способен... создать лишь копию идей, соотносимую с ней самой, как фотография с пейзажем.

Ж. Ван Гут

В математике, кроме возможных приложений ее в науке, есть собственный свет и мудрость; и человеческий ум, улавливающий, что математика означает для самой себя, многим вознаграждается. Это не старая доктрина искусства для искусства. Это искусство ради человечества.

Ван дер Варден

Стремление уйти от мира, замкнутая монашеская жизнь, вегетарианство и общность имущества встречались у многих сект. Но что отличало пифагорейцев от всех других – это способ, при помощи которого они считали возможным достигнуть очищения души и соединения с божеством; это делалось именно при помощи математики. Математика была одной из составных частей их религии.

К. Вейерштрасс 

Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.

* * *

...Между математикой и естественными науками должны быть установлены более глубокие взаимоотношения, чем те, которые имели бы место, если бы, например, физика видела в математике лишь вспомогательную дисциплину, пусть даже необходимую, а математика рассматривала вопросы, выдвигаемые физиками, только как обильное собрание примеров для своих методов.

* * *

На вопрос: «Можно ли действительно получить что-либо непосредственно применимое из тех абстрактных теорий, которыми предпочтительно занимаются теперешние математики?»  – я могу ответить, что греческие математики изучили свойства конических сечений чисто умозрительным путём задолго до того, как кто-либо мог предугадать, что эти кривые представляют собой пути, по которым движутся планеты, и я верю, что будет найдено ещё много функций с такими свойствами, как, например, знаменитые тета-функции Якоби, с помощью которых можно, с одной стороны, узнать, на сколько квадратов разлагается любое заданное число, которые позволяют спрямить дугу эллипса, и, с другой стороны, дают возможность найти истинный закон колебаний маятника.  

Андре Вейль

Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идёт по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики.

Герман Вейль 

Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство.

* * *

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. Именно этим объясняется, почему природные явления удаётся предсказывать с помощью комбинации наблюдений и математического анализа.

* * *

…Классическая математика, питаемая верой в абсолют, превосходящий все человеческие возможности реализации, выходит за рамки утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на опыте.

* * *

Для нас, чьи плечи ноют под тяжестью наследия греческой мысли, кто идёт по стопам героев эпохи Возрождения, цивилизация немыслима без математики.

* * *

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики.

* * *

Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.

* * *

Красота тесно связана с симметрией.

* * *

Чистая математика обладает нечеловеческим свойством звёздного света – сверкающего, яркого, но холодного.

* * *

Построения математического ума являются одновременно и свободными, и необходимыми. Отдельный математик свободен определять свои понятия и устанавливать свои аксиомы как ему угодно. Но вопрос: заинтересует ли он своих коллег-математиков продуктами своего воображения? Мы не можем не чувствовать, что некоторые математические структуры, развившиеся благодаря усилиям многих учёных, несут печать необходимости, которая не затрагивается случайностями их исторического появления. Каждый, кто созерцает зрелище современной алгебры, будет поражён этой взаимодополнительностью свободы и необходимости.

* * *

Вопрос об основаниях математики и о том, что представляет собой в конечном счёте математика, остаётся открытым. Мы не знаем какого-то направления, которое позволит, в конце концов, найти окончательный ответ на этот вопрос, и можно ли вообще ожидать, что подобный «окончательный» ответ будет когда-нибудь получен и признан всеми математиками. «Математизирование» может остаться одним из проявлений творческой деятельности человека, подобно музицированию или литературному творчеству, ярким и самобытным, но прогнозирование его исторических судеб не поддаётся рационализации и не может быть объективным.

* * *

Логика – это своего рода гигиена, позволяющая математику сохранять свои идеи здоровыми и сильными.

* * *

В  системе  математики имеются два обнаженных пункта, в которых она, может быть, соприкасается со  сферой  непостижимого.  Это  именно  принцип  построения  ряда  натуральных чисел и понятие континуума.

* * *

Математика – это вид умственной деятель­ности, а не свод точных знаний.

* * *

В природе существует внутренне присущая ей скрытая гармония, отражающаяся в наших умах в виде простых математических законов. 

Е.С. Вентцель

Ответственные решения должны приниматься не интуитивно, а на основе предварительных прикидок, математических расчётов. И не случайно именно в наше время отмечается бурный рост математических методов во всех областях практики. Вместо того чтобы "пробовать и ошибаться” на реальных объектах, люди предпочитают делать это на математических моделях. Построение таких моделей, их анализ и вывод рекомендаций – одна из важнейших задач прикладной математики.

* * * 

То и дело раздаются голоса, утверждающие, будто главная задача обучения математике в школе и вузе – это научить людей логически мыслить. Отсюда чрезмерная формализация математических дисциплин, изложение их в отрыве от задач практики. Слов нет, привычка к логическому мышлению – хорошее дело, но у математики есть и другие задачи: активного вмешательства в практику, разумной организации производственных и иных процессов. Жизнь непрерывно требует от математика ответа на вопрос, как поступить в том или другом случае, при тех или других сложившихся обстоятельствах. И дело его чести – не уходить от этих требований в пучину абстракций, а по мере сил удовлетворять их.

* * * 

Математика не только проникает в ранее чуждые для неё области, «завоёвывает» их – она при этом и сама трансформируется, становится менее формальной, менее ригористичной, меняет свои методологические черты, приближаясь к наукам гуманитарным.

Юджин Пол Вигнер  

Математика – это наука о хитроумных операциях, производимых по специально разработанным правилам над специально придуманными понятиями. Ясно, что особенно важная роль при этом отводится придумыванию новых понятий. Запас интересных теорем в математике быстро исчерпался бы, если бы их приходилось формулировать лишь при помощи понятий, содержащихся в аксиомах.

* * *

Чудесная загадка соответствия математического языка законам физики является удивительным даром, который мы не в состоянии понять и которого мы, возможно, недостойны. Мы должны испытывать чувство благодарности за этот дар. Следует надеяться, что он не покинет нас в будущих исследованиях и что он будет – хорошо это или плохо – развиваться к нашему большому удовлетворению, а быть может, и к нарастающему беспокойству, расширяя область познания окружающего нас мира. 

* * *

Математик не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, но и существенно обобщает первоначальную постановку проблемы.

* * *

Математический язык удивительно хорошо приспособлен для формулировки физических законов. Это чудесный дар, который мы не понимаем и которого не заслуживаем. Нам остается лишь благодарить за него судьбу и надеяться, что и в будущих своих исследованиях мы сможем по-прежнему пользоваться им. Мы думаем, что сфера его применимости (хорошо это или плохо) будет непрерывно возрастать, принося нам не только радость, но и новые головоломные проблемы. 

Наум Яковлевич Виленкин 

Решение трудной математической проблемы можно сравнить с взятием крепости.

* * *

Одни из них (например, виднейший французский математик А. Вейль) убеждены, что математик утоляет свою жажду непосредственно в источнике знаний, который всегда чист и обилен, а представители других наук вынуждены довольствоваться мутным потоком действительности, что целью математики является прославление человеческого духа. 

Вильсон

Эквилибристикой математики можно внушить доверие даже к самой ложной теории. 

Норберт Винер 

Математика – один из видов искусства.

* * *

Едва ли кто-нибудь из нематематиков в состоянии освоиться с мыслью, что цифры могут представлять собой культурную или эстетическую ценность или иметь какое-нибудь отношение к таким понятиям, как красота, сила, вдохновение. Я решительно протестую против этого косного представления о математике.

* * *

Математика – наука молодых. Иначе и не может быть. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости.

* * *

Высшее назначение математики – находить порядок в хаосе, который нас окружает.

* * *

Большинство так называемых культурных людей, не связанных с математикой по роду своих занятий, считает совершенно допустимым не иметь об этой науке ни малейшего представления. Математика для них – нечто в высшей степени скучное, сухое и отвлечённое…  В наиболее печальных случаях считается, что это почти то же самое, что занятие бухгалтерией.

* * *

Одна из главных обязанностей математика, выступающего в роли советника, заключается в предостережении от слишком больших ожиданий.

Леонардо да Винчи

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

* * *

Тот, кто хулит высшую достоверность математических наук, питается сумбуром и никогда не заставит умолкнуть возражения софистических наук – наук, которые учат лишь вечному крику. 

* * *

Все проблемы Перспективы можно прояснить при помощи пяти терминов математики: точка, линия, угол, поверхность и тело. 

* * *

Пусть никто, не будучи математиком, не дерзает читать мои труды. 

* * *

Из всех заслуживающих изучения первопричин и действующих начал природы восторг зрителя вызывает главным образом Свет, а из достопримечательностей Математики разум исследователя в несравненно большей степени, чем всё остальное, возвышает непреложность её доказательств.

А.В. Волошинов

Математика остаётся олицетворением науки, символом мудрости, царицей всех наук. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства.

* * *

Математика во все времена была и остаётся "первой красавицей" среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике.

* * *

Математика несёт красоту в любую науку.

* * *

Именно математика в процессе своего развития лишилась материального предмета изучения, и это сделало её всемогущественной наукой. Сегодня любой человек, даже совершенно далёкий от математики, знает, что математика представляет собой могучую силу, сфера влияния которой практически не ограничена.

* * *

Математика является символом мудрости науки, образцом научной строгости и простоты, эталоном совершенства и красоты в науке.

* * *

Осмысленное и систематическое приложение к искусству математика нашла, конечно , в музыке, в трудах древнегреческого математика Пифагора, его многочисленных учеников и последователей.

Вольтер

В голове Архимеда было больше воображения, чем в голове Гомера.

* * * 

Математическая истина остается на вечные времена, а метафизические призраки проходят, как бред больных. 

С. Врублевский

Если тебе трудно сразу понять всю бесконечность, постарайся понять ее хотя бы наполовину. 

 

Г. Галилей 

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

* * *

Великая книга природы написана математическими символами.

* * *

В конце концов, окружность бесконечно большого круга и прямая линия - одно и то же.

* * *

Философия природы написана в величайшей книге, которая всегда открыта перед нашими глазами, – я разумею Вселенную, но понять её сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке математики, и письмена её – треугольники, окружности и другие геометрические фигуры, без коих нельзя понять по-человечески её слова: без них – тщетно кружение в тёмном лабиринте.

* * *

Бог вложил в мир строгую математическую необходимость, которую люди постигают лишь с большим трудом, хотя их разум создан по образу и подобию божественного разума… Исследование природы – занятие столь же благочестивое, как и изучение Библии. В деяниях Природы господь бог является нам не менее достойным восхищения образом, чем в божественных стихах Писания.  

Эварист Галуа

Эта наука (математика) – творение человеческого разума, предназначенное не столько для знания, сколько для познания, для поиска, а не для отыскания истины.

Фрэнсис Гальтон

Где это возможно, считайте.

Пьер Гассенди 

Если мы действительно что-то знаем, то мы знаем это благодаря изучению математики. 

Карл Фридрих Гаусс 

Математика — царица наук, арифметика — царица математики. Она часто снисходит до оказания услуг астрономии и другим естественным наукам, но при всех обстоятельствах первое место, несомненно, остаётся за ней.

* * *

Допущение, что сумма углов треугольника меньше 180°, приводит к своеобразной, отличной от нашей геометрии; эта геометрия совершенно последовательна… Положения этой геометрии кажутся парадоксальными и непривычными человеку, даже несуразными; но при строгом и спокойном размышлении оказывается, что они не содержат ничего невозможного.

* * *

Я всё более убеждаюсь, что необходимость нашей геометрии не может быть доказана, по крайней мере человеческим разумом и для человеческого разума. Может быть, на том свете мы сумеем постичь структуру пространства, пока непостижимую. А до тех пор геометрию надлежит помещать в один класс не с арифметикой, а с механикой, истины которой требуют экспериментальной проверки.

* * *

В математике нет настоящих противоречий. 

* * *

Математика — наука для глаз, а не для ушей. 

Томас Генри Гексли

Математика, подобно жернову, перемалывает то, что под неё засыпают, и, как засыпав лебеду, вы не получите пшеничной муки, так, исписав целые страницы формулами, вы не получите истины из ложных посылок.

Израиль Моисеевич Гельфанд

По моей внутренней философии – ранее бессознательной, а теперь четкой – я считаю, что математика, помимо своего прикладного – в физике, инженерии, компьютерах и так далее, – имеет значение и в области чистого интеллекта. Это хорошо понимали греческие философы, но это понимание было утрачено в последнем, технократическом столетии. Для человеческого интеллекта правильное отношение к математике играет такую же роль, как восприятие музыки, поэзии и других недоходных или малодоходных областей человеческой деятельности. Поэтому я всегда старался, чтобы красота математики доходила и до тех людей, которые никогда в жизни больше заниматься ею не будут. Организованную мною... в России заочную математическую школу окончили более 70 тысяч человек, большинство из них не стало профессиональными математиками, но убедилось в ее неизмеримой красоте!

Иоганн Фридрих Гербарт

Мнение, что способность к математике встречается реже, чем способность к другим наукам, – это только иллюзия, которую породили те, кто берется за математику непоследовательно и небрежно.

А.И. Герцен 

Астрономия, как наука, стала существовать с тех пор, как она соединилась с математикой.

Г. Гессе 

Всякая хорошо решённая математическая задача доставляет умственное наслаждение, а сосредоточенные размышления успокаивают сердце, делая его созвучным Вселенной.

И. Гёте

Часто говорят, что цифры управляют миром; по крайней мере нет сомнения в том, что цифры показывают, как он управляется.

* * *

Математики похожи на французов: чтобы вы ни сказали, они все переведут на свой собственный язык. Получится нечто противоположное.

* * *

Намного легче обнаружить ошибку, чем открыть истину.

* * *

Я слышал, что меня обвиняют в том, что я являюсь противником, врагом математики, которую никто не может оценить выше, чем я, ибо она завершает именно то, достижение чего отрицает меня.

* * *

История науки – это сама наука.  

Д. Гиббс 

 Математика – тоже язык.

Давид Гильберт

Бесконечность! Ничто не двигало так глубоко человеческий разум.

* * *

Математика есть единая симфония бесконечного.

* * *

Об одном из своих учеников: Он стал поэтом — для математика у него не хватало фантазии.

* * *

Математика является учением об отношениях между формулами, лишенными какого бы то ни было содержания. 

* * *

Математика – всего лишь игра в которую играют согласно простым правилам и пользуются при этом ничего не значащими обозначениями.

* * *

В огромном саду геометрии каждый может подобрать себе букет по вкусу.

* * *

Мы все убеждены в том, что любая математическая задача поддаётся решению. Это убеждение… является для нас большим подспорьем в работе, когда мы приступаем к решению математической проблемы, ибо мы слышим внутри себя постоянный призыв: вот проблема, ищи решение. Ты можешь найти его с помощью чистого мышления, ибо в математике не существуетignorabimus (мы не будем знать).

* * *

На мой взгляд, истинная причина, в силу которой… не удалось найти неразрешимую математическую проблему, заключается в том, что неразрешимых проблем не существует.

* * *

Где же ещё искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечки?

* * *

... Любые рамки, в особенности национального характера, противоречат духу математики. Только абсолютно не понимая нашей науки, можно создавать различия между людьми и расами, а причины, по которым это делалось, являются крайне ничтожными. Математика не знает рас... Для математики весь культурный мир представляет собой единую страну. 

С. Гиртман, Ч. Рыл-Гардзевский 

Современная математика – это язык будущего.

Томас Гобсс

Если бы геометрические аксиомы задевали интересы людей, они бы опровергались.

* * *

Геометрия чем-то напоминает вино. 

Д.А. Граве

Ключ к решению многих научных задач в их удачном изложении языком математики.

Г.И. Гурджиев

Жизнь основана на математике, все величие искусства и музыки имеет в своей основе математику.

 

 Жан Лерон Д'Аламбер  

Алгебра щедра, она часто дает больше, чем у нее просят.

* * *

Достоверность математики является тем её преимуществом, которым она обязана главным образом простоте своего предмета. Более того, нужно признать, что поскольку не все отделы математики имеют одинаковый по простоте предмет, постольку и достоверность в собственном смысле слова, — достоверность, основывающаяся на принципах, являющихся необходимо истинными и очевидными сами по себе, — присуща различным её отделам не в одинаковой степени и неодинаковым образом. Многие отделы математики, опирающиеся или на физические принципы, т.е. на опытные истины, или же на простые гипотезы, обладают, так сказать, лишь достоверностью опыта или даже достоверностью чистого допущения. Строго говоря, обладающими полной очевидностью можно считать только те отделы математики, которые имеют дело с исчислением величин и с общими свойствами пространства: таковы алгебра, геометрия и механика. Даже и здесь, в степени ясности, которую наш ум находит в этих науках, можно заметить своего рода градацию и, если можно так выразиться, те или иные оттенки. Чем шире тот предмет, который ими охватывается и чем более обща и абстрактна та форма, в которой она в них рассматривается, тем больше их принципы избавлены от неясностей и тем более они доступны для понимания. Именно по этой причине геометрия проще механики, а они обе менее просты, чем алгебра.

Джордж Говард Дарвин  

Всякое новое в открытии является математическим по форме, ибо нет никакой другой возможной для нас путеводной нити.

Чарльз Дарвин

У людей, усвоивших великие принципы математики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

Рене Декарт 

Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять.

* * *

Математика представляет искуснейшие изобретения, способные  удовлетворить любознательность, облегчить ремёсла и уменьшить труд людей.

* * *

Я считал наиболее достоверными те истины, которые ясно воспринимал как относящиеся к фигурам, числам и другим материям, принадлежащим арифметике, геометрии и вообще чистой и абстрактной математике… Только математикам дано достичь несомненности и ясности, ибо они исходят из того, что наиболее легко и просто.

* * *

К области математики относятся только те науки, в которых рассматривается либо порядок, либо мера, и совершенно не существенно, будут ли это числа, фигуры, звёзды, звуки или что-нибудь другое, в чём отыскивается эта мера…

* * *

Бесконечность распознаваема, но не познаваема. 

 * * *

Природа воплощает в себе то, на чём теоретически основана математика.

* * *

Я решил отказаться от чисто абстрактной геометрии, т.е. от рассмотрения вопросов, служащих лишь для упражнения ума, чтобы заняться изучением геометрии иного рода, предмет которой составляет объяснение явлений природы.

Уильям Джеймс

Все грандиозные достижения математики и естественных наук… проистекают из нашего неутомимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта.

Джеймс Джинс

Самый важный факт состоит в том, что все картины природы, рисуемые наукой, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, – картины математические… За пределы математических формул мы выходим на свой страх и риск.

* * *

Судя по некоторым специфическим особенностям своего творения, великий создатель Вселенной начинает представать перед нами как чистый математик. 

К. Дзевановский   

Когда разговариваешь с математиком, можно не иметь представления о математике. Но при этом совершенно необходимо чувство юмора и сознание своего ничтожества... 

Роберт Диггз 

Математика была для меня в детстве тем же, чем была религия. Потому что и религия, и математика утверждают, что могут объяснить весь мир.  

Дени Дидро

Начинать исследование можно по-разному. Всё равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути. Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки.

Леонард Юджин Диксон

Слава богу, теория чисел не запятнана никакими приложениями.

П. А. М. Дирак 

Математика — это орудие, специально приспособленное для того, чтобы иметь дело с отвлечёнными понятиями любого вида, и в этой области нет предела её могуществу. По этой причине книга о современной физике, если она не сводится к простому описанию экспериментальной работы, должна быть по существу математической.

* * *

Оказывается, одна из основных особенностей природы заключается в том, что законы фундаментальной физики описываются очень изящными и мощными математическими теориями. Для понимания этих теорий нужно быть математиком высокого уровня. Вы можете удивляться: почему Природа устроена таким образом? Единственное, что можно ответить на современном уровне знаний – Природа таким образом сконструирована. Остаётся только принять это. Другими словами, Бог – математик очень высокого уровня и Он использовал самую совершенную математику при создании Вселенной. Наши слабенькие математические усилия позволяют нам понять устройство лишь маленького кусочка Вселенной, и по мере дальнейшего развития математики мы надеемся понять устройство Вселенной лучше.

* * *

…Нужно в первую очередь руководствоваться соображениями математической красоты, не придавая особого значения расхождениям с опытом. Расхождения вполне могут быть вызваны какими-то вторичными эффектами, которые прояснятся позже.

Артур Конан Дойл

…Человека, умеющего наблюдать и анализировать, обмануть просто невозможно. Его выводы будут безошибочны, как теоремы Евклида.

Ф. Дж. Дэйвис

Числа – это обязательное орудие современной цивилизации, которое используется для упорядочения сферы её деятельности.

* * *

Математика является меньше знанием, чем умением.

 

Евклид

Если теорему так и не смогли доказать, она становится аксиомой.

* * *

В ответ египетскому царю Птолемею I, просившему указать ему более легкий путь изучения геометрии:
— Нет царского пути в геометрии.

* * *

Точка есть то, что не имеет частей.

Линия же – длина без ширины.

Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

* * *

Единица есть то, через что каждое из существующих считается единым. 

В.П. Ермаков 

 В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления. 

 

Альбер Жирар

Можно было бы спросить, для чего нужны эти невозможные решения (комплексные корни). Я отвечу – по трём причинам: для незыблемости общих правил; чтобы не было других решений и по причине их полезности.

Н.Е. Жуковский

 В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. 

Александр Жуков

…Отношения математики и живописи особенно близки, ибо эти виды деятельности зачастую используют один и тот же объект исследования. Более того, так же как математика может быть использована для анализа живописи, последняя в свою очередь (рисование, черчение, в частности) очевидно полезна в математических исследованиях, причем далеко не только в геометрии. Математику и живопись в этой связи можно рассматривать просто как два различных, взаимодополняющих способа визуализации конкретной или абстрактной реальности, в которой мы существуем. 

 

Е. Замятин 

… И математика, и смерть – никогда не ошибаются.

Мирон Зарицкий

Кого не привлекает ни красота, ни искусство, кто живет убогой духовной жизнью – тот ничего не даст и математике. Поэзия не отличается от математики высшим полетом воображения, а математик отличается от поэта только тем, что все и везде понимает... Но как и в искусстве, так и в математике только произведения, отличающиеся красотой, переживают столетия и воспитывают поколения.

 

И.А. Ибрагимов 

Математический талант – сложная вещь. Разумеется, математические способности его необходимый ингредиент. Но этого мало. Математические способности встречаются чаще, чем обычно полагают. Однако, математика, как и наука вообще, трудна и чтобы добиться в ней чего-либо стоящего, нужно жить ею, нужна страстность.

  

В. Каверин 

Математика – самый короткий путь к самостоятельному мышлению.

В.Ф. Каган

… Было бы легче остановить Солнце, легче было сдвинуть Землю, чем уменьшить сумму углов в треугольнике, свести параллели к схождению и раздвинуть перпендикуляры к прямой на расхождение.

М.И. Калинин

Если вы хотите участвовать в большой жизни, то наполняйте свою голову математикой, пока есть к тому возможность. Она окажет вам потом огромную помощь во всей вашей работе. 

И. Кант

В каждой естественной науке заключено столько истины, сколько в ней есть математики.

* * *

Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика.

* * *

Математика – это наука, брошенная человечеством на исследование мира в его возможных вариантах.

П.Л. Капица

 Не пора ли всех математиков числить по разделу "спорт", как шахматистов?  

Пётр Фёдорович Каптерев 

Математика нужна для изучения многих наук, но сама она не нуждается ни в какой науке. 

Т. Карлейль 

С помощью цифр доказать можно все что угодно.

Китя Карлсон 

Известна теория, много раз доказанная практикой, что сколь бы большое число людей уже не находилось в вагоне, всегда может войти еще один человек. Сначала одной ногой, потом двумя ногами, с курткой, зажатой между дверями, но войдет. То есть метод математической индукции неумолимо доказывает: в вагон может зайти бесконечное количество людей. 

Д. Карнеги 

Используйте закон больших чисел для изгнания беспокойства из вашей жизни. Спрашивайте себя: какова вероятность того, что это событие вообще произойдёт.

* * * 

Прежде чем выступать, Линкольн с математической точностью обдумывал свои выводы. Когда ему было сорок лет, и он был уже членом конгресса, он изучал Евклида, чтобы иметь возможность выявлять софизмы и доказывать свои выводы. 

Л. Карно 

Первое условие, которое надлежит выполнять в математике, – это быть точным, второе – быть ясным и, насколько можно, простым.

* * *

Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические формы и иероглифы нелепых количеств. 

Иоганн Кеплер 

Математика есть прообраз красоты мира.

* * *

Главной целью всех исследований внешнего мира должно быть открытие рационального порядка и гармонии, которые бог ниспослал миру и открыл нам на языке математики.

* * *

Тяжкий жребий – писать в наши дни математические книги... Если не соблюдать надлежащей строгости в формулировках теорем, пояснениях, доказательствах и следствиях, то книгу нельзя считать математической. Если неукоснительно соблюдать все требования строгости, то чтение книги становится весьма затруднительным.

* * * 

Геометрия имеет два сокровища: одно из них – Пифагорова теорема, а второе – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях... Первое из них можно сравнить с мерой золота, а второе похоже на драгоценный камень. 

Моррис Клайн 

Доказательство называется строгим, если таковым его считает большинство математиков.

* * *

Музыка может возвышать или умиротворять душу, живопись — радовать глаз, поэзия — пробуждать чувства, философия — удовлетворять потребности разума, инженерное дело — совершенствовать материальную сторону жизни людей. Но математика способна достичь всех этих целей.

* * *

В глазах непосвященного математические символы словно вражеские штандарты, развивающиеся над, казалось бы, неприступной цитаделью.

* * *

За страсть к специализации математика платит бесплодием.

* * *

Математика должна прочно стоять на земле и уходить головой в облака. Подлинную, живую, содержательную математику рождает сочетание абстракции и конкретных проблем. Математики могут воспарять в облака абстрактного мышления, но, подобно птицам, за пищей должны возвращаться на землю. Чистую математику можно сравнить с тортом, подаваемым на десерт. Он приятен на вкус и даже способен в какой-то мере насытить нас, но организм не может существовать только на тортах – без «мяса и картошки» реальных проблем, составляющих основу его питания.

* * *

Хотя математика – творение чисто человеческое, тот путь, который она открывает нам к различным явлениям природы, при­водит к результатам, превосходящим самые смелые ожидания. Как ни парадоксально, но именно абстракции, столь далекие от реальности, позволяют достичь столь многого. Возможно, что искусственное математическое описание не более чем сказка для взрослых, но сказка с моралью: человеческий разум обладает огромной силой, даже если эту силу не так-то легко объяснить.

За успехи математики заплачено определенной ценой, и эта цена – количественный подход к миру: мы рассматриваем его о точки зрения меры, веса, продолжительности и тому подобных понятий. Такое описание может давать о богатом и разнообразном опыте не более полное представление, чем рост человека о чело­веке. В лучшем случае математика описывает некоторые явления природы, но математические символы передают далеко не все.

* * *

Математика по-прежнему остаётся эталоном самого надёжного и точного знания, которого мы только в состоянии достичь.

* * *

Альфред Норт Уайтхед некогда сказал: «Нельзя не признать, что занятия математикой – ниспосланное богами безумие человеческого духа». Безумие? Вполне возможно – но, несомненно, ниспосланное богами.

* * *

Математика не только уточнила и расширила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспринимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите.

Феликс Клейн

Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях.

* * *

Математика в наши дни напоминает крупное оружейное производство в мирное время. Витрина заполнена образцами, которые своим остроумием, искусным и пленяющим глаз выполнением восхищают знатока. Собственно происхождение и назначение этих вещей, их способность стрелять и поражать врага отходят в сознании людей на задний план и даже совершенно забываются.

* * *

Математика является вполне живой наукой, которая беспрестанно включает в себя всё новые проблемы, обрабатывает их, отбрасывает устаревшие, и, таким образом, она всё вновь и вновь омолаживается.

Алекси Клод Клеро

Чтобы успешно парировать придирки, геометрия должна, подобно логике, опираться на формальные рассуждения.

Дональд Эрвин Кнут 

Математические формулы не могут "принадлежать" кому-либо! Математика принадлежит Богу. 

С.В. Ковалевская

Многие, которым никогда не представлялось случая более глубоко узнать математику, смешивают её с арифметикой и считают наукой сухой. В сущности же это наука, требующая наиболее фантазии, и один из первых математиков нашего столетия говорит совершенно верно, что нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе. 

А. Н. Колмогоров 

Без знания математики нельзя понять основ современной техники, ни того, как ученые изучают природные и социальные явления.

* * *

Математическая интуиция часто руководствуется представлениями о красоте. Решение хорошо поставленной, естественной задачи обычно оказывается красивым. Конечно, не каждая красиво выглядящая гипотеза оправдывается. Но искать подлинное решение проблемы часто бывает разумным среди предположений, выделяющихся своей красотой.

* * *

В основе большинства математических открытий лежит какая-либо простая идея: наглядное геометрическое построение, новое элементарное неравенство и т.п. Нужно только надлежащим образом применить эту простую идею к решению задачи, которая с первого взгляда кажется недоступной.

* * *

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

* * *

В каждый данный момент существует лишь тонкий слой между "тривиальным" и недоступным. В этом слое и делаются математические открытия. Заказная прикладная задача поэтому в большинстве случаев или решается тривиально, или вообще не решается...

* * *

Вряд ли нужно доказывать, насколько желательно с общебразовательной точки зрения достигнуть того, чтобы все учащиеся могли вполне конкретно понять хотя бы ньютоновскую концепцию математического естествознания.

Ян Амос Коменский

... Для несведущих в математике сокрыты многие тайны вещей. 

А.П. Конфорович 

Математика уступает свои крепости лишь сильным и смелым.

Огюстен Луи Коши

Нет никакого сомнения в том, что единственный способ, который с успехом может применяться в естественных науках, состоит в наблюдении фактов и в подчинении наблюдений вычислениям. Но было бы большим заблуждением допустить, что достоверность заключается только в геометрических доказательствах и в указаниях наших чувств... Будем поэтому усердно разрабатывать математические науки, не стремясь распространить их значения за естественные пределы, не будем увлекаться решением исторических вопросов посредством формул и искать нравственных оснований в теоремах алгебры или интегрального исчисления.

П.Д. Коэн 

Разумеется, хорошая математика всегда красива.  

Михаил Филиппович Кравчук

Не опускайте рук, займитесь математикой, и вы прозреете душою...

* * *

Помните, хотите научиться плавать, смелее входите в воду. Хотите научиться математике, беритесь за задачи. Каждое решение является своеобразным искусством поиска.

* * *

Часто мы слышим, что математика – наука сухая, абстрактная. Может для кого-то это и так. Но только не для инженера! Нет в мире машин, которые шли не от математики, нет полнокровной жизни создателя техники без этой науки... Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя применить математику. Этим-то она, математика, для вас должно стать душевной потребностью, если хотите, хлебом и песней.

* * *

Что такое математика вообще? Ответить на это нелегко. Тысячелетиями существует эта наука, люди изучают ее, развивают, а что такое математика, так до сих пор никто точно не определил. Как никто не сказал, что такое музыка. Разве можно понять, оценить ее, не почувствовав ее, не почувствовав ритма, гармонии, порядка? Разве можно оценить произведение художника, не испытывая формы, цвета, композиции? Так и в математике. Чтобы понять ее, добраться до сути, надо глубже проникнуть в отдельные элементы.

Дж. Кратч

Логика – это искусство ошибаться с уверенностью в своей правоте.

Леопольд Кронекер

Господь сотворил целые числа; остальное – дело рук человека.

А.Н. Крылов

Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.

* * *

Геометр создает методы решения не только тех вопросов, которые возникают в результате современных потребностей, но и для будущих, которые возникнут, возможно, завтра, возможно, – через тысячу лет.

Уиллард Ван Орман Куайн 

Неопровержимость – имя твое, математика.

Н. Кузанский

Математика лучше всего помогает нам в понимании разнообразных божественных истин.

* * *

Твой ум без числа ничего не достигнет.

Джереми Кун

Если вы собираетесь изучать математику, вы должны научиться чувствовать себя комфортно, когда чего-то не понимаете.

Рихард Курант

… Абстракция является действенным инструментом математического мышления.

* * *

Некоторые математики мыслят абстракциями; математические идеи нуждаются в прогрессирующем абстрактном рафинировании, аксиоматизации, кристаллизации... Однако основные трудности в математике исчезают, если учесть, что математические понятия являются описанием некоторой вещественной реальности.

* * *

Жизненные соки нашей науки поступают в неё из корней; эти корни уходят своими бесчисленными разветвлениями в то, что можно назвать реальностью, т.е. в механику, физику, биологические формы, экономическое поведение, геодезию ... Абстракция и обобщения не более жизненны для математики, чем индивидуальность феномена и, прежде всего, чем индуктивность интуиции. Только взаимодействие между этими силами и их синтез может сохранить математику живой и не дать ей превратиться в высохший скелет... Мы должны отвергнуть богохульную бессмыслицу, что последним оправданием математики является «слава человеческого разума».

Ф. Кымпан

Греки ценили ясность, порядок и точность. И в геометрии они, как правило, основывали свои построения на том же идеале красоты и гармонии, которого так строго придерживались в изобразительном искусстве. 

Льюис Кэрролл

Математика – это большая выдумка без обмана!

 

Лагранж 

Пока алгебра и геометрия развивались врозь, их прогресс был медленным, применение – ограниченным; когда же эти две науки были соединены, они стали помогать друг другу и быстро шагать к совершенству.

Л.Д. Ландау

Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки могут быть названы, соответственно, науками сверхъестественными, естественными и неестественными.

* * *

Произведение оптимизма на знание – величина постоянная.

* * *

Высшим достижением человеческого гения является то, что человек может понять вещи, которые он уже не может вообразить.

П.С. Лаплас

Мысль выражать числа десятью знаками… настолько простая, что… трудно понять, насколько она удивительна.

Анри Лебег  

По моему мнению, математику, постольку, поскольку он является математиком, не следует поглощать внимание философией; более того, это мнение выражали многие философы.

* * *

Измерение величин является отправным пунктом всех применений математики.

* * * 

Ни одно открытие не было сделано в математике с помощью усилий дедуктивной логики; они являются результатом творческого воображения, которое подсказывает, что кажется истинным, ведёт иногда путём аналогий, иногда благодаря эстетическому идеалу, но не основано на твёрдом логическом фундаменте. Лишь когда открытие сделано, вмешивается логика для проведения контроля; она окончательно удостоверяет, истинно или иллюзорно открытие; её роль, таким образом, лишь вспомогательная.

Г. Лейбниц 

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, – что, следуя этому методу, мы достигнем цели.

* * *

Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что сочетание бытия с небытием.

* * *

Комплексные числа — это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти что амфибия бытия с небытиём.

* * *

Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не подозревая.

* * *

Дух божий нашёл тончайшую отдушину в этом чуде анализа, уроде из мира идей, двойственной сущности, находящейся между бытием и небытием, которую мы называем мнимым корнем из отрицательной единицы.

* * *

Геометрам нередко удаётся несколькими словами выразить то, что требует громоздких рассуждений в анализе. 

А. Лемберг

С физикой – в путь,
 В суть – с математикой.

Эмиль Лемуан  

Математическая истина сама по себе не является ни простой, ни сложной, она существует.

В.И. Ленин

Математик, отмечают рационалисты, мог бы, как и раньше, умножать богатства своей науки, даже если материальный мир вдруг исчез. Да, бесспорно, если бы он исчез теперь; но мог бы он создать математику, если бы материальный мир никогда не существовал?

Джон Литлвуд  

Удачная математическая шутка лучше, чем дюжина заурядных работ; она является одновременно и лучшей математикой.  

Н.И. Лобачевский

Математика – это язык, на котором говорят все точные науки.

* * *

Только с алгеброй начинается строгое математическое учение.

* * *

Математике должно учить в школе еще с той целью, чтобы познания, здесь приобретаемые, были достаточными для обыкновенных потребностей в жизни.

* * * 

Нет ни одной области математики, как бы абстрактна она ни была, которая когда-нибудь не окажется применимой к явлениям действительного мира.

* * *

Кажется, трудность понятий увеличивается по мере их приближения к начальным истинам в природе: так же как она возрастает в другом направлении, к той границе, куда стремится ум за новыми познаниями.

* * *

Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – не должно верить.
Ничего не может быть простее того понятия, которое служит основанием Арифметике. Мы познаем легко, что все в природе подлежит измерению, все может быть сосчитано.

* * *

У каждого свой исходный постулат, на котором построена его геометрия жизни. Нужно только пристальнее приглядеться к человеку, определить этот исходный постулат и тогда всё станет ясно, все поступки окажутся логически обоснованными. Можно даже наперёд предсказать, как поступит тот или иной человек.   

М.В. Ломоносов 

Математику уже затем знать надо, что она ум в порядок приводит.

* * * 

Геометрия – правительница всех мысленных изысканий. 

* * *

Химия – правая рука физики, математика – ее глаз.

* * *

Слеп физик без математики. 

* * *

Все, что до этого было в науках: гидравлика, аэрометрия, оп­тика и других темно, сомнительно и недостоверно, математика сделала ясным, верным и очевидным.

* * *

Стремящийся к ближайшему изучению химии должен быть сведущ и в математике.  

А. Лосев

Когда я понял, что сумма углов треугольника равняется двум прямым углам, я почувствовал в этом нечто своё, личное, бесконечно родное, чего уже никто у меня не отнимет. И среди многочисленных волнений жизни и мысли я нашёл в этом приют. Геометрия, если я её изучил и понял, моя - родная и близкая, всегда ласковая и всегда приютная наука. 

Симон Люилье

Бесконечность – пучина, в которой тонут наши мысли.

 

Джеймс Клерк Максвелл  

Таким образом можно сказать, что число управляет всем миром количественного, а четыре правила арифметики можно рассматривать как полное снаряжение математика. 

Ю. И. Манин

Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает. 

* * *

Математика есть часть культуры в широком смысле слова, а не промышленности или чего-то в этом роде.

А. Маркушевич 

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели. 

Ю.А. Митропольский

Причины стремительной "математизации" современного мира, конечно, легче будет установить будущим историкам науки, чем нам, ее современникам. Однако уже теперь можно сказать, что главная из них состоит не только и не столько в конкретных успехах математики за последние годы, сколько в осознании беспредельных возможностей ее использования и в появлении "острого спроса" на это использование в прикладном диапазоне.

* * *

Модель – это основная форма, при помощи которой математика связана с внешним миром.

* * *

Математика – это язык плюс рассуждения, это как бы язык и логика вместе. Математика – орудие для размышления. В ней сконцентрированы результаты точного мышления многих людей.

* * *

Знание математики в наибольшей мере содействует развитию логического мышления (умению рассуждать, анализировать, абстрагировать, схематизировать, обобщать и так далее), оно содействует выработке рациональных качеств мысли и ее выражения (точность, ясность, сжатость), развитию наблюдательности и внимания, интуиции, способности сосредоточиваться, настойчивости, привычки к упорядоченности. Поэтому математика и присущий ей стиль мышления несомненно должны рассматриваться как существенный элемент общей культуры современного человека.

Чайна Мьевиль

С одной стороны, математика – совершенно абстрактная наука: квадратный корень минус единицы и все такое; но мир вовсе не подчиняется строгим математическим правилам. Значит, это просто один из способов смотреть на мир, который объединяет в себе все силы: умственную, социальную и физическую…

П. Монтель

Функции, как и живые существа, характеризуются своими особенностями.

Огастес де Морган 

Легче найти квадратуру круга, чем перехитрить математика.  

Элиаким Гастингс Мур

Любая наука, включая логику и математику, есть продукт своей эпохи. Наука воплощена в своих идеалах не в меньшей мере, чем в результатах.

 

 Юрий Маркович Нагибин 

Для современного физика математика всё равно, что абсолютный слух для композитора.

Наполеон

Процветание и совершенство математики тесно связаны с благосостоянием государства.  

Генрих Густавович Нейгауз 

Математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства.

Джон фон Нейман 

Если люди отказываются верить в простоту математики, то это только потому, что они не понимают всю сложность жизни.

* * *

Всякий, кто питает слабость к арифметическим методам получения случайных чисел, грешен вне всяких сомнений.

* * *

В математике не усваивают понятий, а привыкают к ним.

* * *

Математические идеи возникают из опыта, хотя их генеалогия порой оказывается длинной и тёмной. Но после того как они сформировались, они начинают жить своеобразной собственной жизнью. При этом предмет математики можно сравнить скорее с творческой дисциплиной, подлежащей почти исключительно эстетическим обоснованиям, но, ни в коем случае, не с эмпирической наукой... Так как математическая дисциплина далеко уходит от своих эмпирических истоков, её подстерегают очень серьёзные опасности. Она становится всё более эстетической, всё более приближается к чистому искусству для искусства. Всё это не так страшно, если данная область окружена взаимозависимыми структурами, обладающими более тесными эмпирическими связями, или если на эту дисциплину оказывают влияние люди с исключительно хорошо развитым вкусом. Однако существует серьёзная опасность, что данный предмет в процессе своего развития вступит на путь наименьшего сопротивления, что поток, столь далеко унёсшийся от своего источника, разольётся на множество мелких ручьёв и превратится в беспорядочное множество запутанных частностей. Другими словами, если область математики слишком удалилась от своего эмпирического источника или же подвергается усиленному «абстрактному» близкородственному скрещиванию, возникает опасность вырождения. Сначала, как правило, имеет место классический стиль. Однако, как только появляются признаки барокко, промедление становится опасным... Если мы достигли этого этапа, единственное лекарство — это возвращение к истокам, т.е. новое приближение к более или менее явно эмпирическим идеям. Я уверен, что в прошлом это было необходимым условием сохранения свежести и жизненной силы математики и что, то же ожидает нас в будущем.

А. Нивен 

Математику нельзя изучать, наблюдая, как это делает сосед! 

Ф. Ницше

Мы хотим внести тонкость и строгость математики во все науки, поскольку это вообще возможно; мы желаем этого не потому, что рассчитываем таким путём познавать вещи, но для того, чтобы установить этим наше человеческое отношение к вещам. Математика есть лишь средство общего и высшего человековедения.

И.Д. Новиков  

Искусство решать геометрические задачи чем-то напоминает трюки иллюзионистов - иногда, даже зная решение задачи, трудно понять, как можно было до него додуматься. 

Исаак Ньютон

В математических вопросах нельзя пренебрегать даже самыми малыми ошибками.

* * *

Так как древние… придавали большое значение механике при изучении природы, то новейшие авторы, отбросив субстанции и скрытые свойства, стараются подчинить законы природы законам математики.

* * *

Чтобы сотворить эту (Солнечную) систему со всеми её движениями, потребовалась причина, понимавшая и сравнившая количества материи,… расстояния,…скорости… И то, что сравнить и согласовать это удалось в столь многих телах, свидетельствует, что причина эта была не слепой или случайной, а весьма искусной в механике и геометрии.

* * *

Геометрия основывается на механической практике и есть не что иное, как та часть общей механики, в которой излагается и доказывается искусство точного измерения.

* * *

Алгебра – это анализ для неумех в математике. 

 

У.Г. Оден

Минус на минус – всегда только плюс.

Отчего так бывает, сказать не берусь.

М.В. Остроградский

Много из математики не остается в памяти, но когда поймешь ее, тогда легко при случае вспомнить забытое. 

 

Блез Паскаль 

Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упустить случая сделать его немного занимательным.

* * *

Математическая истина, независимо от того, в Париже или в Тулузе, одна и та же.  

* * *

Величие человека – в его способности мыслить.

* * *

Среди равных разумов – при других равных условиях – преимущество имеет тот, кто знает геометрию. 

Песталоцци

 Счет и вычисления – основа порядка в голове. 

Р. Петер 

Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива.

Эмиль Пикар

Если бы Ньютон и Лейбниц знали, что непрерывные функции необязательно должны иметь производные, то дифференциальное исчисление никогда не было бы создано.

Джеймс Пирпонт 

Понятие бесконечности — наш величайший друг; оно также величайший враг покоя нашей мысли... Вейерштрасс научил нас верить, что мы, наконец, полностью приручили и одомашнили эту неуправляемую стихию. Однако это не так: она снова вырвалась на волю. Гильберт и Брауэр ещё раз занялись её усмирением. Надолго ли? Хочется знать!

Карл Пирсон  

Математик, оперируя множеством символов, явно имея дело с чисто формальными истинами, тем не менее может достичь бесконечно важных результатов для описания физического мира.

 Д.И. Писарев 

Математика есть лучшее и даже единственное введение в изучение природы. 

Пифагор

Всё есть число.

* * *

Все упорядочивается согласно чисел. 

Пифагорейцы

 Числа правят миром. 

Макс Планк 

Новая научная истина побеждает не потому, что её противники убеждаются в её правильности и прозревают, а лишь по той причине, что противники постепенно вымирают, а новое поколение усваивает эту истину буквально с молоком матери.

Платон 

Бог всегда геометр.

* * *

Человек – это мудрейшее животное, потому, что он умеет считать.

* * *

Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?

* * *

Мы никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы.

* * *

Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться.

* * *

Изучение математики приближает к бессмертным богам.

* * *

Знание, к которому стремятся геометры, есть знание вечного, а не того, что тленно и преходяще.

* * *

Разве ты не знаешь, что, хотя геометры используют видимые формы и рассуждают о них, мыслят они не о самих формах, а об идеалах, с которыми не имеют сходства; не о фигурах, которые они чертят, а об абсолютном квадрате и об абсолютном диаметре… и что в действительности геометры стремятся постичь то, что открыто лишь мысленному взору? 

Эдгар Аллан По 

Высшая гармония одарённого воображением интеллекта всегда наделена преимущественно математическим характером.

Алексей Васильевич Погорелов

... В школе [есть] два главных предмета – родная речь и геометрия. Одна учит человека грамотно излагать мысли, вторая – дедуктивному мышлению.

Д. Пойа

Лучший способ изучить что-либо – это открыть самому.

* * *

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!

* * *

Трудность решения в какой-то мере входит в само понятие задачи: там, где нет трудности, нет и задачи.

* * *

При решении задачи плохой план часто оказывается полезным: он может вести к лучшему плану.

* * *

Процесс решения задачи представляет собой поиск выхода из затруднения или пути обхода препятствия, – это процесс достижения цели, которая первоначально не кажется доступной.

* * *

Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать на лыжах. Ему можно научиться только путём подражания или упражнения.

* * *

Возможно, не существует открытий ни в элементарной, ни в высшей математике, ни даже, пожалуй, в любой другой области, которые могли бы быть сделаны… без аналогии.

* * *

Нужно всеми средствами обучать искусству доказывать, не забывая при этом и об искусстве догадываться.

* * *

Математика интересна тогда, когда питает нашу изобретательность и способность рассуждать.  

Александр Поп

Почто, о боги, в этом мире

Должно быть дважды два – четыре?

Карл Раймунд Поппер

Существуют три уровня понимания доказательства. На самом низ­ком уровне у вас появляется приятное ощущение, что вы поняли ход рас­суждений. Средний уровень достигается, когда вы можете воспроизвести доказательство. На верхнем, или высшем, уровне вы обретаете способность опровергнуть доказательство.

В. Произволов 

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

Ф. Прокопович 

У народов, которые владеют геометрией, даже самые простые вещи имеют какую-то особую красоту.

* * *

Ни одна наука, существующая для того, чтобы облегчить или украсить жизнь, без геометрии не могла бы не только развиваться и усовершенствоваться, но даже и появиться.

Анри Пуанкаре

В математике нет символов для неясных мыслей.

* * *

Математика – это искусство называть разные вещи одним и тем же именем. 

* * *

Наука строится из фактов, как дом из кирпичей, но простое собрание фактов столь же мало является наукой, как куча кирпичей – домом.

* * *

Если кто-либо хочет кратким и выразительным словом определить само существо математики, тот должен сказать, что это наука о бесконечности.

* * *

Лучший метод для предвидения будущего развития математических наук заключается в изучении истории и нынешнего состояния этих наук.

* * * 

Без интуиции молодой ум не сможет продвинуться в понимании математики, он не сможет полюбить её и найдёт в ней лишь пустой набор логических упражнений, и прежде всего без интуиции он никогда не сможет применять математику.

* * *

Истинные математические науки, т.е. те, которые чему-нибудь служат, могут продолжать своё развитие только согласно свойственным им принципам, не заботясь о тех бурях, которые бушуют вне их; они будут шаг за шагом делать свои завоевания, которые являются окончательными и от которых им никогда не будет нужды отказываться.

* * *

Нужно было бы окончательно забыть историю науки, чтобы не помнить, что стремление познать природу имело самое постоянное и самое счастливое влияние на развитие математики… Если бы чистый математик забыл о существовании внешнего мира, то он уподобился бы художнику, который умеет гармонически сочетать краски, но у которого нет моделей. Его творческая сила скоро иссякла бы.

* * *

Чистый математик, который забыл бы о существовании внешнего мира, был бы подобен живописцу, умеющему гармонически сочетать цвета и формы, но лишённому натуры, модели — его творческая сила быстро бы иссякла.

* * *

В её строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный характер, что ставит в тупик любого. Забываются исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаём понимать, как и почему они были поставлены.

* * *

Не существует решённых проблем, существуют только проблемы более или менее решённые. 

* * *

Математики не уничтожают препятствия, мешающие им, но просто отодвигают их за грани своей науки.

С.Д. Пуассон 

Жизнь украшается двумя вещами: занятиями математикой и её преподаванием.

А.С. Пушкин 

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

* * *

"Всё, что превышает геометрию, превышает нас", сказал Паскаль. И вследствие того написал свои философические мысли.

 

Ганс Радемахер, Отто Теплиц

За своеобразной символикой формул, за интегралами и сигмами, словно за высокой стеной, уединилась математика от окружающего мира. То, что происходит за этой стеной, обычно остается тайной для непосвященного, и в стремлении ее разгадать он представляет себе бескровный механизм «мертвых чисел», который функционирует по законам внутренней необходимости. Тому же, кто остается за стеной, она отчасти закрывает горизонт, мешает взглянуть на внешний мир, он увлекается возможностью оценивать математические факты собственными мерками и находит тщеславное утешение в том, что в его владения не попадает профан.

Нельзя ли пробить эту непроницаемую стену и открыть математику «непосвященному», причем так, чтобы это принесло ему переживание собственного активного участия в математическом познании и творчестве? Может такое «активное» восприятия математики доступно только для узкого круга «математически одаренных»? Конечно, математическим талантом в собственном смысле этого слова, т.е. способностью самостоятельно открывать новые математические истины, наделены далеко не все. Но, например, музыкальный талант, то есть способность создавать музыкальные произведения достаточно высокого уровня, тоже имеют не все. А между тем мы встречаем множество людей, которые понимают музыку, способны сами «музицировать», по крайней мере находят в музыке радость. Нам кажется, что если бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым многие под влиянием случайных школьных впечатлений отказываются от всего, что связано с математикой, то людей, склонных «импровизировать» в области несложных произведений математического искусства, оказалось бы не меньше, чем активных любителей музыки.

* * *

Истинная математика заключается не в нагромождении искусственных вычислительных приёмов, а в умении получать нетривиальные результаты путём размышления при минимуме применяемого аппарата.

Бертран Рассел

Чистая математика – это такой предмет, где мы не знаем, о чем мы говорим, и не знаем, истинно ли то, что мы говорим.

* * *

Математика представляет собой собрание выводов, которые могут быть применены к чему угодно.

* * *

Чтобы создать здоровую философию, нужно отречься от метафизики, но быть хорошим математиком.

* * *

Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой, какой обладает искусство ваяния.

* * *

Во всех делах очень полезно периодически ставить знак вопроса к тому, что вы с давних пор считали не требующим доказательств.

* * *

Всякая точная наука основывается на приблизительности.

* * *

Нежелательно верить в гипотезу, когда нет решительно никаких оснований считать ее верной.

* * *

Тот факт, что вся математика есть не что иное, как символическая логика, – величайшее открытие нашего века.

* * *

Метод постулирования того, что нам требуется, обладает многими преимуществами, но такими же преимуществами обладает воровство перед честным трудом.

* * *

Математика служит вечным укором… скептицизму, ибо её здание, возведённое из истины, противостоит неколебимо и неприступно всему оружию сомневающегося цинизма.

лорд Рэлей  

Примеры... число которых можно увеличивать как угодно, показывают, как трудно экспериментатору объяснять часто свои результаты без помощи математики.

 

Джордж Сантаяна  

Подобно тому как все искусства тяготеют к музыке, все науки стремятся к математике.  

Джеймс Джозеф Сильвестр

Математика – музыка разума.

Я.Г. Синай

Математика и физика должны быть вместе, как карета и лошадь в упряжке.

Генри Джон Стивен Смит 

Арифметика — одна из древнейших, возможно, самая древняя отрасль человеческого знания, и в то же время наиболее глубокие тайны находятся где-то рядом с её избитыми истинами.

* * *

Геометрия обратилась бы в ничто, если бы не её строгость.

Ян Снядецкий 

Математика – царица всех наук. Её возлюбленный – истина, её наряд – простота и ясность. Дворец этой владычицы окружен тернистыми зарослями, и, чтобы достичь его, каждому охотнику приходится пробираться сквозь чащу. Случайный путник не обнаружит во дворце ничего привлекательного. Красота его открывается лишь разуму, любящему истину, закаленному в борьбе с трудностями, свидетельствующему о незаурядности и непреодолимой склонности человека к необычайно запутанным, но неиссякаемым и возвышенным наслаждениям ума, свойственным самой природе людей. 

С.Л. Соболев 

Вся история точных наук – это почти история математики: так тесно связана она с каждой из них.

* * *

И радость творчества, и источник сил найдут для себя в царстве математики все, кто будет строить её здание.

У.У. Сойер 

Стоит только показать, что какая-либо вещь невозможна, как найдется математик, который ее сделает.

* * *

Смелость разума присуща всем математикам. Математик не любит, когда ему о чем-то рассказывают, – до всего он хочет додуматься сам.

Спиноза 

Математика и опыт – вот подлинные основания достоверного, естественного, разумного живого познания.

Гертруда Стайн 

Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе. 

Стевин 

Среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью...

Чарльз Протеус Стейнметц  

Математика — наиболее точная наука, и её выводы абсолютно доказуемы. Но это происходит лишь потому, что математика не пытается выводить абсолютные заключения. Все математические истины относительны, условны.

Владимир Андреевич Стеклов

При помощи логики никто ничего не открывает; силлогизм может только приводить других к признанию той или другой, уже заранее известной истины, но как орудие изобретения бессилен. Математик иногда наперёд высказывает весьма сложное положение, совершенно не очевидное и затем начинает доказывать его. В изобретении чуть ли не каждого шага доказательства играет роль не логика, а интуиция, которая идёт поверх всякой логики.

Маршалл Стоун

Хотя в нашей концепции математики и в наших взглядах на нее по сравнению с началом XX в. произошло несколько важных изменений, лишь одно из них вызвало подлинный переворот в наших представлениях о математике – открытие полной независимости математики от физического мира... Математика, как мы сейчас понимаем, не имеет ни одной обязательной связи с физическим миром, помимо той смутной и несколько загадочной, что неявно содержится в утверждении о том, что процесс мышления происходит в мозгу. Без преувеличения можно сказать, что открытие независимости математики от внешнего мира знаменует собой одно из са­мых значительных интеллектуальных достижений в истории математики...

* * *

Современная математика предпочитает характеризовать свой предмет как изучение общих абстрактных систем, каждая из которых построена из специфических абстрактных элементов и структурирована наличием произвольных, но недвусмысленных специализированных связей между ними.

* * *

…Именно новая ориентация математики, ставшая возможной лишь благодаря ее отходу от приложений, и была подлинным источником необычайной жизнеспособности и роста математики за последнее столетие...

* * *

Лишь в той степени, в какой математика освободилась от уз, связывающих ее в прошлом с теми или иными конкретными аспектами реальности, она может стать гибким и мощным инструментом, столь необходимым для вторжения в области, лежащие за пределами известного. 

А.В. Суворов 

 Математика – гимнастика ума.

В.А. Сухомлинский 

Умственный труд на уроках математики – пробный камень мышления. 

К.М. Сытник

Математика, раньше понимаемая как наука о числах и геометрических фигурах, теперь ломает рамки любых дефиниций, которые определяют сферу ее исследований. До сих пор не удалось найти такое определение, которое характеризовало бы математику в целом и удовлетворяло хотя бы одних только математиков.

 

Р. Том

Математическую мысль породила потребность разума построить модель окружающего мира.

У. Томсон (лорд Кельвин)  

Я не мог понять содержания вашей статьи, так как она не была оживлена иксами и игреками.

* * *

Одна-единственная кривая, вычерченная наподобие кривой цен на хлопок, описывает всё то, что едва может услышать ухо в результате исполнения сложнейшего музыкального произведения... Это, по-моему, является прекрасным доказательством могущества математики.

* * *

Математика есть просто хорошая метафизика.  

 

Альфред Норт Уайтхед 

Чистая математика в своём современном развитии может претендовать на положение наиболее оригинального творения человеческого духа.

* * *

Я сожалею, что в этой лекции мне необходимо было в такой большой мере обращаться к четырёхмерной геометрии. Но я не прошу извинения, ибо я действительно не ответственен за то, что в своём фундаментальном аспекте природа четырёхмерна. Вещи таковы, какие они есть...

* * *

Имеется надёжное для применения правило: когда математик или философствующий автор пишет с туманной утончённостью, он говорит бессмыслицу.

* * * 

Идеал математики – создать вычисление, облегчающее рассуждения в любой сфере мышления.

* * *

Нельзя не признать, что занятия математикой – ниспосланное богами безумие человеческого духа.

Ч. Уилсон 

Фундаментальное исследование – это то, что делаешь, когда не знаешь, что собираешься сделать.  

Роберт Уокер

У инопланетян могут быть другие представления о понятии бесконечности, теореме Гёделя, времени и счёте.

Казимеж Урбаник

В математике нет авторитетов. Единственный аргумент истинности – доказательство.

 

Ричард Фейнман

Неправда, что так называемая "абстрактная математика" так сложна. …Не верю, что имеется с одной стороны небольшое количество странных людей, которые в состоянии понять математику, и с другой – нормальные люди. Математика является одним из открытий человечества. Поэтому она не может быть более сложной, чем то, что люди способны понять.

Филолай

Если бы ни число и его природа, ничто существующее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам... Мощь чисел проявляется, как нетрудно заметить... во всех деяниях и помыслах людей, во всех ремёслах и музыке.

Финн

Прикладная математика — это когда вы ищите решение задачи, а чистая — это когда вы ищите задачу для решения.

Бернар Ле Бовье де Фонтенель 

Математики похожи на влюбленных – достаточно согласиться с простейшим утверждением математика, как он выведет следствие, с которым вновь придется согласиться, а из этого следствия - еще одно. 

Франклин

Какая наука может быть более благородна, более восхитительна, более полезна для человечества, чем математика?   

А. Франц 

Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом.

В. Фукс

Геометрия – это широкий роскошный пейзаж, открытый всем тем, кому мышление доставляет настоящую радость.

Жан Батист Жозеф Фурье

Пристальное, глубокое изучение природы есть источник самых плодотворных открытий математики.

* * *

Глубокое изучение природы – наиболее плодотворный источник математических открытий.

* * *

Не может быть языка более всеобъемлющего, чем аналитические уравнения, и более простого, лишённого ошибок и неясностей, т.е. более достойного для выражения неизменных соотношений реального мира.

***

Главная отличительная особенность математического подхода – его ясность; в нём нет символов, которые выражали бы смутные идеи. Он сводит вместе самые различные явления и обнаруживает объединяющие их скрытые аналогии. 

 

Омар Хайам

... Принципы геометрии – это принципы всей математики.

Р. Э. Хайнлайн. 

Человек, не способный к математике, не является разумным. Этого недочеловека в лучшем случае можно терпеть, раз он научился носить ботинки, мыться и не сорить в доме.

Андру Филлинг Хаксли 

Математика похожа на мельницу: если вы засыпете в нее зерна пшеницы, то получите муку, если же засыпете отруби, отруби и получите. 

Годфри Харольд Харди

За чистую математику! Да не найдёт она никаких приложений!

* * *

… Под математикой я понимаю настоящую математику, математику Ферма и Эйлера, Гаусса и Абеля, а не то, что выдают за математику в инженерной лаборатории.

* * *

В понятие чистой математики я включаю всю совокупность математических знаний, обладающих непреходящей эстетической ценностью, какой обладает, например, греческая математика, которая вечна потому, что лучшая её часть, подобно лучшим произведениям литературы, и через тысячи лет продолжает приносить тысячам людей эмоциональное удовлетворение.

* * *

Строго говоря, того, что принято называть математическим доказательством, не существует... В конечном счете, мы можем лишь указывать... Любое доказательство представляет собой то, что мы с Литлвудом называем газом, – риторические завитушки, предназначенные для психологического воздействия, картинки, рисуемые на доске во время лекции, средство для стимуляции воображения учащихся.

* * *

Свою позицию я сформулирую догматически во избежание малейшей неясности. Я считаю, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция заключается в открытии инаблюдении ее и что теоремы, которые мы доказываем и высокопарно называем своими «творениями», в действительности являются не более чем записями наших наблюдений.

* * *

Математические теоремы истинны или ложны, и их истинность или ложность абсолютно не зависит от того, известны ли нам эти теоремы. В некотором смысле математическая истина является частью объективной реальности.

* * *

Архимеда будут помнить, когда Эсхила забудут, потому что языки умирают, но не математические идеи. Возможно, "бессмертие" — глупое слово, но, по всей видимости, математик имеет наилучший шанс на бессмертие, что бы оно ни означало.

* * *

Творчество математика в такой же степени есть создание прекрасного, как творчество живописца или поэта, – совокупность идей, подобно совокупности красок или слов, должна обладать внутренней гармонией. Красота есть первый пробный камень для математической идеи; в мире нет места уродливой математике.

Ф. Хаусдорф 

Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг.

Петер Хенричи

Своей жизнеспособностью математика в большой мере обязана своей многогранности.

В. Хмурый 

Аксиома – это истина, на которую не хватило доказательств. 

Оливер Хэвисайд

Логике нетрудно быть терпеливой, ведь она вечна.

* * *

Логика непобедима, потому что одолеть её можно только с помощью логики.

 

Г. Цейтен

Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.  

Михаил Цфасман

...Конечно, математика красива. Эта красота мысли чувствуется начиная со школьных задач и кончая самыми современными достижениями науки.

* * *

Если вы составите список стран, где хорошая математика (как наука), и составите список стран, где люди богато живут, то эти два списка почти что совпадут. Не потому, что мы твердо знаем, что таким-то образом из математики вытекает экономика или наоборот, а просто потому, что есть такой закон природы – хотите иметь одно, надо обязательно иметь другое. То же верно и про науку в целом.

* * *

Когда Господь создавал Вселенную, то он ее создал так, что математика является одной из ее частей. Точно так же как существуют определенные взаимодействия звезд между собой и космическими лучами, точно так же существует взаимодействие между физикой и математикой, практической жизнью и математикой. И эти взаимодействия достаточно глубокие, многие из них мы не знаем.

* * *

Человек, который имеет дело с математической сущностью, в какой-то момент перестает сомневаться, что это вполне реально и объективно существующая сущность, в том, что мы их не придумываем, а открываем.

* * *

Про роль математики для общества я сказал бы несколько необычную вещь. Конечно, надо знать математику, чтобы посчитать деньги в своем кармане (и особенно в чужом) и чтобы спроектировать какую-нибудь машину. Но это – мир низких истин. Есть и другая сторона. Вот то, чему я бы учил в школе, и для чего математика максимально приспособлена, но только ее преподавать нужно немножко не так. Это – отличать верное от неверного, доказанное от недоказанного, правдоподобное от неправдоподобного... Это – часть математической культуры, которой существенно не хватает обществу в целом.

 

 

Н.А. Чайковский 

Если бы в математике не было красоты, то, наверное, не было бы и самой математики. Иначе какая тогда сила притягивала бы к этой нелегкой науке крупнейших гениев человечества? 

П.Л. Чебышев

Науки математические с самой глубокой древности обращали на себя особенное внимание, в настоящее время они полу­чили еще больше интереса по влиянию своему на искусство и промышленность.  

Грегори Чейтин

Математика является прекрасным, увлекательным предметом, полным воображения, фантазии и творчества, которое ограничивается не мелочами физического мира, а лишь силой нашего внутреннего света.

В. Чкалов

Полет – это математика.  

 

И.Ф. Шарыгин

Для нормального интеллектуального развития необходима разнообразная интеллектуальная пища. Сегодня математика, особенно геометрия, является одним из немногих экологически чистых и полноценных продуктов, потребляемых в системе образования.

* * *

Окружность – душа геометрии. Познайте окружность, и вы не только познаете душу геометрии, но и возвысите душу свою.

В. Швебель

Математика – самая надежная форма пророчества. 

Анания Ширакаци

И, очень полюбив искусство числовое, я подумал, что без числа никакое рассуждение философское нельзя вывести, и его следует считать матерью всей мудрости.

Ю.А. Шиханович

Доказательство – это рассуждение, которое убеждает. 

Гуго Штейнгауз

Из дома реальности легко забрести в лес математики, но лишь немногие способны вернуться обратно.

* * *

Между духом и материей посредничает математика.

* * *

Легкость математики основана на возможности чисто логического ее построения, трудность, отпугивающая многих, – на невозможности иного изложения.

* * *

Известный польский математик шутливо утверждал, что существует закон, который формулируется так: математик сделает это лучше. А именно, если поручить двум людям, один из которых математик, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: математик сделает ее лучше.

* * *

Ни одна наука так не укрепляет веру в силу человеческого разума, как математика.

* * *

Я не верю, что какие–либо новые дидактические приёмы могут радикально увеличить долю понимающих математику в школе. Подводя итоги экспериментам педагогов, мы оказываемся перед дилеммой: либо уступить требованиям… и отменить математику, либо поступать так, как учит природа, которая разбрасывает тысячи зёрен, хотя лишь несколько из них упадут на плодородную почву. И из этих нескольких зёрен позже вырастут Паскаль, Гаусс и Больяи.

* * *

 ... В математике несравненно явственней, чем в других дисциплинах ощущается, насколько растянуто шествие всего человечества. Среди наших современников есть люди, чьи познания в математике относятся к эпохе более древней, чем египетские пирамиды, и они составляют значительное большинство. Математические познания незначительной части людей дошли до эпохи средних веков, а уровня математики XVIII века не достигает и одни человек на тысячу... Но расстояние между теми, кто идет в авангарде, и необозримой массой путников все возрастает, процессия растягивается и идущие впереди, отдаляются все более и более. Они скрываются из виду, их мало кто знает, о них рассказывают удивительнейшие истории. Находятся и такие, кто просто не верит в их существование.

А. Шопенгауэр 

В математике ум исключительно занят собственными формами познавания – временем и пространством, следовательно, подобен кошке, играющей собственным хвостом.  

Джордж Бернард Шоу

Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека. 

 

Артур Стэнли Эддингтон

Доказательство – это идол, во имя которого математики терзают себя. 

Леонард Эйлер

Чем меньше бог вмешивается в дела мира и науки, тем лучше для науки и для авторитета бога. 

* * * 

Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств.

* * *

Полезность математики, обычно известной своими элементарными разделами, не только не иссякает при переходе к высшим её разделам, но и возрастает по мере развития этой науки.

* * *

Свойства чисел, известные сегодня, по большей части были открыты путём наблюдений.

* * *

Если нам не дано достичь полного знания о движении жидкости, то причину неудач следует приписывать не механике и не недостаточности известных законов движения. Нам недостаёт (математического) анализа, поскольку вся теория движения жидкости теперь свелась к исследованию аналитических формул.

* * *

Поскольку наш мир устроен наисовершеннейшим образом и является творением всеведущего творца, во всём мире не происходит ничего такого, в чём не было бы воплощено какое-либо правило максимума или минимума.

* * *

Математика, вероятно, никогда не достигла бы такой высокой степени совершенства, если бы древние не приложили столько усилий для изучения вопросов, которыми сегодня многие пренебрегают из-за их мнимой бесплодности.

 

Альберт Эйнштейн

Математика – это поэзия логики идей.

* * *

Всякая наука, которая занимается исключительно логическими отношениями между данными предметами по данным правилам, есть математика.

* * *

Законы математики, имеющие какое-либо отношение к реальному миру, ненадежны; а надежные математические законы не имеют отношения к реальному миру.

* * *

Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос.  

* * *

Существует поразительная возможность овладеть предметом математически, не поняв существа дела.

* * *

Правильная постановка задачи даже важнее, чем её решение.

* * *

С тех пор, как математики взялись за Теорию относительности, я сам перестал ее понимать.

* * * 

Математик кое-что может, но, разумеется, не то, что от него хотят получить в данный момент.

* * *

Образование – это то, что остается, когда забываешь все, что изучал в школе.

 * * *

Наши математические затруднения Бога не беспокоят. Он интегрирует эмпирически.

* * *

Существует ещё одна причина высокой репутации математики: именно математика даёт точным естественным наукам определённую меру уверенности в выводах, достичь которой без математики они не могут.

* * *

Как это может быть, что математика, являясь после всего продуктом мышления людей, независимым от опыта, так замечательно приспособлена к объектам действительности?

* * *

Весь наш предыдущий опыт убеждает, что природа является реализацией того, что математически проще себе представить. Я убежден, что чисто математическое построение позволяет найти те понятия и те закономерные связи между ними, которые являются ключевыми для понимания явлений природы. Таким образом, я в некотором смысле оправдываю мечту древних ученых об овладении истиной путем чисто логического рассуждения.

* * *

Как бы машина хорошо ни работала, она может решать все требуемые от нее задачи, но она никогда не придумает ни од­ной.

* * *

Если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они не точны; они точны до тех пор, пока не ссылаются на действительность… Однако, с другой стороны, верно и то, что математика вообще и геометрия в частности обязаны своим происхождением необходимости узнать что-либо о поведении реально существующих объектов.

* * *

Каждый, кто осмеливается взять на себя роль судьи во всём, что касается Истины и Знания, терпит крушение под смех богов.

* * *

Самое непостижимое в этом мире то, что он постижим. 

Ф. Энгельс

Как и другие науки, математика возникла из практических нужд людей: из измерения площадей земельных участков и вместимости сосудов, из счисления времени и их механики.

* * *

... Совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда-нибудь, а только из действительного мира. ... Чтобы считать, надо иметь не только предметы, подлежащие счёту, но обладать уже способностью отвлекаться при рассматривании этих предметов от всех прочих их свойств кроме числа, а эта способность есть результат долгого, опирающегося на опыт, исторического развития. Как понятие числа, так и понятие фигуры, заимствованы исключительно из внешнего мира, а не возникли в голове из чистого мышления. Должны были существовать вещи, имеющие определённую форму, и эти формы должны были подвергаться сравнению, прежде чем можно было прийти к понятию фигуры. Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал... Но чтобы быть в состоянии исследовать эти формы и отношения в чистом виде, необходимо совершенно отделить их от их содержания, оставить это последнее в стороне как нечто совершенно безразличное; таким путём мы получаем точки, лишённые измерений, линии, лишённые толщины и ширины, разныеa и b, x и y, постоянные и переменные величины, и только в самом конце мы доходим до продуктов свободного творчества и воображения самого разума — до мнимых величин. 

Пол Эрдёш

Математик — это машина, перерабатывающая кофе в теоремы.

Шарль Эрмит 

В математике мы больше слуги, чем господа.

* * *

Я убежден в том, что числа и функции анализа не являются произвольным продуктом нашего духа. Я верю, что они лежат вне нас с той же необходимостью, как предметы объективной реальности, а мы обнаруживаем или открываем и исследуем их так же, как это делают физики, химики и зоологи.

* * *

С чувством непреодолимого отвращения я отшатываюсь от достойного всякого сожаления зла – непрерывных функций, не имеющих производных.

* * *

Самым плодотворным источником математических открытий является внимательное наблюдение фактов.

* * *

Если я не ошибаюсь, существует мир, представляющий собой собрание математических истин и доступный нам только через наш разум,– точно так же существует мир физической реальности.

* * *

…Понятия анализа существуют самостоятельно вне нас, образуя единое целое, лишь часть которого беспрепятственно, хотя и несколько загадочно, открывается нам…

 

Карл Густав Якоб Якоби

Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе.

* * *

Бог всегда арифметизует.

* * *

Единственная цель науки состоит в прославлении человеческого разума, поэтому любая задача теории чисел заслуживает ничуть не меньшего внимания, чем любой вопрос о нашей планетной системе.

* * *

Жизнь богов есть математика… моя жизнь подобна жизни богов.