#Исследовательская работа «Десять способов решения квадратных уравнений»
Научно-практическая конференция «Шаг в будущее»
МБОУ «Гимназия №14»
Секция математика
Десять способов решения квадратных уравнений
Выполнила:
ученица 8 «М» класса
Нагаева Варвара
Руководитель:
Курикалова И. В.
Улан-Удэ
2012
Содержание работы:
Введение
Основная часть
2.1. Определение квадратного уравнения и его виды
2.2. Из истории квадратных уравнений
2.3. Различные способы решения квадратных уравнений:
2.3.1. Разложение левой части уравнения на множители
2.3. 2 .Метод выделения полного квадрата
2.3. 3. Решение квадратных уравнений по формуле
2.3.4 Решение уравнений с использованием теоремы Виета
2.3 5. Решение уравнений способом переброски
2.3.6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения
2.3.7. Графическое решение квадратного уравнения
2.3.8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
2.3. 9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
2.3.10. Геометрический способ решения квадратных уравнений
3. Заключение.
4 . Список литературы.
1.Введение
Тема «Квадратные уравнения» очень увлекательна и интересна. Знание – сила, а поэтому умение решать данные уравнения различными способами пригодится как для общего развития, так и для применения своих умений на практике, к примеру, на экзамене.
Главный плюс, по моему мнению – свобода выбора, право решать тем способом, какой кажется легче и понятнее, а значит и лучшие успехи и в учебе и в понимании материала. Тему «Решение квадратных уравнений различными способами» нужно включить в школьную программу, хотя бы для классов с углубленным изучением математики, для того чтобы дать возможность ученикам выбирать, а не заучивать непонятные и заумные на первый взгляд громоздкие формулы.
Дисциплины математики, изучаемые в школе, различны, и выбор школьников зачастую склоняется в ту или иную сторону. Лично мне больше нравится алгебра, и к формулам я отношусь намного лучше, чем к теоремам, а значит и решать мне удобнее «с дискриминантом» или графически, нежели с помощью циркуля и линейки, просто повезло, что именно эти способы входят в состав изучаемых в школе.
Из найденного материала о квадратных уравнениях я узнала много интересного и важного, расширила свои знания в этой области и научилась применять их.
Цель: 1. Изучить разные способы решения квадратного уравнения.
2. Рассмотреть практическую значимость темы.
Задачи: 1. Познакомиться с разными способами решения квадратных уравнений.
2. Проанализировать возможность использования этих способов в разных стандартных и нестандартных ситуациях.
3. Проанализировать использование разных способов решения квадратных уравнений моими одноклассниками.
4. Познакомиться с историей появления квадратных уравнений.
Методы: анализ и синтез.
Мы провели опрос старшеклассников:
Надо ли уметь решать квадратное уравнение?
Часто ли ты решаешь квадратное уравнение?
Используешь ли ты при решении уравнений свойства коэффициентов?
Результаты опроса выглядят так:
Мы провели анализ диагностических тестов ГИА.
В среднем 23% всех заданий требуют умения решать квадратные уравнения.
Поэтому меня и заинтересовала эта тема.
2.1. Определение квадратного уравнения, его виды.
Определение 1:
Квадратным называют уравнение вида
a + bx + c = 0,
где х- переменная, а, b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.
Определение 2:
Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1.
Полное квадратное уравнение – это уравнение a+ bx + c = 0, у которого коэффициенты b и c отличны от 0.
Определение 3:
Если в квадратном уравнении а + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.
Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:
1) а + с = 0, где с ≠ 0;
2) а+ bх = 0, где b ≠ 0;
3) а = 0.
Определение 4:
Корнем квадратного уравнения a + bx + c = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен a + bx + c обращается в 0.
Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
2.2. Из истории квадратных уравнений.
Квадратные уравнения в Индии.
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабахаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ах2 + bх = с, а > 0
В уравнении коэффициенты, кроме а, могут быть отрицательными. Правило Брахмагупта по существу совпадает с нашим.
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
х2 + х = , х2 – х = 14
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.
Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.
Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемный труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
х2 + bх = с,
при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид
2.3. Различные способы решения квадратных уравнений.
1) Разложение левой части уравнения на множители.
Примеры.
1. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0.
Разложим левую часть уравнения на множители:
х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).
Следовательно, уравнение можно переписать так:
(х + 12)(х – 2) = 0.
Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.
2) Метод выделения полного квадрата
Поясним этот метод на примере.
Пример
Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0
Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение
х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2 + 2· х ·3.
В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 .
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х – 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32. Имеем:
х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х = 3 = 4, х1 = 1, или х +3 = - 4 , х2 = – 7.
3) Решение квадратных уравнений по формуле
Вывод формулы:
Умножим обе части уравнения
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0,
на 4а и следовательно имеем:
4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0.
((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0,
(2ах + b)2 = b2 – 4ас,
2ах + b = ±
2ах = – b ±
Х1,2 =
Примеры
Решим уравнения:
а) 4х2+ 7х + 3 = 0.
а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >два разных корня;
= , = ; = , х1 = , х = , х2 = –1
Таким образом, в случае положительного дискриминанта,
т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.
б) 4х2 – 4х + 1 = 0,
а =4, b= - 4, с = 1. D = b2 – 4ас= 16 – 4∙4∙1 = 0, D = 0, один корень;
х=
Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. = b2 – 4ас= 0, то уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =
в) 2х2 +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b2 – 4ас= 9 – 4∙2∙4 =9 – 32 = - 13,
D < 0. Уравнение не имеет корней.
Итак, если дискриминант отрицателен, т. е. = b2 – 4ас< 0, то уравнение
ах2+ bх + с = 0 не имеет корней.
4) Решение уравнений с использованием теоремы Виета
(прямой и обратной)
а) Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид
х2 + px + q = 0. (1)
Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а = 1 имеет вид
Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и qможно предсказать знаки корней).
а) Если свободный член qприведенного уравнения (1) положителен (q >0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p.
Если p>0, то оба корня отрицательные, если p<0, то оба корня положительны.
Например,
х2 – 3х + 2 = 0; х1 = 2 и х2 = 1, так как q = 2 > 0 и p = – 3 <0;
х2 +8х + 7 = 0; х1 = – 7 и х2 = – 1, так как q = 7 > 0 и p = 8 >0.
б) Если свободный член qприведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0), то уравнение имеет два различных по знаку корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p<0, или отрицателен, если p>0.
Например,
х2 + 4х – 5 = 0; х1 = – 5 и х2 = 1, так как q = – 5<0 и p = 4 > 0;
х2 – 8х – 9 = 0; х1 = 9 и х2 = – 1, так как q = – 9<0 и p = – 8 >0.
б) Теорема Виета для квадратного уравнения
ах2 +вх +с = 0
имеет вид
Справедлива теорема, обратная теореме Виета:
Если числа х1 и х2 таковы, что х1+х2 = -р, х1х2 = q, то х1 и х2 – корни квадратного уравнения
х2 +рх + q = 0.
Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.
Примеры
1. Решить уравнение
х2 – 9х + 14 =0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 +х2 = 9
х1х2 = 14
Такими числами являются 2 и 7. По теореме, обратной теореме Виета, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.
2. Решить уравнение
х2 +3х – 28 = 0
Попробуем найти два числа х1 и х2 , такие, что
х1 + х2 = - 3
х1х2 = - 28
Нетрудно заметить, что такими числами будут – 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.
5)Решение уравнений способом «переброски»
Рассмотрим квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение
а2 х2 + а bх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = ; тогда приходим к уравнению
у2 + by + ас = 0,
равносильного данному. Его корни у1 и у2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1 = и х1 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Примеры
Решим уравнение 2х2 – 11х + 15 = 0.
Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение
у2 – 11y +30 = 0.
Согласно теореме Виета
Ответ: 2,5;3.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
А. Пусть дано квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1.Если а + b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х1 = 1, х2 = .
Доказательство. Разделим обе части уравнения на а ≠ 0, получим приведенное квадратное уравнение
х2 + х + = 0.
Согласно теореме Виета
По условию а + b + с = 0, откуда b = – а – с. Значит,
Получаем х1 = 1, х2 = , что и требовалось доказать.
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х1 = – 1, х2 = – .
Доказательство. По теореме Виета
По условию а – b + с = 0, откуда b = а + с. Таким образом,
т.е. х1 = – 1 и х2 = , что и требовалось доказать.
Примеры
1. Решим уравнение 345х2 – 137х – 208 = 0.
Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то х1 = 1, х2 = = .
Ответ: 1; – .
2. Решим уравнение 132х2 + 247х + 115 = 0
Решение. Т. к. а-b+с = 0 (132 – 247 +115=0), то
х1= - 1, х2= -
Ответ: - 1; -
Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней
х1,2 =
можно записать в виде
х1,2 =
Пример
Решим уравнение 3х2 – 14х + 16 = 0.
Решение. Имеем: а = 3, b = – 14, c = 16, k = – 7;
D = k2 – ac = (– 7)2 – 3 · 16 = 49 – 48 = 1, D>0, два различных корня;
х =
Ответ: 2; .
В. Приведенное уравнение
x2 + px + q = 0
совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней
х1,2 =
принимает вид:
х1,2 = или х1,2 = - (3).
Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p – четное число.
Примеры
1. Решим уравнение х2 – 14х – 15 = 0.
Решение. Имеем: х1,2 = 7±= 7±= 7±8.
Ответ: х1 = 15, х2 = – 1 .
7. Графическое решение квадратного уравнения
Если в уравнении
x2 + px + q = 0
перенести второй и третий члены в правую часть, то получим
x2 = – px – q .
Построим графики зависимостей у = х2 и у = – px – q .
График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат.
График второй зависимости – прямая.
Возможны следующие случаи:
прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;
прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;
прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.
Пример
1.Решим графически уравнение х2 – 3х – 4 = 0.
Решение. Запишем уравнение в виде х2 = 3х + 4. Построим параболу у = х2 и прямую у = 3х + 4. Прямую у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0;4) и N (3;13).
Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и B с абсциссами х1 = – 1 и х2 = 4. (Рис.2)
8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки.
Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Если строить параболу по точкам, то потребуется много времени, и при этом степень точности получаемых результатов невелика.
Предлагаем следующий способ нахождения корней квадратного
уравнения
ах2 + bх + с = 0
с помощью циркуля и линейки.
Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках B (х1 ;0) и D (х2 ;0), где х1 и х2 – корни уравнения ах2 + bх + с = 0, и проходит через точки А (0;1) и С (0;) на оси ординат. Тогда по теореме о секущих имеем ОВ∙ОD = ОА ∙ ОС, откуда
ОС = .
Центр окружности находиться в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD, поэтому
SK = ,
SF = .
Итак:
построим точки S(; ) (центр окружности) и А (0;1);
проведем окружность с радиусом SA;
абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями квадратного уравнения.
При этом возможны три случая.
1) Радиус окружности больше ординаты центра (AS>SK, или R>), окружность пересекает ось Ох в двух точках (рис.а) B (х1 ; 0) и D (х2 ;0), где
х1 и х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0.
2) Радиус окружности равен ординате центра (AS = SВ, или R = ), окружность касается оси Ох (рис.б) в точке B (х1 ; 0 ), где
х1 – корень квадратного уравнения.
3) Радиус окружности меньше ординаты центра (AS < SВ, или R < ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. в), в этом случае уравнение не имеет решения.
а) AS > SВ, или R > . б) AS = SВ, или R = .
Два решения х1 и х2. Одно решение х1.
в) AS < SВ, или R < .
Нет решения.
Пример
Решим уравнение х2 - 2х - 3 = 0 (рис. 7).
Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем окружность радиуса A, где А (0;1).
Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.
9. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 (см. Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. – М., Просвещение, 1990).
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z2 + pz + q = 0. Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам:
ОВ = , АВ =
Полагая ОС = р, ЕD = q, ОЕ = а ( все в см), из подобия треугольников САН и СDF получим пропорцию
,
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z2 + pz + q = 0,
причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Примеры
1. Для уравнения
z2 – 9z + 8 = 0.
Номограмма дает корни
z1 = 8, 0 и z2 = 1, 0 (рис. 12).
2. Решим с помощью номограммы
номограммы уравнение
2z2 – 9 z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого
уравнения на 2,получим уравнение
z2 – 4, 5 + 1 = 0.
Номограмма дает корни z1 = 4 и z2 = 0,5.
3. Для уравнения
z2 + 5 z – 6 = 0
номограмма дает положительный
корень z1 = 1,0, а отрицательный
корень находим, вычитая
положительный корень
из – р, т.е. z2 = – р – 1 =
= – 5 – 1 = – 6,0 (рис.13.)
4. Для уравнения
z2 – z – 8 = 0
номограмма дает положительный
корень z1 = 4,0, отрицательный
равен z2 = – р – z1 =
= 2 – 4 = – 2,0.
5. Для уравнения
z2 + 4 z + 3 = 0, оба корня которого
отрицательные числа, берем
z1 = – t и находим по номограмме два ,64
положительных корня t1 и t2
уравнения t2 – 4 t + 3 = 0, это
t1 = 1 и t2 = 3, а затем z1 = – t1 = – 1
и z2 = – t2 = – 3. если коэффициенты
p и q выходят за пределы шкалы, то
выполняют подстановку z = kt
и решают с помощью номограммы
уравнение
t2 +
где k берут с таким расчетом, чтобы имели место неравенства
– 12,6≤.
6. Для уравнения
z2 – 25z + 66 = 0
коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку
z = 5t, получим уравнение
t 2 – 5t + 2,64 = 0,
которое решаем посредством номограммы и получим
t1 = 0,6 и t2 = 4,4, откуда z1 = 5 t1 = 5 • 0,6 = 3,0
и z2 = 5 t2 = 5 • 4,4 = 22,0.
10.Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведем ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал-Хорезми.
● Примеры
Решим уравнение х2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39».
Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,
следовательно, площадь каждого равна 2 . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре
равных квадрата, сторона каждого из них 2, а площадь 6
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х2, четырех прямоугольников
(4 ∙ 2 = 10х ) и четырех пристроенных квадратов(6), т.е.
S = х2 + 10х = 25. Заменяя х2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
х = 8 – 2 – 2 = 3
2. А вот, например, как древние греки решали уравнение
у2 + 6у – 16 = 0.
Решение представлено на рис16, где
у2 + 6у = 16, или у2 + 6у + 9 = 16 + 9.
Решение .Выражения у2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у1 = 2, у2 = – 8.
3. Решить геометрически уравнения у2 – 6у – 16 = 0.
Преобразуя уравнение, получаем
у2 – 6у = 16.
На рис. находим «изображения» выражения у2 – 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3.
Значит, если к выражению у2 – 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у – 3. Заменяя выражение у2 – 6у равным ему числом, получаем: (у – 3)2 = 16 +9, т.е. у – 3 = ± или у – 3 = ± 5, где у1 = 8 и у2 = – 2. (Рис 17)
Выводы.
При решении квадратного уравнения не надо ограничиваться одним способом
решения уравнения, который изучается в школьном курсе математике, а для каждой ситуации можно использовать свой способ решения.
Особенно популярным способом является свойство коэффициентов квадратного уравнения и теорема Виета. Изучив материалы для подготовки к ГИА, я пришла к выводу: материалы содержат много квадратных уравнений, при решении которых можно использовать свойство суммы коэффициентов квадратного уравнения или теорему Виета. Этот способ позволяет сэкономить время при решении квадратных уравнений, а в некоторых случаях, избежать громоздких вычислений и даже использование калькулятора.
Интересными для меня оказались геометрический способ решения квадратного уравнения. Но недостаток этого способа – потерян второй корень уравнения. При таком способе решения он не рассматривается.
Более подробно изучив тему «решение квадратных уравнений», я углубила знания в истории развития математики и открыла много полезного и нового для себя.
Такая широкая тема позволяет всем желающим находить в книгах, научных журналах, сайтах все новые пути решения уравнений, создавать основу для дальнейших исследований в мире математики, получать необходимые интересующие сведения, применение которых на практике способствует развитию мышления и повышению уровня знаний учеников и студентов. Каждый из способов удобен по-своему, интересен и значим в общей копилке умений каждого.
Литература:
Мордкович А.Г. Учебник и задачник для углубленного изучения математики.
Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения и неравенства. Пособие для учителя. - М., Просвещение, 1972.
Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. - М., Квант, № 4/72. С. 34.
Соломник В.С., Милов П.И. Сборник вопросов и задач по математике. Изд. - 4-е, дополн. - М., Высшая школа, 1973.
Худобин А.И. Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Пособие для учителя. Изд. 2-е. - М., Просвещение, 1970.
И. С. Петраков. Математические кружки в 8-10 классах.- М.: Просвещение, 1987.
А. П. Савин. Энциклопедический словарь юного математика.- М.: Педагогика, 1989.
Г.И. Глейзер «История математики в школе»,- М.: Просвещение,1982.
Нина Александровна