Методические рекомендации «Тригонометрия: решение уравнений путем сведения их к квадратным уравнениям»

Тригонометрические уравнения имеют самый большой набор способов решения. Среди них можно выделить:

Для успешного освоения этого метода решения необходимо иметь при себе следующий багаж знаний и умений:

умение решать квадратные и биквадратные уравнения,

знать формулы функций двойного и тройного аргумента,

формулы понижения степени.

В идеале необходимо научиться выводить эти формулы с тригонометрического круга. Не стоит сразу же приступать к решению сложных задач. Доведите знание элементарных формул до автоматизма. В этом Вам поможет любой школьный учебник по алгебре за 10 класс. Помните фундаментальный закон развития систем: «Количественные изменения рано или поздно перейдут в качественные». Накапливайте умения в решении простейших задач, решайте их сотнями. Уверяю, что результат не заставит себя ждать.

Итак, Вы почувствовали уверенность в своих силах и привыкли к начальным формулам. Следующим шагом для Вас станет изучение теоретических основ названного метода. Они настолько просты и понятны, что их можно записать в нескольких предложениях.

Перенесите содержимое правой части в левую, оставив в правой части ноль.

Затем с помощью элементарных формул преобразуйте левую часть так, чтобы она зависела от квадрата, первой и нулевой степени одной и той же тригонометрической функции (если это возможно).

Замените эту функцию на некую переменную t и решайте квадратное уравнение относительно t.

Вы можете задать вопрос: «Как определить возможно ли привести левую часть уравнения к квадратичной форме?». Никак не определить. Это вопрос Вашего опыта в решении подобных задач. Закон развития систем действует и здесь. Чем больше нарешаете подобных заданий, тем лучше будете видеть возможность указанного приведения. 18-ий  опыт преподавания математики в школе говорит мне о том, что для приобретения уверенности в решении таких задач необходимо решить от 50 до 100 подобных заданий. Здесь все зависит от Ваших индивидуальных способностей и Вашего же стартового уровня.

Теперь поговорим о сложностях, которые могут возникнуть при решении указанных задач. Их несколько и сводятся они к трем группам проблем:

нехватка элементарных знаний,

отсутствие опыта в решении,

невнимательность.

С первой группой борьба проста — учим формулы, доводим их до автоматизма. Со второй тоже все легко. Надо посмотреть несколько примеров решения подобных заданий. Найти их можно в Интернете, либо школьных учебниках математики. Самое сложное — это научить себя решать внимательно. Внимательность вырабатывается путем упорных и долгих тренировок. Для того, чтобы воспитать в себе внимательность при решении математических заданий надо: записывать все (абсолютно все) операции, которые Вы проделываете с числами на бумагу и оформлять свои работы образцово. Качественное оформление и полная запись постепенно избавят Вас от досадных ошибок по невнимательности.

Рассмотрим примеры решения тригонометрических уравнений (№13 ЕГЭ по математике профильный уровень).