Геометрия 7 класс, 3 признака равенства треугольников

Предмет: геометрия (7 класс) Тема: Признаки равенства треугольников Подготовила материал: Учитель по математике, МБОУ СШ № 30 города Дзержинск: Кобякова Анна Викторовна

Введение: Понятие «Треугольник» Фигура «Треугольник» в геометрии является одной из самых простых и важных фигур. В большинстве случаев ей дают следующее определение: Треуго́льник (в евклидовом пространстве) — геометрическая фигура, образованная тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой. Указанные три точки называются вершинами треугольника, а отрезки — сторонами треугольника. В нашем случае вершинами выступают: А,В,С А отрезками: АВ, АС, ВС

Введение: Понятие «равенства треугольников» Напомним что две фигуры, в частности два треугольника, называются равными если их можно совместить, наложив друг на друга. В данном случае на картинке мы видим два равных треугольника АВС и А1В1С1 Таким образом, если треугольники равны, то их элементы (т.е. углы и стороны) одного треугольника соответственно равны углам и сторонам другого треугольника.

Первый признак равенства треугольников Теорема:(Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними) Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Первый признак равенства треугольников(доказательство) Дано: ΔABC, ΔA1B1C1, AB=A1B1, AC=A1C1, ∠A=∠A1. Доказать:ΔABC= ΔA1B1C1 Доказательство:Так как ∠A=∠A1, то можно треугольник A1B1C1 наложить на треугольник ABC так, чтобы точка A1 совместилась с точкой A, луч A1C1 наложился на луч AC, луч A1B1 — на луч AB. Так как AB=A1B1, то при таком наложении сторона A1B1 совместится со стороной AB, а значит, точка B1 совместится с точкой B. Аналогично, сторона A1C1 совместится со стороной AC, а точка C1 — с точкой C. Следовательно, сторона B1C1 совместится со стороной BC. Значит, при наложении треугольники полностью совместятся, поэтому ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению).

Первый признак равенства треугольников (Задача)

Второй признак равенства треугольников Теорема (Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим к ней углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника то такие треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников (доказательство) Дано: ΔABC, ΔA1B1C1,AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Доказать:ΔABC= ΔA1B1C1 Доказательство: Так как AB=A1B1, то треугольник A1B1C1 можно наложить на треугольник ABC так, чтобы:1)сторона A1B1 совместилась со стороной AB,2)точки C1 и С лежали по одну сторону от прямой AB. Поскольку ∠A=∠A1, сторона A1С1 при этом наложится на луч AC.Так как ∠B=∠B1, сторона B1C1 наложится на сторону BC. Точка С1 принадлежит как стороне A1С1, так и стороне B1C1, поэтому С1 лежит и на луче AC, и на луче CB. Лучи AC и CB пересекаются в точке C. Следовательно, точка С1 совместится с точкой C. Значит, сторона A1С1 совместится со стороной AC, а сторона B1C1 — со стороной BC. Таким образом, при наложении треугольники ABC и A1B1C1 полностью совместятся. А это означает, что ΔABC= ΔA1B1C1 (по определению).

Второй признак равенства треугольников (задаача)

Третий признак равенства треугольников Теорема(Третий признак равенства треугольников — по трём сторонам) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников (доказательство) Дано:ΔABC,ΔA1B1C1,AB=A1B1, AC=A1C1, BC=B1C1. Доказать:ΔABC= ΔA1B1C1 Доказательство:Приложим треугольник A1B1C1 к треугольнику ABC так, чтобы: вершина A1 совместилась с вершиной A, вершина B1 совместилась с вершиной B, точки C1 и C лежали по разные стороны от прямой AB. При этом возможны три случая взаимного расположения луча CC1 и угла ACB.

Третий признак равенства треугольников (доказательство) I. Луч CC1 проходит внутри угла ACB. Проведём отрезок CC1. По условию AC=A1C1 и BC=B1C1, поэтому треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1. По свойству равнобедренного треугольника, ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C. Если к равным углам прибывать равные углы, то получим равные углы: Таким образом, ∠ACB=∠AC1B. Точки A1 и A, B1 и B совмещены, то есть ∠AC1B и ∠A1C1B1 — один и тот же угол. Для треугольников ABC и A1B1C1 имеем: AC=A1C1, BC=B1C1 (по условию), ∠ACB=∠A1C1B1 (по доказанному). Следовательно, ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Третий признак равенства треугольников (доказательство) II. Луч CC1 проходит внутри угла ACB. Так как AC=A1C1 и BC=B1C1, треугольники ACC1 и BCC1 — равнобедренные с основанием CC1 и ∠ACC1=∠AC1C и ∠BCC1=∠BC1C (как углы при основании). Если из равных углов вычесть равные углы, то получим равные углы: Таким образом, ∠ACB=∠AC1B и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Третий признак равенства треугольников (доказательство) III. Луч CC1 совпадает со стороной угла ACB. По условию BC=B1C1, поэтому треугольник BCC1 — равнобедренный с основанием CC1. Отсюда ∠C1=∠C (как углы при основании) и ΔABC= ΔA1B1C1 (по 1 признаку равенства треугольников).

Повторение материала Задание: 1) назвать по какому признаку мы можем доказать равенство треугольников? 2)что не хватает для того чтобы применить теорему? И почему? 3)какие теоремы из раннее изученного материала мы используем чтобы это доказать?