Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа

Сценарий учебного занятия

Специальность: 09.02.07 Информационные системы и программирования.

Дисциплины: УД 01. Математика, ОП 10. Численные методы.

Курс: 2 курс

Тема занятия: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа.

Форма занятия: Практическое занятие.

Цели занятия:

Образовательная:

– Повторить теоретический материал по теме: «Графики степенных функций».

– Научиться находить интерполяционный многочлен Лагранжа для степенных функций.

Развивающая:

– Развивать умение находить и отбирать нужную информацию, выделять главное, формировать вычислительные навыки, развивать навыки активного слушания и анализа полученной информации.

Воспитательные цели – развитие самоорганизации и самообучения.

Вид занятия: Интегрированный.

Тип занятия: Усвоение нового материала и его применение для решения профессиональных задач.

Оснащение занятия:

- технические средства: Интерактивная панель NexTouch, ноутбуки для студентов.

- раздаточный материал: Листы с печатной основой: инструкционные карты для студентов, лист оценивания.

Время реализации занятия – 2часа.

Литература:

Башмаков М. И. Математика: учебник: Рекомендовано ФГАУ «ФИРО», 2016 г.

Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979.

Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. БИНОМ. Москва Лаборатория знаний 2015г.

Ханова А. А. Интерполяция функций. – Астрахань: Институт информационных технологий и коммуникаций, 2001 г.

Интернет ресурсы:

http://www.elibrary.ru - Научная электронная библиотека (НЭБ).

https://mathematics.ru - Открытый колледж. Математика.

https://onlinetestpad.com – Платформа для создания тестов.

Структура учебного занятия

Ход учебного занятия

Организационный момент:

Здравствуйте. Сегодня у нас необычное занятие. Мы попытаемся объединить знания двух дисциплин: Численных методов и математики - царицы всех наук. Основная идея нашего занятия: способствовать достижению определенного опыта в технологии интегрированного обучения дисциплин математики и численных методов.

Итак, тема нашего занятия: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа (Слайд 1). Какие понятия оперируют в теме занятия (предполагаемые ответы: степенная функция, многочлен.) Какие термины вам не знакомы? (Предполагаемые ответы: интерполирование, многочлен Лагранжа).

Давайте попытаемся сформулировать цель нашего занятия (Слайд 2):

- Научиться находить интерполяционный многочлен Лагранжа для степенных функций.

Ваша работа на занятии будет оцениваться следующим образом (Слайд 3):

Основная часть:

Актуализация знаний.

На занятии по математики мы с вами изучали раздел: Степенные функции и их свойства, учились строить график и прежде чем приступить к взаимосвязи двух дисциплин пройдем компьютерное тестирование по ссылке, которая находится на рабочих столах ваших ноутбуков: Степенная функция - Пройти онлайн тест | Online Test Pad (Слайд 4).

Полученную оценку внесите в лист оценивания.

Все с правились с тестом, молодцы и сейчас мы переходим к изучению нового материала (Дидактический материал №4. Теоретический блок по теме: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа) (Слайд 5, 6).

Для данной функции найти многочлен степени , который при заданных значениях принимал бы значения.

Точки называют узлами интерполяции.

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен - ой степени вида

(1)

и определим коэффициенты так, чтобы выполнялись условия (2)

Положим в формуле (1) ; тогда, принимая во внимание равенства (2),

получим откуда Затем, положив , получим

откуда

Таким же образом найдем … ,

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим

(3)

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Интерполяционную формулу Лагранжа можно записать в виде:

(4)

Выражения (5) называются коэффициентами Лагранжа.

Для вычисления удобно применить следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:

Таблица 1

Обозначив произведение элементов - ой строки через , а произведение элементов главной диагонали через , т.е. Тогда , . (6)

Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде: (7)

Иногда бывает полезно для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если , то .

Если имеет производную - го порядка на отрезке , то погрешность при замене функции многочленом , т.е. величина , удовлетворяет неравенству

(8)

где отрезок содержит все узлы и точку .

Замечание. Многочлен является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.

Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий построение степенной функции с помощью интерполирования многочлена Лагранжа:

Пусть задана функция с помощью таблицы

Необходимо найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.

Решение:

1. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Так как , то . Тогда из формулы (3)

получим

.

2. Подставим в полученную интерполяционную формулу Лагранжа при значения , и получим:

.

3. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

.

Следовательно, искомый интерполяционный многочлен Лагранжа

.

Физкультминутка. Для снятия напряжение на глаз и тела, давайте проведем разминку с помощью небольших упражнений (Слайд 7).

Теперь мы бодры и можем приступать к работе. В закреплении полученных знаний выполним небольшую практическую работу (Дидактический материал № 3. Практическая работа. (Слайд 8.)

Время вышло. Давайте проведем оценивание выполненной работы. Предлагаю сравнить ваши выполненные задания с эталоном, которые вы видите на экране (Слайд 9) и заполнить таблицу оценивания.

Заключительная часть:

Диагностика (слайд 10): В течении всего занятия мы с вами изучили новые понятия, которые помогли выполнить практическую работу. И насколько хорошо вы с этим справились, покажет интерактивный тест, ссылка которого находится на компьютерном столе ваших ноутбуков: https://onlinetestpad.com/htnm7crbghawm

По окончанию тестирования, программа выставит вам оценку, которую вы внесете в оценочный лист.

Подведение итогов занятия:

Мобилизует студентов на рефлексию результатов выполнения практической деятельности. Подводит итоги занятия. Выставляет и комментирует оценки.

Вот и подошло к концу наше занятие. Давайте подведем итоги:

- Чем мы сегодня занимались:

- что нового узнали?

- достигли поставленных целей?

Рефлексия (слайд 11):

В заключении нашего занятия предлагаю назвать предложения, начинающиеся на начальную букву названия пальца руки, имеющие отношение к сегодняшнему занятию (предполагаемые ответы: большую работу мы сегодня проделали; были близки к победе; безукоризненно выполняли задания теста; у меня сложились очень хорошие впечатления об занятии; ух, какие были интересные задания; без интернета — мы никуда!

Домашнее задание (слайд 12): Задать степенную функцию в виде таблицы и построить к ней интерполяционный многочлен Лагранжа.