12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
 
Материал опубликовал
Антонина40
3

Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа

Сценарий учебного занятия


Специальность: 09.02.07 Информационные системы и программирования.

Дисциплины: УД 01. Математика, ОП 10. Численные методы.

Курс: 2 курс

Тема занятия: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа.

Форма занятия: Практическое занятие.

Цели занятия:

Образовательная:

Повторить теоретический материал по теме: «Графики степенных функций».

Научиться находить интерполяционный многочлен Лагранжа для степенных функций.

Развивающая:

Развивать умение находить и отбирать нужную информацию, выделять главное, формировать вычислительные навыки, развивать навыки активного слушания и анализа полученной информации.

Воспитательные цели – развитие самоорганизации и самообучения.

Вид занятия: Интегрированный.

Тип занятия: Усвоение нового материала и его применение для решения профессиональных задач.

Оснащение занятия:

- технические средства: Интерактивная панель NexTouch, ноутбуки для студентов.

- раздаточный материал: Листы с печатной основой: инструкционные карты для студентов, лист оценивания.

Время реализации занятия – 2часа.

Литература:

Башмаков М. И. Математика: учебник: Рекомендовано ФГАУ «ФИРО», 2016 г.

Воробьева, Г.Н. Практикум по численным методам/ Г.Н. Воробьева, А.Н. Данилова, - М.: Высшая школа, 1979.

Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. Численные методы в задачах и упражнениях. БИНОМ. Москва Лаборатория знаний 2015г.

Ханова А. А. Интерполяция функций. – Астрахань: Институт информационных технологий и коммуникаций, 2001 г.

Интернет ресурсы:

http://www.elibrary.ru - Научная электронная библиотека (НЭБ).

https://mathematics.ru - Открытый колледж. Математика.

https://onlinetestpad.com – Платформа для создания тестов.


Структура учебного занятия


п/п

Этапы занятия

Время (мин)

1

I.Организационная часть:

тема, цели занятия;

связь учебного занятия с предыдущими темами;

оценка деятельности и оценка работы на занятии

5 мин





2

3

4

II.Основная часть:

Актуализация знаний.

Изучение нового материала

Разбор образца решения задания


10 мин.

10 мин

15 мин

5

Физкультминутка

2 мин


5

Закрепление и систематизация материала

Выполнение заданий практической работы.

Выставление оценок за практическую работу (самопроверка)


30 мин.


6

7

8

III.Заключительная часть:

Диагностика

Рефлексия

Подведение итогов занятия.

Домашнее задание


13 мин.

3мин


2 мин


Ход учебного занятия


Организационный момент:

Здравствуйте. Сегодня у нас необычное занятие. Мы попытаемся объединить знания двух дисциплин: Численных методов и математики - царицы всех наук. Основная идея нашего занятия: способствовать достижению определенного опыта в технологии интегрированного обучения дисциплин математики и численных методов.

Итак, тема нашего занятия: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа (Слайд 1). Какие понятия оперируют в теме занятия (предполагаемые ответы: степенная функция, многочлен.) Какие термины вам не знакомы? (Предполагаемые ответы: интерполирование, многочлен Лагранжа).

Давайте попытаемся сформулировать цель нашего занятия (Слайд 2):

- Научиться находить интерполяционный многочлен Лагранжа для степенных функций.

Ваша работа на занятии будет оцениваться следующим образом (Слайд 3):

t1703011591aa.png

Основная часть:

Актуализация знаний.

На занятии по математики мы с вами изучали раздел: Степенные функции и их свойства, учились строить график и прежде чем приступить к взаимосвязи двух дисциплин пройдем компьютерное тестирование по ссылке, которая находится на рабочих столах ваших ноутбуков: Степенная функция - Пройти онлайн тест | Online Test Pad (Слайд 4).

Полученную оценку внесите в лист оценивания.


Все с правились с тестом, молодцы и сейчас мы переходим к изучению нового материала (Дидактический материал №4. Теоретический блок по теме: Интерполирование степенных функций с помощью многочлена Лагранжа) (Слайд 5, 6).

Для данной функции t1703011591ab.gif найти многочлен t1703011591ac.gif степени t1703011591ad.gif, который при заданных значениях t1703011591ae.gif принимал бы значенияt1703011591af.gif.

Точки t1703011591ae.gifназывают узлами интерполяции.

В качестве искомого многочлена возьмем многочлен t1703011591ad.gif- ой степени вида

t1703011591ag.gif (1)

и определим коэффициенты t1703011591ah.gif так, чтобы выполнялись условия t1703011591ai.gif (2)

Положим в формуле (1) t1703011591aj.gif; тогда, принимая во внимание равенства (2),

получим t1703011591ak.gif откуда t1703011591al.gif Затем, положив t1703011591am.gif, получим t1703011591an.gif

откуда t1703011591ao.gif

Таким же образом найдем t1703011591ap.gif… ,

t1703011591aq.gif

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим

t1703011591ar.gif

t1703011591as.gif (3)

Эта формула называется интерполяционной формулой Лагранжа.

Интерполяционную формулу Лагранжа можно записать в виде:

t1703011591at.gif (4)

Выражения t1703011591au.gif (5) называются коэффициентами Лагранжа.


Для вычисления t1703011591av.gif удобно применить следующее расположение разностей, подчеркнув разности, расположенные на главной диагонали:

Таблица 1

t1703011591aw.gif

t1703011591ax.gif

t1703011591ay.gif

t1703011591az.gif

t1703011591ba.gif

t1703011591bb.gif

t1703011591bc.gif

t1703011591bd.gif

t1703011591be.gif

t1703011591bf.gif

t1703011591bg.gif

t1703011591bf.gift1703011591bh.gif

t1703011591bi.gif

t1703011591bj.gif

t1703011591bk.gif

t1703011591bl.gif

Обозначив произведение элементов t1703011591bm.gif - ой строки через t1703011591bn.gif, а произведение элементов главной диагонали через t1703011591bo.gif, т.е. t1703011591bp.gif Тогда t1703011591bq.gif, t1703011591br.gif. (6)

Тогда интерполяционная формула Лагранжа компактно запишется в виде: t1703011591bs.gif (7)

Иногда бывает полезно для упрощения вычислений использовать инвариантность коэффициентов Лагранжа относительно линейной подстановки: если t1703011591bt.gif, то t1703011591bu.gif.

Если t1703011591bv.gif имеет производную t1703011591bw.gif - го порядка на отрезке t1703011591bx.gif, то погрешность при замене функции t1703011591bv.gif многочленом t1703011591ac.gif, т.е. величина t1703011591by.gif, удовлетворяет неравенству

t1703011591bz.gif (8)

где отрезок t1703011591bx.gif содержит все узлы t1703011591ca.gif и точку t1703011591cb.gif.

Замечание. Многочлен t1703011591ac.gif является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям.


Давайте рассмотрим пример, иллюстрирующий построение степенной функции с помощью интерполирования многочлена Лагранжа:

Пусть задана функция t1703011591ab.gif с помощью таблицы

x

0

0.1

0.3

0.5

y

-0.5

0

0.2

1

Необходимо найти интерполяционный многочлен Лагранжа для этой функции.





Решение:

1. Найдем интерполяционный многочлен Лагранжа для данной функции. Так как t1703011591cc.gif, то t1703011591cd.gif. Тогда из формулы (3)

t1703011591ar.gif

t1703011591ce.gif

получим

t1703011591cf.gift1703011591cg.gif.

2. Подставим в полученную интерполяционную формулу Лагранжа при t1703011591cd.gif значения t1703011591ch.gif , t1703011591ci.gif и получим: t1703011591cj.gif

t1703011591ck.gif.

3. Упростим полученное выражение и получим искомый интерполяционный многочлен для этой функции.

t1703011591cl.gif

t1703011591cm.gift1703011591cn.gif

t1703011591co.gift1703011591cp.gift1703011591cq.gif

t1703011591cr.gif.

Следовательно, искомый интерполяционный многочлен Лагранжа

t1703011591cs.gif.


Физкультминутка. Для снятия напряжение на глаз и тела, давайте проведем разминку с помощью небольших упражнений (Слайд 7).

Теперь мы бодры и можем приступать к работе. В закреплении полученных знаний выполним небольшую практическую работу (Дидактический материал № 3. Практическая работа. (Слайд 8.)

Время вышло. Давайте проведем оценивание выполненной работы. Предлагаю сравнить ваши выполненные задания с эталоном, которые вы видите на экране (Слайд 9) и заполнить таблицу оценивания.



Заключительная часть:


Диагностика (слайд 10): В течении всего занятия мы с вами изучили новые понятия, которые помогли выполнить практическую работу. И насколько хорошо вы с этим справились, покажет интерактивный тест, ссылка которого находится на компьютерном столе ваших ноутбуков: https://onlinetestpad.com/htnm7crbghawm

По окончанию тестирования, программа выставит вам оценку, которую вы внесете в оценочный лист.


Подведение итогов занятия:

Мобилизует студентов на рефлексию результатов выполнения практической деятельности. Подводит итоги занятия. Выставляет и комментирует оценки.

Вот и подошло к концу наше занятие. Давайте подведем итоги:

- Чем мы сегодня занимались:

- что нового узнали?

- достигли поставленных целей?

Рефлексия (слайд 11):

В заключении нашего занятия предлагаю назвать предложения, начинающиеся на начальную букву названия пальца руки, имеющие отношение к сегодняшнему занятию (предполагаемые ответы: большую работу мы сегодня проделали; были близки к победе; безукоризненно выполняли задания теста; у меня сложились очень хорошие впечатления об занятии; ух, какие были интересные задания; без интернета — мы никуда!


Домашнее задание (слайд 12): Задать степенную функцию в виде таблицы и построить к ней интерполяционный многочлен Лагранжа.



Опубликовано в группе «УРОК.РФ: группа для участников конкурсов»


Комментарии (0)

Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.