КИМы по математике профильного уровня №10

  В ариант № 39

1.   Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

2 .  Вектор с концом в точке имеет координаты Найдите сумму координат точки A.

3.   Если каждое ребро куба увеличить на 5, то его площадь поверхности увеличится на 270. Найдите ребро куба.

4.  Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.

5.  Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

7.   Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале Найдите точку экстремума функции на отрезке

9.  Автомобиль, масса которого равна m  =  2000 кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаётся неизменным, и проходит за это время путь S  =  1000 метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю (тяги двигателя), равно Определите время после начала движения автомобиля, за которое он пройдет указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, равна 1600 Н. Ответ выразите в секундах.

10.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15 часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

11.  На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14.  В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона AB основания равна 8, а боковое ребро AA1 равно На рёбрах BC и C1D1 отмечены точки K и L соответственно, причём BK  =  C1L  =  2. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки K и L.

а)  Докажите, что прямая A1C перпендикулярна плоскости γ.

б)  Найдите расстояние от точки B до плоскости γ.

15.  Решите неравенство:

16.  15 декабря планируется взять кредит в банке на 480 тысяч рублей на 27 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15‐го числа первые два месяца и последний долг должен уменьшиться на m тысяч рублей, все остальные месяцы долг должен быть меньше долга на 15‐е число предыдущего месяца на n тысяч рублей.

Найдите отношение если всего банку будет выплачено 656,4 тысяч рублей?

17.  Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке O, BC и AD  — основания трапеции.

а)  Докажите, что

б)  Найдите площадь трапеции, если AD  =  4BC,

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок [0; 1].

19.  За новогодним столом дети ели бутерброды и конфеты, причем каждый что-то ел, и может быть так, что кто-то ел и то и другое. Известно, что мальчиков, евших бутерброды, было не более чем от общего числа детей, евших бутерброды, а мальчиков, евших конфеты, было не более от общего числа детей, евших конфеты.

а)  Могло ли за столом быть 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

б)  Какое наибольшее количество мальчиков могло быть за столом, если дополнительно известно, что всего за столом было 25 детей?

в)  Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа детей без дополнительного условия пунктов а и б?

Вариант № 65959883///39

Вариант № 40

1.  Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

2.  Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 4 и 10. Найдите скалярное произведение векторов  и 

3.   Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 54. Найдите ребро куба.

4.  В сборнике билетов по философии всего 50 билетов, в 11 из них встречается вопрос по теме "Пифагор". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Пифагор".

5.  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

6.  Решите уравнение

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображён график   — производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?

9.  Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 700 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

10.  Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 12 км/ч больше скорости другого?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Правильные треугольники ABC и ABM лежат в перпендикулярных плоскостях, Точка P  — середина AM, а точка T делит отрезок BM так, что BT : TM  =  3 : 1.

а)  Докажите, что плоскость делит высоту MD треугольника AMB в отношении 1:2, считая от точки M.

б)  Вычислите объём пирамиды MPTC.

15.  Решите неравенство:

16.  Виктор планирует 15 декабря взять в банке кредит на 2 года в размере 1 962 000 рублей. Сотрудник банка предложил Виктору два различных варианта погашения кредита, описание которых приведено в таблице.

На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат банку по более выгодному для Виктора варианту погашения кредита?

17.  Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M. Известно, что AC  =  3MB.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите сумму квадратов медиан AA1 и CC1, если известно, что AC = 10.

18.  Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19.  Каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9 по одному записывают на 8 карточках. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, −2, −3, 4, −5, 7, −8, 9. После этого числа на каждой карточке складывают, а полученные восемь сумм перемножают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Вариант № 65965115///40

Вариант № 41

1.  В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC  =  3. Найдите высоту CH.

2.  Длины векторов и равны и 5, а угол между ними равен 150°. Найдите скалярное произведение

3.  Вершина A куба с ребром является центром сферы, проходящей через точку Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину

4.  Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова вероятность того, что оно делится на 3?

5.  Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к детской площадке.

6.  Найдите корень уравнения:

7.  Найдите значение выражения

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону где x  — расстояние от точки отсчёта в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/c?

9.  Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a  =  0,7 м/с2. Скорость υ вычисляется по формуле , где l  — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 35 м/с.

10.  Два человека отправляются одновременно из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,2 км от дома. Первый идёт со скоростью 2,5 км/ч, а второй  — со скоростью 4,5 км/ч. Дойдя до опушки, второй разворачивается и с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча? Ответ дайте в километрах.

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 через середину M диагонали AC1 проведена плоскость α перпендикулярно этой диагонали, AB  =  5, BC  =  3 и AA1  =  4.

а) Докажите, что плоскость α содержит точку D1.

б) Найдите отношение, в котором плоскость делит ребро A1B1.

15.  Решите неравенство:

16.  В банк помещен вклад 64 000 рублей под 25% годовых. В конце каждого из первых трех лет после начисления процентов вкладчик дополнительно клал на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что вклад составляет 385 000 рублей. Какую сумму в рублях ежегодно добавлял вкладчик?

17.  Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, что в ABCD можно вписать окружность.

а)  Докажите, что отрезки AC и BD перпендикулярны.

б)  Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC  =  26 и BD  =  24.

18.  Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение

 

на промежутке имеет более двух корней.

19.  Возрастающие арифметические прогрессии и состоят из натуральных чисел.

а)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

б)  Существуют ли такие прогрессии, для которых ?

в)  Какое наибольшее значение может принимать произведение если ?

Вариант № 65975989///41

Вариант № 42

1.  В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  9,6, Найдите AC.

2.  На координатной плоскости изображены векторы и Найдите скалярное произведение

3.   В куб вписан шар радиуса 7. Найдите объем куба.

4.  За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

5.  Стрелок при каждом выстреле поражает мишень с вероятностью 0,3, независимо от результатов предыдущих выстрелов. Какова вероятность того, что он поразит мишень, сделав не более 3 выстрелов?

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.

9.  Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле Определите месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет равна 1 000 000 руб.

10.  Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  12 и Длины боковых рёбер пирамиды SA  =  5, SB  =  13, SD  =  10.

а)  Докажите, что SA  — высота пирамиды.

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости SBC.

15.  Решите неравенство:

16.  Предприниматель взял в банке кредит 500 тысяч рублей на 4 года. Условия погашения кредита таковы: по прошествии каждого года банк начисляет 20% на долг, который имеет предприниматель на конец этого года. После этого предприниматель вносит ежегодный платёж, который одинаков во все годы, кроме четвёртого, в котором платёж равен 163,2 тыс. руб., и этим закрывается кредит. Какую сумму ежегодных платежей внёс предприниматель в банк при погашении этого кредита за 4 года?

17.  Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, причем и точка M внутри трапеции, такая, что

а)  Докажите, что АM = DM.

б)  Найдите угол BAD, если угол CDA равен 50°, а высота, проведённая из точки M к АD, равна BC.

18.  Найдите все значения параметра b, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение на отрезке [−2; 2].

19.  Даны n различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию

а)  Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18?

б)  Каково наибольшее значение n, если сумма всех данных чисел меньше 800?

в)  Найдите все возможные значения n, если сумма всех данных чисел равна 111.

Вариант № 65979024///42