КИМы по математике профильного уровня №2

Вариант № 7

1.  В треугольнике ABC угол ACB равен °, угол B равен °, CD  — медиана. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

2 .  Стороны правильного треугольника ABC равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и

3.  Высота конуса равна 21, а длина образующей  — 75. Найдите диаметр основания конуса.

4.  На конференцию приехали 2 ученых из Польши, 3 из Бельгии и 5 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что девятым окажется доклад ученого из Бельгии.

5.  Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе: игроки случайным образом разбиваются на игровые пары; проигравший в каждой паре выбывает из турнира, а победитель выходит в следующий тур, где встречается со следующим противником, который определён жребием. Всего в турнире участвует 16 игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна 0,5. Среди игроков два друга – Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

7.  Найдите значение выражения

8.  Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

9 .  В телевизоре ёмкость высоковольтного конденсатора  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением (с), где   — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 25,2 с. Ответ дайте в киловольтах.

10.  Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 250 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?

11.   На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

14.  Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9. Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M  — середина ребра SB, точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD  =  7 : 2.

а)  Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM  — равнобедренная трапеция.

б)  Вычислите длину средней линии этой трапеции.

15.  Решите неравенство:

16.  Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не большее 270 тысяч рублей?

17.  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а)  Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

19.  Пусть q  — наименьшее общее кратное, а d  — наибольший общий делитель натуральных чисел x и y, удовлетворяющих равенству 3x = 8y − 29.

а)  Может ли быть равным 170?

б)  Может ли быть равным 2?

в)  Найдите наименьшее значение

Вариант № 56710824///7

Вариант № 8

1.  В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, Найдите BH.

2.  Найдите длину вектора

3.  Н айдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, прямоугольного параллелепипеда у которого

4.  Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 60 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 33 выступления, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

6.  Найдите корень уравнения: В ответе запишите наибольший отрицательный корень.

7 .  Найдите если  при

8.  На рисунке изображён график некоторой функции Функция   — одна из первообразных функции  Найдите площадь закрашенной фигуры.

9 .  По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна где   — ЭДС источника (в вольтах),  Ом  — его внутреннее сопротивление, R  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более от силы тока короткого замыкания ? (Ответ выразите в омах.)

10.  На изготовление 575 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 600 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый рабочий?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD проведено сечение через середины рёбер AB и BC и вершину S.

а)  Докажите, что плоскость сечения делит отрезок DB в отношении считая от вершины D.

б)  Найдите площадь этого сечения, если боковое ребро пирамиды равно 5, а сторона основания равна 4.

15.  Решите неравенство

16.  1 января 2015 года Тарас Павлович взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая  — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем Тарас Павлович переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Тарас Павлович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

17.  В треугольнике ABC проведены биссектрисы BM и CN. Оказалось, что точки B, C, M и N лежат на одной окружности.

а)  Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б)  Пусть P  — точка пересечения биссектрис этого треугольника. Найдите площадь четырёхугольника AMPN, если и BN  =  12.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19.  На доске написано N различных натуральных чисел, каждое из которых не превосходит 99. Для любых двух написанных на доске чисел a и b, таких, что a < b, ни одно из написанных чисел не делится на b – a, и ни одно из написанных чисел не является делителем числа b – a.

а)  Могли ли на доске быть написаны какие-то два числа из чисел 18, 19 и 20?

б)  Среди написанных на доске чисел есть 17. Может ли N быть равно 25?

в)  Найдите наибольшее значение N.

Вариант № 56736062///8

Вариант № 9

1.   Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а ее площадь равна 40. Найдите периметр трапеции.

2 .  Вектор с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки A.

3.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

4.  Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 спортсменов, среди которых 17 спортсменов из России, в том числе Денис Полянкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Денис Полянкин будет играть с каким-либо спортсменом из России.

5.  В коробке 9 синих, 4 красных и 12 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

6 .  Найдите корень уравнения

7.  Найдите если

8.   На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка   принимает наибольшее значение.

9.  Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 95 до 115 см, а расстояние от линзы до экрана  — в пределах от 140 до 160 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение

Н а каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким? Ответ выразите в сантиметрах.

10.  Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 100 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час 15 минут позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите a.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильном тетраэдре ABCD М  — середина ребра AD.

а)  Докажите, что проекция точки M на плоскость BCD делит высоту DN треугольника BCD в отношении 1 : 2, считая от вершины D.

б)  Найдите угол между медианой BM грани ABD и плоскостью BCD.

15.  Решите неравенство:

16.  В июле клиент планирует взять кредит в банке на сумму 28 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планирует клиент взять кредит, если наибольший годовой платёж составит 9 млн рублей?

17.  В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке M , причём AM  =  5R и CM  =  1,5R.

а)  Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

б)  Найдите расстояние между центрами его вписанной и описанной окружностей, если известно, что R  =  4.

18.  Найти все значения a, при каждом из которых функция

имеет хотя бы одну точку максимума.

19.  а)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

б)  Можно ли в числителе и знаменателе дроби вместо всех знаков * так расставить знаки + и −, чтобы эта дробь стала равна

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение если всевозможными способами заменять каждый из знаков * на + или −?

Вариант № 56804943///9

Вариант № 10

1.  О снования равнобедренной трапеции равны 4 и 16. Синус острого угла трапеции равен 0,6. Найдите боковую сторону.

2 .  Найдите длину вектора

3.   В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ребро BC  =  4, ребро ребро BB1  =  4. Точка K  — середина ребра CC1. Найдите площадь сечения, проходящего через точки B1, A1 и K.

4.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй  — решка).

5 .  Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что «Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции Найдите количество точек минимума функции принадлежащих интервалу (−4; 7).

9.  На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: где − постоянная, r − радиус аппарата в метрах, кг/м3 − плотность воды, а g − ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336 000 Н? Ответ выразите в метрах.

1 0.  Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 560 км тратит времени на 4 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 2, сторона основания равна 1.

а)  Докажите, что точки и B равноудалены от плоскости

б)  Найдите расстояние от точки B1 до прямой AC1.

15.  Решите неравенство:

16.  Взяли кредит в банке на сумму 200 000 рублей под r% процентов годовых и выплатили за 2 года платежами 130 000 рублей в первый год и 150 000 рублей  — во второй. Найдите r.

17.  Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а)  Докажите, что

б)  Найдите расстояние от центра окружности, описанной около треугольника ABC, до стороны BC, если и

18.  Найти все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

19.  На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Вариант № 56804961///10