КИМы по математике профильного уровня №3

Вариант № 11

1.  В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH  — высота, Найдите BH.

2.  Найдите длину вектора

3.  Объем треугольной пирамиды равен 30. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 7:8, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

4.  Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  При изготовлении подшипников диаметром 69 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,967. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 68,99 мм или больше чем 69,01 мм.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображен график производной функции  определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции В ответе укажите длину наибольшего из них.

9.  При температуре рельс имеет длину При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону где − коэффициент теплового расширения, − температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 3,6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

10.  Первая труба пропускает на 10 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 200 литров она заполняет на 10 минут дольше, чем вторая труба?

11.  На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все его корни, принадлежащие отрезку

14.  Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 4 : 7.

а)  Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 33 : 32, считая от вершины конуса.

б)  Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 13.

15.  Решите неравенство:

16.  4 декабря 2020 года Ваня взял кредит на сумму 3 млн рублей. Условия возврата кредита таковы:

— 3‐го числа каждого месяца долг возрастает на 10%;

— с 4‐го по 25‐е число каждого месяца, начиная с января 2021 года, необходимо погасить часть долга одним платежом;

— в период с 04.01.2021 по 25.01.2021 необходимо заплатить x тыс. руб.;

— с февраля по ноябрь 2021 года 26‐го числа каждого месяца долг (вместе с начисленными процентами) должен быть меньше долга на 26‐е число предыдущего месяца на одну и ту же величину;

— в период с 04.12.2021 по 25.12.2021 необходимо заплатить x тыс. руб.;

— к 26.12.2021 кредит должен быть полностью погашен.

Общая сумма выплат составит 5,06 млн руб. Найдите x.

17.  Дана трапеция ABCD, где AB = BC = CD, точка E лежит на плоскости так, что BE ⊥ AD и CE ⊥ BD

а)  Докажите, что углы AEB и BDA равны.

б)  Найдите площадь трапеции, если AB = 50, а

18.  Найдите все значения x, при которых равенство:

выполняется при любом значении параметра a.

19.  Егор делит линейку на части. За одно действие он может отрезать от любого количества линеек равные части, имеющие целую длину.

а)  Может ли Егор за 4 хода разделить линейку длиной в 16 см на части по 1 см?

б)  Может ли Егор за 5 ходов разделить линейку длиной в 100 см на части по 1 см?

в)  За какое наименьшее количество ходов Егор может разделить линейку длиной в 300 см на части по 1 см?

Вариант № 56867273///11

Вариант № 12

1 .  Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

2 .  Найдите длину вектора

3.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

4.  Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 80 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку  — 0,8, по иностранному языку  — 0,7 и по обществознанию  — 0,5.

Найдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения если

8 .   На рисунке изображён график   — производной функции Найдите наименьшую абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой y  =  6 − 4x или совпадает с ней.

9.  Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

10.  Первый и второй насосы, работая вместе, наполняют бассейн за 80 минут, второй и третий, работая вместе,  — за 90 минут, а первый и третий, работая вместе,  — за 240 минут. За сколько минут заполнят бассейн все три насоса, работая вместе?

11.  Н а рисунке изображён график функции Найдите b.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 1. Точка T  — середина ребра AD.

а)  Докажите, что плоскость A1BT делит объем куба в отношении 1 : 11.

б)  Найдите расстояние от вершины A до плоскости A1BT.

15.  Решите неравенство:

16.  В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S  — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

 

 

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 4 млн рублей.

17.  Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходит через через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P.

а)  Докажите, что прямые PQ и BC параллельны.

б)  Известно, что sinAOC = Прямые PC и AQ пересекаются в точке K. Найдите отношение QK:KA.

18.  Найдите все значения параметра а, при которых система неравенств

имеет ровно одно решение.

19.  На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Вариант № 57006634///12

Вариант № 13

1.  У треугольника со сторонами 15 и 5 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 1. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

2 .  Длина вектора равна угол между векторами и равен 45°, а скалярное произведение равно 12. Найдите длину вектора

3.   В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и

4.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5  — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

5 .  Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,04. Покупатель в магазине выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность того, что обе батарейки окажутся исправными.

6.  Решите уравнение

7.  Найдите значение выражения

8.   Дан график функции касательная в точке с абсциссой x0. Найти значение производной функции в x0.

9.  Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия  — монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

1 0.  Первая труба пропускает на 8 литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 660 литров она заполняет на 11 минут дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 570 литров?

11.  На рисунке изображён график функции где числа a, b и c  — целые. Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 точка M является серединой ребра BB1, а точка N  — середина ребра A1C1. Плоскость α, параллельная прямым AM и B1N, проходит через середину отрезка B1M.

a)  Докажите, что плоскость α проходит через середину отрезка B1C1.

б)  Найдите площадь сечения призмы ABCA1B1C1плоскостью α , если все ребра этой призмы равны 4.

15.  Решите неравенство:

16.  15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r  — целое число;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

 

 

Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

17.  Дан треугольник АВС. Точка О  — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.

а)  Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.

б)  Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС  =  6.

18.  Найдите все значения a, для каждого из которых уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [−1; 1).

19.  Семь экспертов оценивают кинофильм. Каждый из них выставляет оценку  — целое число баллов от 1 до 15 включительно. Известно, что все эксперты выставили различные оценки. По старой системе оценивания рейтинг кинофильма  — это среднее арифметическое всех оценок экспертов. По новой системе оценивания рейтинг кинофильма вычисляется следующим образом: отбрасываются наименьшая и наибольшая оценки и подсчитывается среднее арифметическое пяти оставшихся оценок.

а)  Может ли разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  —

б)  Может ли эта разность рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, равняться  —

в)  Найдите наибольшее возможное значение разности рейтингов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Вариант № 57006823///13

Вариант № 14

1 .  В треугольнике ABC угол C равен 90°, Найдите BC.

2 .  Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 12 и 16. Найдите длину вектора  + 

3.  Найдите объем V конуса, образующая которого равна 44 и наклонена к плоскости основания под углом 30°. В ответе укажите

4.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 3 спортсмена из Македонии, 9 спортсменов из Сербии, 8 спортсменов из Хорватии и 10  — из Словении. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Сербии.

5.  Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок первые 3 раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до тысячных.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  Ф ункция определена и непрерывна на полуинтервале На рисунке изображен график её производной. Найдите промежутки возрастания функции В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

9 .  Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол  с направлением движения шарика. Значение индукции поля  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем  Н? Ответ дайте в градусах.

10.  Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14.  Точка O  — центр грани ABCD куба ABCDA1B1C1D1. На рёбрах AD и C1D1 отмечены соответственно точки M и N так, что DM  =  D1N  =  AO.

а)  Докажите, что прямая MN образует с плоскостью DCC1 угол 30°.

б)  Найдите угол между плоскостями MNO и DCC1.

15.  Решите неравенство:

16.  Агата Артуровна взяла кредит в банке на 4 года на сумму 7 320 000 рублей. Условия возврата кредита таковы: в конце каждого года банк увеличивает текущую сумму долга на 20%. Агата Артуровна хочет выплатить весь долг двумя равными платежами ― в конце второго и четвертого годов. При этом платежи в каждом случае выплачиваются после начисления процентов. Сколько рублей составит каждый из этих платежей?

17.  В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на стороне BC, а вершина E  —  на стороне AB.

а)  Докажите, что FH = 2DH.

б)  Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 2.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

не имеет решений.

19.  У Вани есть несколько пакетов с вещами, каждый из которых весит целое число килограммов. Он хочет разложить все эти пакеты, не перекладывая их содержимое, по n имеющимся у него одинаковым рюкзакам. В каждый рюкзак можно положить любое число пакетов, суммарная масса которых не превосходит m килограммов.

а)  Сможет ли Ваня разложить таким образом семь пакетов, которые весят 3, 6, 9, 12, 15, 18 и 21 кг, если n  =  3 и m  =  29?

б)  Сможет ли Ваня разложить таким образом семь пакетов, которые весят 2, 5, 8, 11, 14, 17 и 20 кг, если n  =  3 и m  =  26?

в)  Какое наименьшее значение может принимать m, чтобы Ваня при n  =  4 смог разложить таким образом девять пакетов, которые весят 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 и 19 кг?

Вариант № 57007032///14