КИМы по математике профильного уровня №4

Вариант № 15

1 .  Н айдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

2.  На координатной плоскости изображены векторы и Найдите скалярное произведение

3.  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно 22, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен Найти сторону основания пирамиды.

4.  В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в 16 из них встречается вопрос по теме "Петр Первый". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Петр Первый".

5.  Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов  — математика, русский язык и обществознание.

Вероятность того, что абитуриент З. получит не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку  — 0,8, по иностранному языку  — 0,7 и по обществознанию  — 0,5.

Н айдите вероятность того, что З. сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции   — одной из первообразных некоторой функции определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

9.  Катер должен пересечь реку шириной м и со скоростью течения м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением где − острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

10.  Завод получил заказ на партию штампованных деталей. Один автомат может отштамповать все детали за 19 часов. Через 1 час после того, как первый автомат начал штамповать детали, начал работу второй такой же автомат, и оставшиеся детали были распределены между двумя автоматами поровну. Сколько всего часов потребовалось на выполнение этого заказа?

11.  Н а рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14.  Сторона правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8. Высота этой призмы равна 6.

а)  Докажите, что плоскость, содержащая прямую и параллельная прямой делит пополам ребро

б)  Найти угол между прямыми CA1 и AB1.

15.  Решите неравенство

16.  Вклад в размере 10 млн руб. планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает размер вклада на 10 %. Кроме того в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на x млн руб., где x  — целое число. Найдите наименьшее значение x, при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн руб.

17.  Точка О  — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На продолжении отрезка AO за точку О отмечена точка K так, что BK = OK.

а)  Докажите, что четырехугольник ABKC вписанный.

б)  Найдите длину отрезка AO, если известно, что радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны 5 и 15 соответственно, а OK = 8.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два решения.

19.  Рассмотрим частное трёхзначного числа, в записи которого нет нулей, и произведения его цифр.

а)  Приведите пример числа, для которого это частное равно

б)  Может ли это частное равняться

в)  Какое наибольшее значение может принимать это частное, если оно равно несократимой дроби со знаменателем 27?

Вариант № 57092349///15

Вариант № 16

1 .   Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30°. Боковая сторона треугольника равна 45. Найдите площадь этого треугольника.

2.  Стороны правильного треугольника ABC равны 35. Найдите скалярное произведение векторов  и 

 

3.  Объем куба равен 96. Найдите объем четырехугольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной  — центр куба.

4.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что наступит исход ООР (в первый и второй разы выпадает орёл, в третий  — решка).

5.  На рисунке показано дерево некоторого случайного эксперимента. Событию A благоприятствуют элементарные события a, b и c, а событию B благоприятствуют элементарные события b, c и d. Найдите — условную вероятность события A при условии B.

6.  Найдите корень уравнения:

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график   — производной функции f(x), определённой на интервале (−6; 6). В какой точке отрезка [−5; −1] функция f(x) принимает набольшее значение?

9.  Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте h м над землёй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле где R  =  6400 км  — радиус Земли. Человек, стоящий на холме, видит горизонт на расстоянии 8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 11,2 километров?

10.  Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.

а)  Докажите, что плоскости AA1D1 и DB1F1 перпендикулярны.

б)  Найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1.

15.  Решите неравенство:

16.  Фермер получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год фермер в счет погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он должен банку к этому времени, а еще через год в счет полного погашения кредита он внес в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

17.  Окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается ее боковых сторон AB и CD в точках М и N соответственно. Известно, что и

а)  Докажите, что

б)  Найдите длину отрезка MN, если радиус окружности равен

18.  Найдите все значения параметра a, при которых уравнение не имеет решений.

19.  Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1105?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1106?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 1503?

Вариант № 57092430///16

Вариант № 17

1.  Хорда AB стягивает дугу окружности в 70°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

2.  Найдите длину вектора

3.  В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если её перелить в другой сосуд такой же формы, у которого сторона основания в 2 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в сантиметрах.

4.  В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме «Реки и озёра». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Реки и озёра».

5.  Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с вероятностью 0,5. Если А. играет чёрными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,32. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения при

8.  Прямая параллельна касательной к графику функции Найдите абсциссу точки касания.

9.  Небольшой мячик бросают под острым углом α к плоскости горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле (м), где υ0 = 12 м/с  — начальная скорость мячика, а g  — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2). При каком наименьшем значении угла α (в градусах) мячик перелетит через реку шириной 7,2 м?

10.  Плиточник планирует уложить 175 м2 плитки. Если он будет укладывать на 10 м2 в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 2 дня раньше. Сколько квадратных метров плитки в день планирует укладывать плиточник?

11.   На рисунке изображён график функции вида где числа a, b и c  — целые. Найдите значение

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной пирамиде MABC с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра 10. На ребре AC находится точка D, на ребре AB находится точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что AD  =  AE  =  LM  =  4.

а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки E, D и L, проходит еще и через центр основания пирамиды.

б)  Найдите площадь сечения пирамиды этой плоскостью.

15.  Решите неравенство:

16.  15-го декабря планируется взят кредит в банке на 1200 тысяч рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 400 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n+1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1288 тысяч рублей.

17.  К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно.

а)   Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата.

б)  Прямая MN пересекает прямую BC в точке P. В каком отношении делит сторону AB (считая от точки B) прямая, проходящая через точку P и центр окружности, если AN : ND  =  1 : 2.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет единственный корень на отрезке [−2; 2].

19.  На доске написано более 42, но менее 56 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно 4, среднее арифметическое всех положительных из них равно 14, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно

а)  Сколько чисел написано на доске?

б)  Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных?

в)  Какое наибольшее количество отрицательных чисел может быть среди них?

Вариант № 57092527///17

Вариант № 18

1.  В треугольнике АВС угол С равен 90°, Найдите высоту СН.

2.  Найдите длину вектора

3.   Через среднюю линию основания треугольной призмы, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 37.

4.  Фабрика выпускает сумки. В среднем 5 сумок из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

5.  При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 1 очко?

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график производной функции y = f(x). При каком значении x эта функция принимает свое наибольшее значение на отрезке [−4; −2]?

9.  Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна где m  — масса воды в килограммах, υ   — скорость движения ведeрка в м/с, L  — длина верeвки в метрах, g  — ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с.

10.  Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 104 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 5 часов. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите a.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения на интервале

14.  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 4, боковые рёбра равны 7, точка D  — середина ребра BB1.

а)  Пусть прямые C1D и BC пересекаются в точке E. Докажите, что угол EAC  — прямой.

б)  Найдите угол между плоскостями ABC и ADC1.

15.  Решите неравенство:

16.  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая  — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

17.  На стороне острого угла с вершиной A отмечена точка B. Из точки B на биссектрису и другую сторону угла опущены перпендикуляры BC и BD соответственно.

а)  Докажите, что

б)  Прямые AC и BD пересекаются в точке T найдите отношение если

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

19.  На доске записаны числа 1, 2, 3, …, 27. За один ход разрешается стереть произвольные три числа, сумма которых меньше 31 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стертых на предыдущих ходах.

а)  Можно ли сделать 4 хода?

б)  Можно ли сделать 9 ходов?

в)  Какое наибольшее число ходов можно сделать?

Вариант № 57093622///18