КИМы по математике профильного уровня

Вариант № 19

1.   Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 138.

2 .  Найдите квадрат длины вектора  +

3 .  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O − центр основания, S − вершина, Найдите длину отрезка

4.  Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 21 выступление, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 3 очка?

6 .  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

9.  К источнику с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

1 0.  Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [0,3; 3].

13.  а)  Решите уравнение:

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14.  Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса  — треугольник с углом 120° при вершине М. Образующая конуса равна Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

а)  Докажите, что получившийся в сечении треугольник  — тупоугольный.

б)  Найдите расстояние от центра О основания конуса до плоскости сечения.

15.  Решите неравенство

16.  Бригаду из 30 рабочих нужно распределить по двум объектам. Если на первом объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки 200p рублей. Если на втором объекте работает p человек, то каждый из них получает в сутки (50p + 300) руб. Как нужно распределить рабочих по объектам, чтобы их суммарная суточная зарплата оказалась наименьшей? Сколько рублей в этом случае придётся заплатить за сутки всем рабочим?

17.  Окружность проходит через вершины A, B и D параллелограмма ABCD и пересекает BC и CD в точках E и K соответственно.

а)  Докажите, что отрезки AE и AK равны.

б)  Найдите AD, если CE  =  48, DK  =  20,

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

не имеет решений.

19.  Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше:

а)  80;

б)  82;

в)  81.

 

 

 

Вариант № 57246852///19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 20

1.  Х орда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

2.  Найдите длину вектора (6; 8).

3 .  В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

4.  Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут.

5 .  Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Т. верно решит больше 8 задач, равна 0,76. Найдите вероятность того, что Т. верно решит ровно 8 задач или меньше.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y  =  3x или совпадает с ней.

9.  Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 25 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 5 раз?

10.  Моторная лодка прошла против течения реки 99 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение:

б)  Определите, какие из его корней принадлежат отрезку

14.  В правильной треугольной пирамиде SABC боковое ребро SA = 2, а сторона основания AB = 3. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB перпендикулярно ребру SC .

15.  Решите неравенство

16.  В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

17.  На стороне АВ выпуклого четырехугольника АВCD выбрана точка М так, что и Утроенный квадрат отношения расстояния от точки А до прямой CD к расстоянию от точки С до прямой AD равен 2, СD  =  20.

а)  Докажите, что треугольник ACD равнобедренный.

б)  Найдите длину радиуса вписанной в треугольник АСD окружности.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

19.  Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 11, а сумма которых больше 110, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 110, но больше: 

а)  99;

б)  101;

в)  100.

 

Вариант № 57247012///20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 21

1 .   В треугольнике ABC угол C равен 90°, Найдите AB.

2.  Найдите угол между векторами  и Ответ дайте в градусах.

3 .   Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого Ответ дайте в градусах.

4.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что решка выпадет все три раза.

5.  В городе 42 % взрослого населения  — мужчины. Пенсионеры составляют 9,2 % взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 5 %. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».

6 .  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

7.  Найдите значение выражения

8.  Функция определена на промежутке На рисунке изображен график ее производной. Найдите абсциссу точки, в которой функция принимает наибольшее значение.

9.  Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 2 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 32 раза?

1 0.  Турист идет из одного города в другой, каждый день проходя больше, чем в предыдущий день, на одно и то же расстояние. Известно, что за первый день турист прошел 9 километров. Определите, сколько километров прошел турист за шестой день, если весь путь он прошел за 7 дней, а расстояние между городами составляет 105 километров.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  a)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые рёбра равны 3. На ребре AA1 отмечена точка E так, что AE : EA1  =  1 : 2.

а)  Докажите, что точки A и равноудалены от плоскости BED1.

б)  Найдите угол между плоскостями ABC и BED1.

15.  Решите неравенство:

16.  Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн рублей, где х  — целое число. Найдите наибольшее значение х, при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

17.  Дан треугольник ABC со сторонами и Точки M и N  — середины сторон AB и AC соответственно.

а)  Докажите, что окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одной из средних линий.

б)  Найдите общую хорду окружностей, одна из которых вписана в треугольник ABC, а вторая описана около треугольника AMN.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых наименьшее значение функции больше, чем

19.  Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 57247122///21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 22

1.  В треугольнике АВС угол С равен 90°, Найдите СН.

2.  Найдите длину вектора

3.  Площадь боковой поверхности треугольной призмы равна 43. Через среднюю линию основания призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсечённой треугольной призмы.

4.  В группе туристов 6 человек. С помощью жребия они выбирают трёх человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист К., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?

5.  При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка?

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

9.  Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 32 километра? Ответ выразите в километрах.

1 0.  Пристани A и B расположены на озере, расстояние между ними 270 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из A в B. На следующий день после прибытия она отправилась обратно со скоростью на 1 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 3 часа. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость баржи на пути из A в B. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 12, а боковое ребро SA равно 17. На ребрах АВ и SB отмечены точки K и L соответственно, причем Плоскость α проходит через точки К, L и С.

а)  Докажите, что плоскость α перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

б)  Найдите расстояние от вершины пирамиды S до плоскости α.

15.  Решите неравенство:

16.  Владимир является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 2t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 5t единиц товара.

За каждый час работы (на каждом из заводов) Владимир платит рабочему 500 рублей. Владимиру нужно каждую неделю производить 580 единиц товара. Какую наименьшую сумму придется тратить еженедельно на оплату труда рабочих?

17.  Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а)  Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б)  Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пересечения отрезков AD и CK.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше 2.

19.  Первый набор чисел состоит из чисел Второй набор состоит из чисел Числа разбиты на пары. В каждой паре на первом месте  — число из первого набора, а на втором  — число из второго. В каждой паре два числа умножили друг на друга и полученные произведения сложили.

а)  Может ли полученная сумма делиться на 9?

б)  Может ли полученная сумма быть больше 1 000 000?

в)  Найдите наименьшее возможное значение полученной суммы.

 

Вариант № 57247249///22