КИМы по математике профильного уровня №6 (11 класс)

Вариант № 23

1.  В треугольнике ABC AC  =  BC, AB  =  22, Найдите AC.

2.  Диагонали ромба ABCD равны 40 и 42. Найдите длину вектора

3.   Высота конуса равна 12, образующая равна 15. Найдите его объем, деленный на

4.  В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что наступит исход ОР (в первый раз выпадает орёл, во второй  — решка).

5.  В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,18. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

6.  Найдите корень уравнения

7 .  Найдите значение выражения если

8.  На рисунке изображён график функции одной из первообразных некоторой функции определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

9.  При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и равна: где c  — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с  — скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота f сигнала в приёмнике будет равна 125 Гц?

10.  Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй  — 12% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите b.

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Конус и полусфера имеют общее основание, радиус которого относится к высоте конуса как 1 : 3.

а)  Докажите, что поверхность полусферы делит образующую конуса в отношении 4 : 1, считая от вершины конуса.

б)  Найдите площадь поверхности полусферы, находящейся внутри конуса, если радиус их общего основания равен 5.

15.  Решите неравенство:

16.  В начале 1977 года Алишер положил в пустой сейф 1 млн руб. В начале каждого последующего года он вынимает из сейфа m% имеющихся там рублей. При каком значении m он вынет из сейфа в начале 1982 года максимальную сумму?

17.  В остроугольном треугольнике ABC, Высоты BN и CM треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка O  — центр окружности, описанной около

а)  Докажите, что

б)  Найдите площадь если

18.  Найдите все значения параметра a, при которых уравнение не имеет решений.

19.  Для любого натурального числа n (n ≥ 1) обозначим через O(n) количество нечётных цифр в десятичной записи этого числа. Например, O(123)  =  2, а O(2048)  =  0.

а)  Существует ли такое натуральное число n, что O(2 · n)  =  O(n) + 2?

б)  Существует ли такое натуральное число n, что O(5n + 2n − 1) > n?

в)  Для какого наименьшего натурального числа n выполнено неравенство O(11 · n) > 2 · O(n)?

Вариант № 57437169///23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 24

1.  В треугольнике ABC угол C равен Найдите

2.  Вектор с началом в точке имеет координаты Найдите абсциссу точки B.

3.  Ш ар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.

4.  Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 3, но не дойдя до отметки 6.

5.  При изготовлении подшипников диаметром 68 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,968. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше, чем 67,99 мм, или больше, чем 68,01 мм.

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

7.  Найдите значение выражения если

8.  На рисунке изображен график функции определенной на интервале Определите количество целых точек, в которых производная функции  отрицательна.

9.  При температуре рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону где   — коэффициент теплового расширения,   — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

10.  Один мастер может выполнить заказ за 40 часов, а другой  — за 24 часа. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?

11.  На рисунке изображён график функции где числа a, b и c  — целые. Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В треугольной пирамиде MABC с основанием ABC ребро MA перпендикулярно плоскости основания, стороны основания равны 3, а ребро MB равно 5. На ребре AC находится точка D, на ребре AB точка E, а на ребре AM  — точка L. Известно, что AD  =  2 и BE  =  ML  =  1. Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точки E, D и L.

15.  Решите неравенство:

16.  Был выдан кредит на 550000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на 20 процентов, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года, причем платежи были равными. Найдите общую сумму, выплаченную клиентом банку.

17.  Точки L и N  — середины оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, а точки K и M  — середины диагоналей AC и BD соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны.

а)  Докажите, что LN  =  KM.

б)  Найдите высоту трапеции, если площадь четырехугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26.

18.  При каждом значении а решите систему

19.  Последовательность состоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов. а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60. б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа? в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n  =  8?

 

Вариант № 57437207///24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 25

1 .   Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 28?

2 .  Две стороны прямоугольника ABCD равны 6 и 8. Найдите длину вектора

3.  Конус получается при вращении равнобедренного прямоугольного треугольника ABC вокруг катета, равного 6. Найдите его объем, деленный на

4.  В сборнике билетов по биологии всего 60 билетов, в 15 из них встречается вопрос по теме "Круглые черви". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Круглые черви".

5.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,4. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

6 .  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображены график функции и касательная к нему в точке с абсциссой Найдите значение производной функции в точке

9.  В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  Ом и  Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Ответ выразите в омах.

1 0.  В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на а в 2010 году на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решить уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания  — точка C1 причём CC1  — образующая цилиндра, а AC  — диаметр основания. Известно, что

а)  Докажите, что угол между прямыми BC и AC1 равен

б)  Найдите расстояние от точки B до AC1.

15.  Решите неравенство:

16.  В двух областях работают по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг алюминия или 0,3 кг никеля. Во второй области рабочие объединены в две бригады, одна из которых добывает алюминий, а другая  — никель, причем для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую суммарную массу металлов можно добыть в двух областях за сутки?

17.  На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M  — середина гипотенузы AB, H  — точка пересечения прямых CM и DK.

а)  Докажите, что CMDK.

б)  Найдите MH, если известно, что катеты треугольника ABC равны 130 и 312.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

19.  Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1105?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1106?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 3978?

 

Вариант № 57437270///25

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант № 26

1 .  В ромбе ABCD угол ABC равен 122°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

2.  Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке O и равны 24 и 32. Найдите длину вектора

3.  Д иагональ куба равна 13. Найдите площадь его поверхности.

4.  Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 бадминтонистов, среди которых 16 спортсменов из России, в том числе Игорь Чаев. Какова вероятность того, что в первом туре Игорь Чаев будет играть с каким-либо бадминтонистом из России.

5.  Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,8, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 2 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся.

6 .  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.

9 .  Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой  кг и радиуса  см, и двух боковых с массами  кг и с радиусами При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в  даeтся формулой При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в сантиметрах.

10.  Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 50 км/ч, а вторую половину пути  — со скоростью, на 15 км/ч большей скорости первого, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Радиус основания конуса с вершиной S равен 8, а высота конуса SO равна Точка M  — середина образующей SA конуса, а точки B и N лежат в плоскости основания конуса так, что отрезок SB  — образующая конуса, а прямая MN параллельна SB.

а)  Докажите, что прямая AB перпендикулярна плоскости SON.

б)  Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью основания конуса, если AB  =  10.

15.  Решите неравенство

16.  В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— платёж в 2027 и 2028 годах должен быть по 400 тыс. рублей

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

17.  В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а)  Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ  =  8 и ∠ABC  =  60°.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет хотя бы одно решение.

19.  Будем называть четырёхзначное число очень счастливым, если все цифры в его десятичной записи различны, а сумма первых двух из этих цифр равна сумме последних двух из них. Например, очень счастливым является число 3140.

а)  Существуют ли одиннадцать последовательных четырёхзначных чисел, среди которых ровно два очень счастливых?

б)  Может ли разность двух очень счастливых четырёхзначных чисел равняться 2017?

в)  Найдите наименьшее простое число, для которого не существует кратного ему очень счастливого четырёхзначного числа.

 

 

Вариант № 57441214///26