КИМы по математике профильного уровня №8

Вариант № 31

1.  Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 168°. Найдите число вершин многоугольника.

2.  На координатной плоскости изображены векторы и Найдите скалярное произведение

3.  Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.

4.  На конференцию приехали 7 ученых из Венгрии, 5 из Португалии и 2 из Франции. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым окажется доклад ученого из Венгрии.

5.  Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось ровно два броска? Ответ округлите до сотых.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения при

8.  На рисунке изображён график функции y  =  f(x). На оси абсцисс отмечено шесть точек: x1, x2, x3, x4, x5, x6.

Сколько из отмеченных точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?

9.  Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде где p (Па)  — давление газа, V  — объeм газа в кубических метрах, a  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 9 раз?

10.  Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 13 часов. Через 1 час после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Точка O  — центр основания ABCDEF правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF. Точки K, L, M, T  — середины отрезков AF, SF, SD, MK соответственно.

а)  Докажите, что точка T лежит на отрезке LO.

б)  Найдите CT, если сторона основания пирамиды равна 12, а высота пирамиды равна 32.

15.  Решите неравенство:

16.  У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором  — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором  — 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу  — по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

17.  В треугольнике ABC угол C  — тупой, угол B равен 45° и AH  — высота. Прямая AH пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D.

а)  Докажите, что дуги BC и DA равны.

б)  Найдите BC, если AC  =  8 и площадь треугольника BDH равна 9.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых наименьшее значение функции

меньше −2.

19.  Натуральное число будем называть симметричным, если оно совпадает с числом, записанным теми же цифрами в обратном порядке.

а)  Будет ли симметричное число с четным количеством цифр делиться на 11?

б)  К трехзначному числу припишем справа это же число. Будет ли полученное шестизначное число точным квадратом?

в)  Какие шестизначные симметричные числа делятся на 77? Сколько всего таких чисел?

Вариант № 59031329///31

Вариант № 32

1.  В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB  =  10, CD  =  16. Найдите периметр четырехугольника ABCD.

2.  Найдите длину вектора

3.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4, а угол между боковой гранью и основанием равен 45°. Найдите объем пирамиды.

4.  На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 7 прыгунов из России и 10 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что четырнадцатым будет выступать прыгун из России.

5.  При изготовлении подшипников диаметром 72 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,97. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 71,99 мм или больше чем 72,01 мм.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображен график дифференцируемой функции и отмечены восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

9.  Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  (см/с), где t  — время в секундах. Какую долю времени из первых двух секунд скорость движения превышала 3,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

10.  Первая труба наполняет резервуар на 6 минут дольше, чем вторая. Обе трубы наполняют этот же резервуар за 4 минуты. За сколько минут наполняет этот резервуар одна вторая труба?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA  =  6 : 1, на ребре BB1  — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T  — середина ребра B1C1. Известно, что AD = 30, AA1  =  35.

а)  Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D1.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

15.  Решите неравенство:

16.  В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере S тыс.рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным S тыс. рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 338 тыс.рублей;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

17.  Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями AD и BC перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P.

а)  Докажите, что точка P лежит на диагонали BD трапеции ABCD.

б)  Найдите расстояние от точки P до боковой стороны AB, если BC  =  17, AD  =  31.

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19.  а)  Приведите пример четырёхзначного числа, произведение цифр которого в 14 раз больше суммы цифр этого числа.

б)  Существует ли такое четырёхзначное число, произведение цифр которого в 210 раз больше суммы цифр этого числа?

в)  Найдите все четырёхзначные числа, произведение цифр которых в 49 раз больше суммы цифр этого числа.

Вариант № 59031382///32

Вариант № 33

1.  Угол между двумя соседними сторонами правильного многоугольника, вписанного в окружность, равен 108°. Найдите число вершин многоугольника.

2.  Найдите квадрат длины вектора  +

3.  Найдите площадь поверхности многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

4.  В сборнике билетов по истории всего 40 билетов, в 16 из них встречается вопрос по теме "Смутное время". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Смутное время".

5.  При изготовлении подшипников диаметром 75 мм вероятность того, что диаметр будет отличаться от заданного не больше чем на 0,01 мм, равна 0,961. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 74,99 мм или больше чем 75,01 мм.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.

9.  Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону где h  — высота в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 8 метров?

10.  Первый и второй насосы наполняют бассейн за 10 минут, второй и третий  — за 15 минут, а первый и третий  — за 24 минуты. За сколько минут три эти насоса заполнят бассейн, работая вместе?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Дан куб ABCDA1B1C1D1.Длина ребра куба равна 1.

а)  Докажите, что объем пирамиды B1AD1C1B равен

б)  Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.

15.  Решите неравенство

16.  16 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

— 1‐го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— на 15‐е число каждого месяца с 1‐го по 20‐й долг должен уменьшаться на 6 тысяч рублей;

— к 15‐му числу 21‐го месяца долг должен быть погашен полностью.

Сколько тысяч рублей должен составлять долг на 15‐е число 20‐го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 187,8 тысяч рублей?

17.  Точка E  — середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На стороне AB взяли точку K так, что прямые CK и AE параллельны. Отрезок CK и BE пересекаются в точке O.

а)  Доказать, что CO = KO.

б)  Найти отношение оснований трапеции BC и AD, если площадь треугольника BCK составляет площади трапеции ABCD.

18.  Найдите все значение a, при каждом из которых график функции

пересекает ось абсцисс менее чем в трех различных точках.

19.  Дано трёхзначное число А, сумма цифр которого равна S.

а)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1057?

б)  Может ли выполняться равенство A · S  =  1058?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение A · S, если оно больше 864?

Вариант № 59031439///33

Вариант № 34

1.  Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 4 : 3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.

2.  На координатной плоскости изображены векторы и Вектор разложен по двум неколлинеарным векторам и

где k и l  — коэффициенты разложения. Найдите k.

3.  Площадь полной поверхности конуса равна 164. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту в отношении 1:1, считая от вершины конуса. Найдите площадь полной поверхности отсечённого конуса.

4.  Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVD-проигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

5.  Вероятность того, что на тестировании по истории учащийся Д. верно решит больше 11 задач, равна 0,64. Найдите вероятность того, что Д. верно решит ровно 11 задач или меньше.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции y = f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, …, x8. В скольких из этих точек производная функции f(x) положительна?

9.  После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h  =  5t2, где h  — расстояние в метрах, t  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,8 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,4 с? Ответ дайте в метрах.

10.  Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 1 минуту быстрее, чем первая труба?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 боковое ребро равно а ребро основания равно 4. Точка D  — середина ребра BB1.

 

а)  Докажите, что объемы пятигранников A1B1C1CD и равны.

 

б)  Найдите объём пятигранника A1B1C1CD.

15.  Решите неравенство:

16.  По вкладу «А» банк в течение трёх лет в конце каждого года увеличивает на 20% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б» увеличивает на 22% в конце каждого года из первых двух лет. Найдите наименьшее целое число процентов за третий год по вкладу «Б», при котором за все три года этот вклад всё ещё останется выгоднее вклада «А».

17.  В треугольник ABC, в котором длина стороны AC больше длины стороны BC, вписана окружность с центром O. Точка B1 симметрична точке B относительно прямой CO.

а)  Докажите, что A, B, O и B1 лежат на одной окружности.

б)  Найдите площадь четырёхугольника ABOB1, если AB  =  10, AC  =  8 и BC  =  6.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых неравенство верно для всех x из отрезка [0; 1,5].

19.  Верно ли, что для любого набора положительных чисел, каждое из которых не превосходит 10, а сумма которых больше 90, всегда можно выбрать несколько чисел так, чтобы их сумма была не больше 90, но больше:

а)  80;

б)  82;

в)  81.

Вариант № 59031491///34