КИМы по математике профильного уровня №9

Вариант № 35

1 .  Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 104, основание равно 192. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

2 .  Вектор  с концом в точке B(5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите абсциссу точки A. 

3.  Объём куба, описанного около сферы, равен 1331. Найдите радиус сферы.

4.  За круглый стол на 5 стульев в случайном порядке рассаживаются 3 мальчика и 2 девочки. Найдите вероятность того, что девочки будут сидеть рядом.

5.  Артём гуляет по парку. Он выходит из точки S и, дойдя до очередной развилки, с равными шансами выбирает следующую дорожку, но не возвращается обратно. Найдите вероятность того, что таким образом он выйдет к детской площадке.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображены график функции и касательная к этому графику, проведённая в точке x0. Найдите значение производной функции в точке x0.

9.  Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 72 км от города. Ответ дайте в минутах.

10.  Весной катер идёт против течения реки в раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке [11; 24].

13.  а)  Решите уравнение:

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны AB  =  2, AD  =  AA1  =  1.

а)  Пусть B1E  — высота треугольника BB1C1. Докажите, что AE  — проекция AB1 на плоскость ABC1.

б)  Найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ABC1.

15.  Решите неравенство

16.  15-го января планируется взять кредит в банке на некоторый срок (целое число месяцев). Условие его выплаты таковы:

− 1-го числа k-ого месяца долг возрастёт на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число k-того месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа k-того месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 20% больше суммы, взятой в кредит?

17.  Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.

а)  Докажите, что ∠ABM = ∠DBC = 30°.

б)  Найдите расстояние от центра прямоугольника до прямой CM, если BC = 9.

18.  Найти все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три различных корня.

19.  Задумано несколько (не обязательно различных) натуральных чисел. Эти числа и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т. д.) выписывают на доску в порядке неубывания. Если какое-то число n, выписанное на доску, повторяется несколько раз, то на доске оставляется одно такое число n, а остальные числа, равные n, стираются. Например, если задуманы числа 1, 3, 3, 4, то на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11.

а)  Приведите пример задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 2, 4, 6, 8.

б)  Существует ли пример таких задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 1, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19, 20, 22?

в)  Приведите все примеры задуманных чисел, для которых на доске будет записан набор 9, 10, 11, 19, 20, 21, 22, 30, 31, 32, 33, 41, 42, 43, 52.

Вариант № 60558241///35

Вариант № 36

1.  В треугольнике ABC угол A равен 14°, внешний угол при вершине B равен 91°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

2.  Найдите сумму координат вектора

3.   Найдите объем пирамиды, высота которой равна 3, а основание  — прямоугольник со сторонами 5 и 3.

4.  В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

5.  В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию 5 и 6 очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплемент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплемент? Результат округлите до сотых.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.   На рисунке изображён график   — производной функции Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой y  =  −3x − 2 или совпадает с ней.

9.  Груз массой 0,16 кг колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону где t  — время с момента начала колебаний, T  =  2 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E (в джоулях) груза вычисляется по формуле где m  — масса груза в килограммах, υ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 2 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

10.  В 2008 году в городском квартале проживало человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на а в 2010 году на по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году?

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точке A. Найдите ординату точки A.

12.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 и На отрезках BC1 и BD отмечены точки M и N соответственно, так что прямые AM и A1N пересекаются и

а)  Докажите, что угол между прямой D1M и плоскостью BCC1 равен 30°.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 плоскостью AMN.

15.  Решите неравенство:

16.  31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая  — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

17.  Окружность радиуса с центром на стороне AC треугольника ABC касается сторон AB и BC, равных соответственно 10 и 24.

а)  Докажите, что треугольник ABC  — прямоугольный.

б)  Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла треугольника ABC.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 3].

19.  В ящике лежат 65 овощей, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 982 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1024 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 13 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Вариант № 60558402///36

Вариант № 37

1.  В треугольнике ABC угол C равен Найдите высоту

2.  Найдите длину вектора

3.  В правильной треугольной пирамиде SABC точка K − середина ребра BC, S − вершина. Известно, что SK = 4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.

4.  Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 45 выступлений  — по одному от каждой страны. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 27 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  В торговом центре два одинаковых автомата продают жвачку. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится жвачка, равна 0,25. Вероятность того, что жвачка закончится в обоих автоматах, равна 0,16. Найдите вероятность того, что к концу дня жвачка останется в обоих автоматах.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−11; 2). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

9.  При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Пам5, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном Па.

10.  Первый садовый насос перекачивает 8 литров воды за 3 минуты, второй насос перекачивает тот же объём воды за 6 минут. Сколько минут эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 24 литра воды?

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

а)  Докажите, что AA1 = AC.

б)  Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 6, BC = 3.

15.  Решите неравенство

16.  Индивидуальному предпринимателю 15 марта был выдан кредит на приобретение оборудования. В таблице указан график его погашения. Текущий долг указывается в процентах:

 В конце каждого месяца, начиная с марта, банк увеличивает текущий долг на 5%. После этого в первой половине последующего месяца заемщик обязан внести в банк такую сумму, чтобы оставшийся долг стал равным указанному в таблице текущему долгу на 15 число этого месяца. На сколько процентов общая сумма выплат при таких условиях больше суммы самого кредита?

17.  Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система

имеет единственное решение.

19.  Тридцать пять шариков массой 1 г, 2 г, ..., 35 г разложили по двум коробкам, в каждой коробке находится хотя бы один шарик. Масса каждого шарика выражается целым числом граммов. Затем из второй коробки переложили в первую один шарик. После этого средняя масса шариков в первой коробке увеличилась на 4 г.

а)  Могло ли такое быть, если первоначально в первой коробке лежали только шарики массой 3 г, 12 г и 27 г?

б)  Могла ли средняя масса шариков в первой коробке первоначально равняться 12,6 г?

в)  Какое наибольшее число шариков могло быть первоначально в первой коробке?

Вариант № 60558943///37

Вариант № 38

1.  В треугольнике ABC угол C равен Найдите высоту

2.  На координатной плоскости изображены векторы и Вектор разложен по двум неколлинеарным векторам и

где k и l  — коэффициенты разложения. Найдите k.

3.  Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

4.  В соревнованиях участвуют 40 спортсменов, из которых 6  — из Румынии. Найдите вероятность того, что первым на соревнованиях будет выступать спортсмен из Румынии.

5.  В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах.

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.

7.  Найдите значение выражения 

8.   На рисунке изображены график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

9.  Наблюдатель находится на высоте h, выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле где км  — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в метрах.

10.  Первый час автомобиль ехал со скоростью 115 км/ч, следующие три часа  — со скоростью 45 км/ч, а затем два часа  — со скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите значение x, при котором

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

14.  Дана правильная четырехугольная пирамида Боковое ребро сторона основания равна Найдите расстояние от точки B до плоскости ADM, где M  — середина ребра

15.  Решите неравенство:

16.  На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 300 человек, и один рабочий изготавливает за смену 9 деталей А или 3 детали В. На втором комбинате работает 600 человек, и один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 9 деталей В. Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, на котором собирают изделие, для изготовления которого нужны 2 детали А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

17.  Две касательные к окружности, СА и СВ, пересекаются в точке С (А и В  — точки касания). Вторая окружность проходит через точку С, касается прямой АB в точке В и пересекает первую окружность в точке М, отличной от В.

а)  Докажите, что прямая АМ делит отрезок ВС пополам.

б)  Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ВСМ, если BC  =  10, а синусы углов ВАМ и АВМ равны соответственно 0,6 и

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно один корень на отрезке [0; 1].

19.  На окружности некоторым способом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего.

а)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 11?

б)  Могли ли все полученные разности быть не меньше 10?

в)  Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стояших через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k?

Вариант № 60559147///38