КИМы по математике профильного уровня №1

Вариант № 1

1.  Р адиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 2. Найдите гипотенузу этого треугольника.

2.  Даны векторы и Найдите значение выражения

3.  Ш ар, объём которого равен вписан в куб. Найдите объём куба.

4.  Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 65 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 13 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5 .  Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Мотор» по очереди играет с командами «Статор», «Стартер» и «Ротор». Найдите вероятность того, что «Мотор» будет начинать с мячом только вторую игру.

6.  Решите уравнение

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции Найдите количество точек минимума функции принадлежащих интервалу (−4; 7).

9 .  Груз колеблется на пружине. Его скорость υ меняется по закону (в м/с), где t  — время с момента начала колебаний (в с), T  =  2 с  — период колебаний, м/с. Кинетическая энергия E груза массой m (в кг) равна (в Дж), где υ — скорость груза (в м/с). Найдите кинетическую энергию груза в момент времени секунды после начала колебаний, если масса груза равна 0,16 кг. Ответ дайте в джоулях.

10.  Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 50 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 30 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 12 минут? Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Дана прямая призма, в основании которой равнобедренная трапеция с основаниями AD  =  5 и BC  =  4 . Точка M делит ребро A1D1 в отношении точка K  — середина DD1.

a)  Докажите, что плоскость MCK делит отрезок BB1 пополам.

б)  Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC , если a

15.  Решите неравенство

16.  По вкладу «А» банк в конце каждого года планирует увеличивать на 10% сумму, имеющуюся на вкладе в начале года, а по вкладу «Б»  — увеличивать эту сумму на 8% в первый год и на одинаковое целое число n процентов и за второй, и за третий годы. Найдите наименьшее значение n, при котором за три года хранения вклад «Б» окажется выгоднее вклада «А» при одинаковых суммах первоначальных взносов.

17.  Окружности, построенные на боковых сторонах трапеции как на диаметрах, касаются между собой.

а)  Докажите, что в трапецию можно вписать окружность.

б )  Найдите основания этой трапеции, если её боковые стороны равны 3 и 8, а большая сторона основания видна из центра вписанной окружности под углом 120°.

18.  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых неравенство не имеет решений на интервале (−2; −1).

19.  На конкурсе «Мисс−261» выступление каждой участницы оценивают шесть судей. Каждый судья выставляет оценку  — целое число баллов от 0 до 10 включительно. Известно, что за выступление участницы С все члены жюри выставили различные оценки. По старой системе оценивания итоговый балл за выступление определяется как среднее арифметическое всех оценок судей. По новой системе оценивания итоговый балл вычисляется следующим образом: отбрасываются две наибольшие оценки, и считается среднее арифметическое четырех оставшихся оценок.

а)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной 18?

б)  Может ли разность итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания, быть равной

в)  Найдите наименьшее возможное значение разности итоговых баллов, вычисленных по старой и новой системам оценивания.

Вариант № 56521181///1

Вариант № 2

1.   Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 7, угол при вершине, противолежащей основанию, равен 120°. Найдите диаметр описанной окружности этого треугольника.

2 .  Найдите длину диагонали прямоугольника, вершины которого имеют координаты (1; 2), (1; 10), (7; 2), (7; 10).

3.  Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 3 и острым углом Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

4.  В соревнованиях по толканию ядра участвуют 9 спортсменов из Великобритании, 3 спортсмена из Франции, 4 спортсмена из Германии и 9  — из Италии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий последним, окажется из Германии.

5 .  При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,6, а при каждом последующем  — 0,7. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  На рисунке изображён график функции   — одной из первообразных некоторой функции определённой на интервале Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения на отрезке

9 .  Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч 2 . Скорость вычисляется по формуле , где l  — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 1,1 километра, приобрести скорость 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч2 .

10.  Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20 000 рублей, через два года был продан за 15 842 рублей.

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.

12.  Найдите наибольшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  На ребре AA1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E  =  6EA. Точка T  — середина ребра B1C1. Известно, что AD  =  12, AA1  =  14.

а)  Докажите, что плоскость ETD1 делит ребро BB1 в отношении 4 : 3.

б)  Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью ETD1.

15.  Решите неравенство:

16.  Андрей Петрович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными платежами по 200 000 руб. При этом в начале каждого года сумма кредита увеличивалась на 10%, а в конце года производился платёж. Если бы Андрей Петрович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928 200 руб. На сколько лет был взят кредит?

17.  Отрезок CH  — высота прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C. На катетах AC и BC выбраны точки M и N соответственно такие, что

a) Докажите, что треугольник MNH подобен треугольнику ABC.

б)  Найдите CN, если BC  =  2, AC  =  4, CM  =  1.

18.  Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений

имеет единственное решение.

19.  а)  Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 750?

б)  Может ли десятичная запись произведения трёх последовательных трёхзначных чисел оканчиваться на 6250?

в)  Найдите все такие натуральные числа n, что каждое из чисел n, n + 1 и n + 2 трёхзначное, а десятичная запись их произведения n(n + 1)(n + 2) оканчивается на 8000.

Вариант № 56524007///2

Вариант № 3

1 .  Н айдите площадь треугольника, две стороны которого равны 8 и 12, а угол между ними равен 30°.

2.  Стороны правильного треугольника ABC равны Найдите длину вектора

3 .  Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке (все двугранные углы прямые).

4.  Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 50 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 20 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5 .  Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 8 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 5 очков, в случае ничьей  — 3 очка, если проигрывает  — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,2.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите если

8.   На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−3; 1]  f(x), принимает наименьшее значение?

9.  При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон Пам4, где p − давление газа в паскалях, V − объeм газа в кубических метрах, Найдите, какой объём V (в куб. м) будет занимать газ при давлении p, равном Па.

10.  На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точке A. Найдите абсциссу точки A.

1 2.  Найдите точку минимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 все рёбра равны 4. Через точки A, С1 и середину T ребра А1В1 проведена плоскость.

а)  Докажите, что сечение призмы указанной плоскостью является прямоугольным треугольником.

б)  Найдите тангенс угла между плоскостью сечения и плоскостью ABC.

15.  Решите неравенство:

16.  В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на четыре года в размере S млн рублей, где S  — натуральное число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

Найдите наименьшее значение S, при котором общая сумма выплат будет составлять целое число миллионов рублей.

17.  Дан треугольник АВС. Точка О  — центр вписанной в него окружности. На стороне ВС отмечена такая точка M, что СM  =  АС и ВM  =  АО.

а)  Докажите, что прямые АВ и ОM параллельны.

б)  Найдите площадь четырёхугольника АВMО, если угол AСB прямой и АС  =  6.

18.  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых множество значений функции содержит отрезок

19.  На овощебазу завезли капусту. Каждый из кочанов капусты весит 1, 2 или 3 килограмма.Фермер Иван поехал на овощебазу за капустой. Его сосед Фёдор попросил купить для него столько же капусты (по массе). На овощебазе Ивану составила набор кочанов капусты, суммарная масса которых составила N кг. Нужно разделить эти кочаны поровну (по массе) между Иваном и Федором так, чтобы не пришлось резать кочаны.

а)  Существует ли набор кочанов суммарной массой N  =  20, который невозможно разделить поровну?

б)  Существует ли набор кочанов суммарной массой N  =  24, который невозможно разделить поровну?

в)  Найдите все значения N, для которых любой набор кочанов суммарной массы N можно разделить поровну.

Вариант № 56524278///3

Вариант № 4

1.  Д ва угла вписанного в окружность четырехугольника равны 24° и 67°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

2 .  Даны векторы и Найдите скалярное произведение

3.  Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.

4.  Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов  — первые три дня по 15 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

5.  Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и не попадёт в три последние.

6.  Найдите корень уравнения

7.  Найдите значение выражения

8.  Материальная точка движется прямолинейно по закону (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени

9.  Рейтинг R интернет-магазина вычисляется по формуле

где   — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1),   — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и K  — число покупателей, оценивших магазин. Найдите рейтинг интернет-магазина «Бета», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 20, их средняя оценка равна 0,65, а оценка экспертов равна 0,37.

1 0.  Первые 140 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 160 км  — со скоростью 60 км/ч, а затем 120 км  — со скоростью 100 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции где числа a, b и c  — целые. Найдите

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильном тетраэдре ABCD точка К  — середина ребра АВ, точка Е лежит на ребре CD и EC : ED  =  1 : 2.

а)  Найдите угол между прямыми ВС и КЕ.

б)  Найдите расстояние между прямыми ВС и КЕ, если ребро тетраэдра равно

15.  Решите неравенство

16.  По бизнес-плану предполагается изначально вложить в четырёхлетний проект 20 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 13% по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: по целому числу n млн рублей в первый и второй годы, а также по целому числу m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся.

17.  Точка O  — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I  — центр вписанной в него окружности, H  — точка пересечения высот. Известно, что

а)  Докажите, что точка I лежит на окружности, описанной около треугольника BOC.

б)  Найдите угол OIH, если

18.  Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два различных решения.

19.  У Вовы есть набор из n грузиков попарно различных натуральных масс в граммах и чашечные весы, которые находятся в равновесии, если на каждой из двух их чаш лежат грузики с одинаковыми суммарными массами. Известно, что, какие бы два из них ни положили на одну чашу весов, всегда можно положить на другую чашу один или несколько из оставшихся грузиков так, что весы уравновесятся.

а)  Может ли у Вовы быть ровно 6 грузиков, среди которых есть грузик массой 5 г?

б)  Может ли у Вовы быть ровно 5 грузиков?

в)  Известно, что среди грузиков Вовы есть грузик массой 1 г. Какую наименьшую массу может иметь самый тяжёлый грузик Вовы?

Вариант № 56679571///4

Вариант № 5

1.  Р адиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен Найдите сторону этого треугольника.

2 .  Найдите длину вектора

3.  Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 4 и острым углом 30°. Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 30° и равно 6. Найдите объем параллелепипеда.

4.  Конкурс исполнителей проводится в 4 дня. Всего заявлено 75 выступлений  — по одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

5.  Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,8 °С, равна 0,7. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 °С или выше.

6.  Решите уравнение Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.

7.  Найдите значение выражения

8.  Прямая является касательной к графику функции Найдите ординату точки касания.

9.  При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, вычисляется по закону где м  — длина покоящейся ракеты, км/с  — скорость света, а   — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала равна 14 м? Ответ выразите в км/с.

1 0.  Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображён график функции Найдите

12.  Найдите точку максимума функции

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  В правильной треугольной призме все рёбра которой равны найдите расстояние между прямыми и

15.  Решите неравенство

16.  15-го декабря планируется взять кредит в банке на 900 000 рублей на 13 месяцев. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа с 1 по 12 месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;

− 15-го числа 13 месяца долг должен быть погашен.

Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 12 месяца, если всего было выплачено 1134 тысяч рублей?

17.  Дана равнобедренная трапеция ABCD c основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает основание AD в точке L, точка M  — середина CD.

а)  Докажите, что четырехугольник DLOM  — параллелограмм.

б)  Найдите AD, если BC  =  3.

18.  Найдите все значения а. при каждом из которых уравнение на промежутке имеет более двух корней.

19.  Пять различных натуральных чисел таковы, что никакие два не имеют общего делителя, большего 1.

а)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26?

б)  Может ли сумма всех пяти чисел быть равна 23?

в)  Какое наименьшее значение может принимать сумма всех пяти чисел?

Вариант № 56679982///5

Вариант № 6

1.   В треугольнике ABC угол C равен 90°, ВС  =  2. Найдите АС.

2 .  В ектор  с концом в точке B(5; 4) имеет координаты (3; 1). Найдите сумму координат точки

3.  Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 12. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в шесть раз?

4.  В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

5.  Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать хотя бы 7 очков в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 6 очков, в случае ничьей  — 1 очко, если проигрывает  — 0 очков. Найдите вероятность того, что команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,3.

6.  Найдите корень уравнения

7 .  Найдите если  при

8.   На рисунке изображен график производной функции определенной на интервале В какой точке отрезка   принимает наименьшее значение.

9 .  Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции B которого лежит в той же плоскости и составляет угол  с направлением движения шарика. Значение индукции поля  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем  Н? Ответ дайте в градусах.

10.  Товарный поезд каждую минуту проезжает на 450 метров меньше, чем скорый, и на путь в 630 км тратит времени на 3 часа больше, чем скорый. Найдите скорость товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.

11.  На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

12.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке

13.  а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

14.  Дана правильная четырёхугольная пирамида MABCD, рёбра основания которой равны 5. Тангенс угла между прямыми DM и AL равен L  — середина ребра MB. Найдите высоту данной пирамиды.

15.  Решите неравенство

16.  В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.

17.  Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а)  Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б)  Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

18.  При каких значениях параметра a для любых значений параметра b хотя бы при одном значении параметра с система уравнений

имеет решения?

19.  В одном из заданий на конкурсе бухгалтеров требуется выдать премии сотрудникам некоторого отдела на общую сумму 800 000 рублей (размер премии каждого сотрудника  — целое число, кратное 1000). Бухгалтеру дают распределение премий, и он должен их выдать без сдачи и размена, имея 250 купюр по 1000 рублей и 110 купюр по 5000 рублей.

а)  Удастся ли выполнить задание, если в отделе 40 сотрудников и все должны получить поровну?

б)  Удастся ли выполнить задание, если ведущему специалисту надо выдать 80 000 рублей, а остальное поделить поровну на 80 сотрудников?

в)  При каком наибольшем количестве сотрудников в отделе задание удастся выполнить при любом распределении размеров премий?

Вариант № 56680330///6