Исследовательская работа «Загадка Мёбиуса»

Районный форум младшеклассников «Ступень к успеху»

Исследовательская работа

«Загадка Мёбиуса»

 

Выполнили: учащиеся 4 класса б

МБОУ «Железногорская СОШ № 4»:

Шунько Диана,

Ермаченко Руслан,

Шишкин Артём.

Руководитель: Савичева А.И.
 

г. Железногорск-Илимский 2017г.

 

 

Содержание

Введение……………………………………….……………………………3

Цели и задачи проекта……...……………………….……………………………………...3

Загадочная лента Мёбиуса.

Биография учёного………………………………………………..3

Научная деятельность ………………………………………… 4

Топология …………………………………………………….…... 5

Великое изобретение…………………………………………..…. 5

Практическая работа

Изготовление ленты…………………………………………….…7

Лента Мёбиуса и знак бесконечности………………………………… 10

Кратер на обратной стороне Луны…………………………………..… 10

Применение листа

1. Лист Мёбиуса в скульптуре ………………………………………11

2. Ювелирные украшения……………………………………………12

Лист Мёбиуса и научная фантастика………………………….…13

Технические применения …………………………………………14

Настольные композиции и мебель …………………………… …14

Для тех, кто хочет продолжить………………………………… ..16

Выводы ……………………………………………………………………..17

Литература …………………………………………………………………17

 

ЗАГАДОЧНАЯ ЛЕНТА МЁБИУСА

Введение

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. А в 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку. На ней была изображена лента. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета.

Что же привлекло наше внимание к этому человеку? Об этом мы вам и расскажем.

Цели и задачи проекта

Итак, тема нашего исследования «Загадка Мёбиуса»

Мы поставили перед собой цель:

Изучить свойства листа Мёбиуса и опытно-экспериментальным путём проверить их.

И выдвинули Гипотезу:

Возможно ли получить ленту Мёбиуса и исследовать некоторые её свойства.

Биография учёного.

Август Фердинанд Мёбиус родился 17 ноября 1790 года на территории школы Шульпфорта при дворе саксонского курфюрста (близ Наумбурга). Его отец, Иоганн Генрих Мёбиус (нем. JohannHeinrichMöbius), занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса, Иоганна Катарина КристианаКайль (нем. JohanneKatharineChristianeKeil), была потомком Мартина Лютера.

Биографы предполагают, что в этом выборе сказалось влияние преподававшего в университете известного астронома и математика К. Б. Моллвейде, чьи лекции по астрономии слушал Мёбиус (лекции по математике читал М. фон Прассе, по физике — Л. В. Гильберт).

В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции К. Ф. Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Галле, чтобы прослушать курс лекций математика И. Ф. Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по обеим наукам.

Научная деятельность

Мёбиус написал диссертацию по астрономии «О вычислении покрытий неподвижных звёзд планетами» опубликована в 1815 году) и получил в Лейпцигском университете степень доктора, а в начале 1815 года, успешно избежав призыва в прусскую армию, защитил также — уже по математике — хабилитационную диссертацию «О некоторых частных свойствах тригонометрических уравнений»

Весной 1816 года Мёбиус по рекомендации Моллвейде стал экстраординарным профессором кафедры астрономии Лейпцигского университета.

С 1816 года он также работал сначала астрономом-наблюдателем, затем (с 1848 года) — директором Лейпцигской обсерватории (располагалась в крепости Плейсенбургна окраине Лейпцига). Деятельно участвовал в перестройке и оснащении обсерватории.

В 1825 году Моллвейде умер. Мёбиус попытался занять его место, но его репутация преподавателя была неважной, и университет предпочёл другую кандидатуру. Позднее (узнав, что Мёбиус получил приглашения из других университетов), руководство Лейпцигского университета в 1844 году повысило его в должности до ординарного профессора астрономии. К этому времени математические исследования Мёбиуса принесли ему известность в научном мире.

26 сентября 1868 года Мёбиус скончался.

Это то, что касается биографии Мёбиуса. Но он не один занимался изобретениями.

Топология.

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур (или пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, таких, например, как растяжение, сжатие или изгибание, при которых не происходит разрывов (т.е. нарушения целостности фигуры) или склеиваний. Такие геометрические свойства связаны с положением, а не с формой или величиной фигуры.

Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади, ни положение в пространстве.

Наука эта настолько сложная, что в школе её не изучают. Но кто знает, вдруг кто-то из вас со временем станет знаменитым топологом и совершит не одно замечательное открытие. И, может быть, какую-нибудь интересную поверхность назовут вашим именем.

Так что же такое они изобрели? Давайте разбираться.

Великое изобретение

Представим себе поверхность и сидящих на ней красных муравьёв. Удастся ли муравьям доползти до обратной стороны поверхности – образно говоря, до её изнанки, - не перелезая через край? Конечно же, нет!

Первый пример односторонней поверхности, в любое место которой может доползти муравей, не перелезая через край, привёл Мёбиус в 1858г.

В возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса (или лента).

Есть три версии, как Мёбиус придумал ленту:

когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок;

увидев однажды, что служанка неправильно сшила концы ленты;

виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.

Мёбиус послал в Парижскую академию наук свою работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.

Хотите и вы изготовить ленту Мёбиуса?

Берём бумажную полоску – длинный узкий прямоугольник АВСD (удобные размеры: длина 30 см, ширина 3 см). Перекрутив один конецполоски на 180º, склейте из неё кольцо. Клеить нужно аккуратно, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка B с точкой D. Получим такое перекрученное кольцо. Итак, мы склеили ленту Мёбиуса. Модель готова.

 

Как вы думаете, что произойдёт, если начать рисовать посередине листа карандашом линию на поверхности ленты?

Линия уйдёт вглубь фигуры и пройдёт под начальной точкой линии, как бы уйдя на "другую сторону" ленты. Если продолжать линию, то она вернётся в начальную точку. При этом длина нарисованной линии будет вдвое больше длины полоски бумаги. Этот пример показывает, что у ленты Мёбиуса лишь одна сторона и одна граница.

Разрежьте лист по центральной линии. Что у вас получилось?

Вместо того чтобы развалиться на два куска, лента разворачивается в длинную связанную замкнутую полоску.

Полученную после первого разреза ленту снова разрежьте по центральной линии. Перед последним сжатием ножниц попробуйте угадать, что будет?

В Евклидовом пространстве, фактически, существует два типа ленты Мёбиуса, развёрнутой вполоборота: одна - развернутая по часовой стрелке, другая - против часовой стрелки. Если вы захотите, сможете продолжить экспериментировать.

Чтобы получить ленту Мёбиуса, мы переворачивали полоску бумаги на 180º, на пол оборота. Теперь полоску скрутите на 360º, полный оборот. Склейте, затем разрежьте её по центральной линии. Какой получится результат, трудно предугадать.

А теперь попробуем изготовить такую модель: в полосе АВСD прорезать щель и продеть сквозь неё один конец. Повернув, на пол оборота, склейте, как показано на рисунке.

Продолжайте разрезать вдоль всей ленты. Что у вас получилось?

 

Лента Мёбиуса и знак бесконечности

Многие считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности. Однако по имеющимся историческим сведениям символ стал использоваться для обозначения бесконечности за два столетия до открытия ленты Мёбиуса.

Именем Мёбиуса назван кратер на обратной стороне Луны

Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса

 

Целую серию вариантов листа Мёбиуса

можно встретить в скульптуре

 

Ювелирные украшения в виде ленты Мёбиуса

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса

 

Лист Мёбиуса

также постоянно встречается в научной фантастике

Лист Мёбиуса является эмблемой серии научно-популярных книг серии «Библиотечка «Квант». Он также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена темноты». Иногда научно-фантастические рассказы (вслед за физиками-теоретиками) предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщённым листом Мёбиуса. Также кольцо Мёбиуса постоянно упоминается в произведениях уральского писателя Владислава Крапивина, цикл «В глубине Великого Кристалла» (например, «Застава на Якорном Поле.Повесть.»)

В рассказе «Лист Мёбиуса» автора А. Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в ленту Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда. По мотивам рассказа был снят фантастический фильм «Мёбиус» режиссёра Густаво Москера. Также идея ленты Мёбиуса используется в рассказе М. Клифтона «На ленте Мёбиуса». С лентой Мёбиуса сравнивается течение романа современного русского писателя Алексея Шепелёва «Echo» (СПб:Амфора, 2003). Из аннотации к книге: «„Echo“ — литературная аналогия кольца Мёбиуса: две сюжетные линии — „мальчиков“ и „девочек“ — переплетаются, перетекают друг в друга, но не пересекаются».

Лента Мёбиуса используется как способ перемещения в пространстве и времени Гарри Кифа, главного героя романа Брайана Ламли «Некроскоп».

Лента Мёбиуса играет важную роль в фантастическом романе Р. Желязны «Двери в песке».

Лента Мёбиуса также встречается в эссе Харуки Мураками «Облади Облада» из книги-сборника «Радио Мураками», выпущенного в 2010 году, где лента Мёбиуса образно сравнивается с бесконечностью.

Гоночный трек в одном из эпизодов мультсериала «Футурама» представляет собой ленту Мёбиуса.

В 1987 году советский джазовый пианист Леонид Чижик записал альбом «Лента Мёбиуса», в который вошла и одноимённая композиция.

 

Технические применения ленты Мёбиуса

Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, так как вся поверхность ленты изнашивается равномерно. Также в системах записи на непрерывную плёнку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи). Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.

Настольные композиции и мебель

 

Для тех,

кто заинтересовался

и хочет продолжать экспериментировать

Что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить?

 

Лента Мёбиуса - это занимательная математическая загадка, её воздействие на нашу жизнь можно изучать бесконечно.

Вывод

Итак, наша гипотеза подтвердилась – лист Мёбиуса изготовить можно. И свойство односторонней поверхности мы сегодня проверили на практике.

 

Используемые материалы:

Википедия

http://www.buckses.info/fizika/

http://www.livemaster.ru/item/188503-ukrasheniya-sergi-mebius

http://ru.convdocs.org/docs/index-357453.html

презентация
PPT / 8.93 Мб