Открытый урок «Лист Мёбиуса»

ФГБОУ ВО «Ульяновский государственный технический университет»

Колледж экономики и информатики им. И.Н.Афанасьева

 

Открытое занятие в рамках недели ПЦК

«Естественно‒научных и математических дисциплин»

в цикле мероприятий

«Популяризация математики»

«Лист Мёбиуса»

 

Преподаватель

математических дисциплин

Аронова И.Н.

 

Цель:

‒образовательная: формирование понятия топологии, топологически равных поверхностей, односторонних и двусторонних поверхностей;

‒ развивающая: развитие пространственного воображения, умение анализировать и сравнивать, повышение интереса к геометрии и аналитической математике.

Метод обучения: эвристический, экспериментальный, познавательный

Оборудование:

‒Интерактивная доска для иллюстраций геометрических объектов (можно заменить заранее подготовленными плакатами);

‒Ручной материал для слушателей (бумага, ножницы, клей, фломастер, слайм)

Этапы занятия:

Эксперимент. Прошу сделать ТОР, из него МАКАРОН, затем РУЧКУ, потом КРУЖКУ. Вопрос: Чем эти объекты схожи и чем различны?

Сообщение 1. «Топологически равные объекты»

Сообщение 2. «Мёбиус, история открытия листа Мёбиус»

Исследовательская работа «Конструирование листа Мёбиуса и его исследование»

Сообщение 3. «Лист Мёбиуса как математический объект».

Сообщение 4. «Подобные объекты: Бутылка Клейна и поверхность Кипенского»

Презентация. «Мёбиус в архитектуре, искусстве, технике»

Фокусы Мёбиуса.

Подведение итогов.

Ход занятия:

Эксперимент. Каждый участник экспериментирует со слаймом: Сделали ТОР. Поверхность можно растягивать, плющить, сжимать. Нельзя склеивать и рвать. Делаем МАКАРОН, затем РУЧКУ, потом КРУЖКУ. Вопрос: Чем эти объекты схожи и чем различны?

Ответы (принимаются разные: поверхность с дыркой, тело с отверстием, стереометрические поверхности…)

Сообщение 1. «Топологически равные объекты»

На доске иллюстрируются объекты в 3D. Сообщение студента

ТОПОЛОГИЯ, раздел математики, занимающийся изучением свойств фигур ( пространств), которые сохраняются при непрерывных деформациях, как растяжение, сжатие или изгибание. 

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка - это одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму.

Вопрос. Кружка и пиала равные топологические объекты? (Ответ: Нет, пиалу надо продырявить, что б можно было кружку сделать)

Сообщение 2. «Мёбиус, история открытия листа Мёбиус»

На доске портрет математика Мёбиуса и Листинга. Сообщение студента

                                   

Иоганн Бенедикт Листинг                                           Август Фердинанд Мёбиус

Одним из великих геометров XIX столетия был Август Фердинанд Мёбиус(1790-1868) - немецкий математик и астроном - теоретик. Его отец занимал в этой школе должность учителя танцев. Мать Мёбиуса была потомком Мартина Лютера. Отец умер, когда мальчику было всего три года. Начальное образование Мёбиус получил дома и сразу показал интерес к математике. С 1803 по 1809 годы учился в колледже Шульпфорте, затем поступил в Лейпцигский университет. В 1813—1814 годах Мёбиус жил в Гёттингене, где посещал университетские лекции Гаусса по астрономии. Затем он уехал в Халле, чтобы прослушать курс лекций математика Иоганна Пфаффа, учителя Гаусса. В результате Мёбиус получил глубокие знания по астрономии и математике. В 1848 году Мёбиус становится директором обсерватории.

Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.

В 1858 году Август Фердинанд Мёбиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.  Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.
 

Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Листинг ‒ автор термина «топология» (1847) и первых работ в этой области. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.  

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело  (лист бумаги, кольцо, шинная камера), – две стороны.

 

Исследовательская работа «Конструирование листа Мёбиуса и его исследование»

Материал: бумага, ножницы, клей, фломастер

Презентация. Обучающиеся по ходу презентации выполняют исследовательскую работу: склеивают лист Мёбиуса, с помощью фломастера исследуют его односторонность. Разрезают двумя способами. Удивляются результатам, пытаются понять в чем фокус.

 

Кольцо, который мы надеваем на палец, имеет две поверхности ‒внутренняя и наружная. У этого кольца два края ‒две границы.

Конструируем кольцо с одной поверхностью и одной границей. Берем бумажную ленту, повернем один ее конец на 180 градусов, склеиваем с другим концом. Получим ЛЕНТУ МЁБИУСА.

Лист Мебиуса склеить

Разрезать параллельно краю посередине, получаем кольцо, скрученное два раза.

Разрезать параллельно краю, как показано на рисунке. Получаем два сцепленных кольца

 

Сообщение 3. «Лист Мёбиуса как математический объект».

Сообщение преподавателя.

 

Параметрические уравнения Листа Мёбиуса тоже завораживают красотой:

где и

 

Эта лента Мёбиуса шириной 1, её круг имеет радиус 1, с центром в начале координат (0,0,0).

 

Сообщение 4. «Подобные объекты: Бутылка Клейна и поверхность Кипенского».

  Иллюстрации на доске в 3D

Бутылка Клейна

Бутылка Клейна — это определённая неориентируемая поверхность. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 г. немецким математиком Феликсом Христианом Клейном. Она тесно связана с лентой Мёбиуса. Если разрезать бутылку Клейна пополам вдоль её оси симметрии, то результатом будет лента Мёбиуса. В отличие от обычной бутылки, бутылка Клейна не имеет края, а её поверхность нельзя разделить на внутреннюю и наружную. Та поверхность, которая кажется наружной, непрерывно переходит в ту, которая кажется внутренней, как переходят друг в друга две, на первый взгляд различные поверхности.

Поверхность Кипенского

Поверхность Кипенского получается из трёх цилиндрических полосок бумаги, склеенных последовательно друг с другом. То, что поверхность односторонняя, видно из среднего рисунка, обход по синей линии возвращает к этой точке с другой стороны бумаги, хотя линия не переходит через край.

 

Презентация . «Мёбиус в архитектуре, искусстве, технике»

Фокусы Мёбиуса.

1.Завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов.

 

Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде «трехлистного» узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

2.Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.

Подведение итогов.

После этих занятий обучающиеся видят, что эта «сложная» наука может быть увлекательной и удивительной!! Математика ‒ замечательный предмет для удивления.

Топология ‒ это «молодая» и озорная наука. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. Его интересуют общие свойства фигур, которые не изменяются ни при каких преобразованиях, деформациях. Поэтому иногда топологию называют «геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия», потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично. А для Лобачевского ‒ нет…

Но это наша следующая встреча…

Источники:

М. Гарднер «Математические чудеса и тайны», «Наука» 1978 г.

Б.А. Кордемский «Топологические опыты своими руками», научно-популярный журнал «Квант» 1974 г.

http://www.vlink.ru/~v-design/mebius.htm.

http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса