Исследовательская работа «Лист Мебиуса»

Лист Мёбиуса – желтая страница,

Односторонний сказочный маршрут,

Летит метелью, песенкой, синицей,

Бульварной лентой, склеенный лоскут.

Эх, Мёбиус, спасибо за науку!

Поверхность одинокой стороны

Подобна закольцованному звуку,

Вибрацией неоновой струны.

Тема исследовательской работы: «Волшебный лист Мёбиуса»

Цель собственного исследования: показать, что в математике много увлекательного и интересного. Найти подтверждение применения ленты Мёбиуса в современном мире.

Для достижения данной цели я поставила перед собой следующие задачи: Познакомиться с понятием топологии; Познакомиться с биографией Мебиуса и с историей его замечательного открытия; Описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления; Изучить и исследовать свойства листа Мебиуса; Установить области применения листа Мебиуса; Создать презентацию в Microsoft Power Point.

Гипотеза исследования: что такое «Лист Мебиуса?».

Объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности.

Предмет исследования: свойства листа Мёбиуса.

Методы исследования: эксперимент, моделирование, анализ.

Актуальность: Топология является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии. Топология изучает свойства фигур, которые не изменяются при деформациях (растяжении, сжатии), не допускающих разрывов и склеивания.

Одним из объектов топологии является лист Мёбиуса. В школьном курсе топологические объекты не изучаются. Я впервые узнала о листе Мёбиуса на внеклассном мероприятии по математике. У меня появились некоторые представления о листе Мёбиуса, я заинтересовалась этим и решила расширить свои знания об этом удивительном геометрическом объекте.

Новизна работы заключается в том, что учащиеся нашей школы выявлением свойств листа Мёбиуса ранее не занимались. Я провела анкетирование и из анкеты видно, что многие не слышали об этом листе ничего и не знают о его свойствах.

Вид проекта – информационно-исследовательский.

Готовый продукт –альбом, мультимедийная презентация.

Методы исследования: поисковый; аналитический; экспериментальный; описательный

Исследовательский проект по содержанию является монопредметным (математика), по стилю исполнения межпредметным (математика, информатика).

Итак, мы предлагаем вам совершить маленькое путешествие в удивительное открытие и найти неожиданное и даже таинственное для себя.

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: «лента Мёбиуса») придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Карла Гаусса. Мебиус был одним из крупнейших геометров XIXвека. В 1858 году лейпцигский профессор послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе.. Семь лет он дожидался ответа, и, не дождавшись, опубликовал результаты. Что же это за открытие? Односторонние поверхности. Одна из них, впоследствии, была названа его именем – лист Мёбиуса. А подтолкнуло его к этому открытию то ли созерцание лихо завязанного шарфика его домоправительницы, то ли неправильно сшитая служанкой ленточка.

(Слайд 4) Одновременно с Мёбиусом изобрел этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг (1808 – 1882), профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, – в 1862 году.

Что же поразило этих двух немецких профессоров? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело, – две стороны.

У любого тонкого объекта, такого как лист бумаги, кусок ткани, доска или пластинка, как правило, две поверхности: наружная и внутренняя. Может ли у листа бумаги быть только одна поверхность? «Может!». И таким листом является лист Мёбиуса.

Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. 

Изучая литературу, мы поняли, что открытие листа Мёбиуса дало толчок развитию нового раздела геометрии-топологии. Топология (по-другому: «геометрия положения» или «резиновая геометрия») - это раздел геометрии, изучающий свойства таких фигур, которые не изменяются при деформациях, не допускающих разрывов и склеивания. С точки зрения топологии кружка и бублик неотличимы. Круг, эллипс, квадрат и треугольник обладают одинаковыми свойствами и являются одной и той же фигурой. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверх­ность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии? Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, мы провели несколько опытов.

Лист Мёбиуса – это бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол-оборота (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом.

Опыт 1: Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку. Вывод: Непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.

Опыт 2: ЗАКРАСИМ ТОЛЬКО ОДНУ СТОРОНУ КОЛЕЦ. ВЫВОД ДВУХ ОПЫТОВ: ПОВЕРХНОСТЬ ЛИСТА Мёбиуса односторонняя.

Лист оказался закрашенным полностью! А ведь мы его даже не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Лист Мёбиуса имеет одну поверхность. «Внешняя» и «внутренняя» стороны как бы по ходу движения вдоль ленты переходят друг в друга.

Опыт 3: Закрасим непрерывной линией только один край колец. Вывод: у листа Мёбиуса не только одна сторона, но также и один край.

Опыт 4: На внутренней поверхности стоит некто х, а по внешней идёт в любую сторону некто у. Вывод: поверхность листа непрерывная и односторонняя.

Опыт 5: Разрежем кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям. Вывод: при подобном разрезании лист Мёбиуса утратил свойство непрерывности.

Опыт 6:Разрежем кольцо вдоль, отступив от края 1/3 ширины кольца. Вывод: непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца (не лист Мёбиуса), по всей поверхности маленького кольца будет проходить линия с двух сторон (Лист Мёбиуса).

Опыт 7:Возьмём кольца и разрежем пополам вдоль.

Вывод: Лист Мёбиуса, как и любая топологическая фигура, не меняет своих свойств, пока её не разрезают, не разрывают или не склеивают другие куски. Исследовать эту удивительную (и тем не менее совершенно реальную) одностороннюю поверхность можно и дальше. Вы можете попробовать. Это очень успокаивает расстроенные трудными уроками нервы. Что может быть полезнее Чистого Знания?

Применение листа Мебиуса:

Лента Мёбиуса и знак бесконечности. Считают, что лист Мёбиуса является прародителем символа бесконечности.

Лента Мебиуса и бутылка Клейна. Близкой односторонней поверхностью является бутылка Клейна

Искусство и технология: а) Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. б) Чудесные свойства ленты тут же породили множество научных трудов, изобретений, а также многочисленных фантастических рассказов.

Есть гипотеза, что спираль ДНК человека сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса.

Лента Мёбиуса в скульптуре представлена в различных вариантах: от традиционных до самых невероятных…: Данная скульптура составлена из множества консервных банок; Литография с муравьями принадлежит известному голландскому художнику Морису Эшеру; Лист Мёбиуса и шар.

Монумент у здания Президиума Национальной академии наук В Минске

Памятник ленте Мёбиуса в Москве

Лист Мебиуса в технике: Подшипник в виде ленты Мебиуса для увеличения срока работы; Ремень передачи

Вывод: Лист Мёбиус можно получить простым способом, и он действительно необыкновенный. В этом я убедилась, проводя анализ результатов опытов с обычным кольцом и перекрученным листом. Свойства листа многообразны. Они получены мной в результате эксперимента и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

Заключение: Мною была изучена большая разнообразная информация. Все поставленные задачи были выполнены. Предположение, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, подтвердилось. Используя источники сети Интернет, я обратила внимание на широкое применение Листа Мёбиуса. Я сумела получить интересный математический материал. В ходе работы я создала мультимедийную презентацию, в которую включены иллюстративные материалы о Листе Мёбиуса. Своими результатами исследования о листе Мёбиуса я поделилась со своими одноклассниками и думаю, что это их заинтересовало. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной кружковой работе.