Логические задачи в ЕГЭ

a2-в2=(a-в)(a+в) (a-в)2=a2-2aв+в2 (a+в)2=a2+2aв+в2 (a+в)3=a3+3a2в+3aв2+в3 Логические задачи в ЕГЭ (разбор прототипов задач №20 ЕГЭ базового уровня) Учитель математики МОБУ «СОШ №33 г.Якутска» Арылахова Нюргуяна Иннокентьевна

Задача № 20 Задача №20 — это олимпиадная задача для 5-6 классов, при решении которых не существует определенного алгоритма и которая подразумевает нестандартный подход к решению. Это могут быть задачи на смекалку, на логику, в которых чаще всего необходимо внимательно вчитаться в условие и упростить его (либо уменьшить количество числовых данных, либо решить «с конца», либо использовать метод перебора и т.д.). При решении таких задач особенно полезным будет умение переходить от общего к частному и наоборот, а также умение составлять математические модели и визуализировать условие задачи графически.  Типы задач: Задачи на разрезы и распилы Элементарные комбинаторные задачи Простейшие задачи на применение арифметической прогрессии Задачи, проверяющие умение составлять математические модели и решать уравнения, неравенства и их системы

1) Бревно распилили на 7 частей. Сколько распилов сделали? 2) Бублик режут на сектора. Сделали 5 разрезов. Сколько получилось кусков? Ответ: 6 Ответ: 5

Задача №6069 (www.mathege.ru) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым – 7 кусков, если по зелёным – 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Красных линий - 4 Желтых линий - 6 Зеленых линий - 10 Всего линий: 4 + 6 + 10 = 20 Всего кусков: 20 + 1 = 21 Ответ: 21

Задача № 5096625 (http://mathb.reshuege.ru/) На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.

Задача № 5096625 (http://mathb.reshuege.ru/) 1 параллель – 2 части 2 параллели – 3 части 3 параллели – 4 части …………………………. 12 параллелей – 13 частей

Задача № 5096625 (http://mathb.reshuege.ru/) 1 меридиана – 1 часть 2 меридиана – 2 части 3 меридиана – 3 части …………………………. 22 меридианы – 22 части

Задача № 5096625 (http://mathb.reshuege.ru/) 12 параллелей – 13 частей 22 меридианы – 22 части 1 меридиана: 1∙ 13 = 13 частей …………………………. 2 меридианы: 2∙13 = 26 частей 3 меридианы: 3∙13 = 39 частей 22 меридианы: 22∙13 = 286 частей Ответ: 286

Задача №506523 (http://mathb.reshuege.ru/) Улитка за день заползает вверх по дереву на 4м, а за ночь спускается на 3м. Высота дерева 10м. Через сколько дней улитка впервые окажется на вершине дерева?

Задача №506523 (http://mathb.reshuege.ru/) Ответ: 7 Проследим на какую максимальную высоту поднимается улитка за сутки: 1д – 4м 2д– 5м 3д – 6м 4д – 7м 5д – 8м 6д – 9м 7д – 10м

Задача №507079 (http://mathb.reshuege.ru/) В результате паводка котлован заполнился водой до уровня 2 метра. Строительная помпа непрерывно откачивает воду, понижая её уровень на 20 см в час. Подпочвенные воды, наоборот, повышают уровень воды в котловане на 5 см в час. За сколько часов работы помпы уровень воды в котловане опустится до 80 см?

Задача №507079 (http://mathb.reshuege.ru/) Ответ: 8 Нужно скачать: 200 – 80 = 120 см воды 120 : 15 = 8 часов 200 80 120 За 1 час откачивается: 20 – 5 =15 см воды 20 см 15 см

Задача №507077 (http://mathb.reshuege.ru/) В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью. Ответ: 18 Для того чтобы наполнить водой 38-ми литровый бак, 8-ми литровым ведром с водой, нужно, чтобы в баке было 30 литров воды. В конце каждого часа бак наполняется на 8 – 3 = 5 литров воды 30 литров воды в баке будет через 30 : 5 = 6 часов Значит в 18 часов к 30 литрам воды нальем 8 литров и получим 38 литров воды в баке. 30л 5л через 6 часов 8л

Задача №506343 (http://mathb.reshuege.ru/) В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год? Ответ: 360 10 ∙ 5 + 25 ∙ 2 + 40 ∙ 2 + 55 ∙ 2 +70 = 360 Янв Фев Мар Апр Май Июн Июл Авг Сен Окт Ноя Дек 10 10 10 10 25 40 55 70 55 40 25 10

Задача №509725 (http://mathb.reshuege.ru/) В классе учится 25 учащихся. Несколько из них ходили в кино, 18 человек ходили в театр, причём и в кино, и в театр ходили 12 человек. Известно, что трое не ходили ни в кино, ни в театр. Сколько человек из класса ходили в кино? Ответ: 16 25 – (18 + 3) = 4 учащихся сходили только в кино 12 + 4 = 16 учащихся сходили в кино Весь класс - 25 Кино Театр 12 6 3 4

Задача №507075 (http://mathb.reshuege.ru/) Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток? Ответ: 2 Среди любых десяти подряд идущих чисел найдется число которое делится на 7. Значит остаток от деления их произведения равен 0. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 7? Достаточно взять два числа, одно из которых кратно семи. Ответ: 0 Пример: (8 ∙ 9 ∙ 10 ∙ 11 ∙ 12 ∙ 13 ∙ 14 ∙ 15 ∙ 16 ∙ 17) : 7 Пример: (21 ∙ 22) : 7 Задача №507078 (http://mathb.reshuege.ru/)

Задача №5960 (www.mathege.ru) Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 5 прыжков, начиная прыгать из начала координат? Ответ: 6

Задача № 506313 (http://mathb.reshuege.ru/) Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд бактерии заполняют половину стакана? За 1 час (3600 сек) – стакан заполнен полностью 3600 – 1 = 3599 – стакан заполнен на половину Рассмотрим задачу с конца Ответ: 3599

Задача №507080 (http://mathb.reshuege.ru/) В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? Каждому виду салата можно предложить 3 вида первых блюд. Так как салатов 6 видов, то всего вариантов будет: 6 ∙ 3=18 С С С С С С 6 видов салатов П П П 3 вида первых блюд С С С П П П

С Задача №507080 (http://mathb.reshuege.ru/) В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? С С С С С С 18 видов набора салата и первого блюда П 5 видов вторых блюд С С С С С С С С П С С С П П П П П П П П П П П П П П П П Каждому виду набора салата и первого блюда можно предложить 5 видов второго блюда. Так как наборов салата и первого блюда 18 видов, то всего вариантов будет: 18 ∙ 5 = 90 В В В В В С П В С П С П С П С П В В В В

Задача №507080 (http://mathb.reshuege.ru/) В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана? 6 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 4 =360 Ответ: 360 Каждому виду набора салата, первого блюда и второго блюда можно предложить 4 вида десерта. Так как наборов салата, первого блюда и второго блюда 90 видов, то всего вариантов будет: 90 ∙ 4 = 360 С П В С П С П С П С П В В В В С П В С П С П С П С П В В В В С П В С П С П С П С П В В В В С П В С П С П С П С П В В В В 90 видов набора салата, первого блюда и второго блюда Д Д Д Д 4 вида десерта С П В Д С П В С П В С П В Д Д Д

Задача №511016 (http://mathb.reshuege.ru/) Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника. Ответ: 12 28 + х = 24 + 16 х = 24 + 16 – 28 х = 12 24 28 16 х

Авторское Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 21. Найдите площадь четвёртого прямоугольника. Ответ: 18 28 ∙ х = 24 ∙ 21 х = ( 24 ∙ 21 ) / 28 х = 18 24 28 21 х

Задача №506523 (http://mathb.reshuege.ru/) На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B – 50км, между A и C – 40км, между C и D – 25км, между D и A – 35км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.

Задача №506523 (http://mathb.reshuege.ru/) AB = 50км AC = 40км CD = 25км DA = 35км A C D B 40 25 35 D 35 BC = AB – AC BC = 50 – 40 = 10 км Ответ: 10 50

Задача №509227 (http://mathb.reshuege.ru/) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций: • за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную; • за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную. У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10 10с = 6з + 2м 6з = 9с + 3м 10с = 9с + 3м + 2м 1с = 5м 50м = 10с

Задача №510736 (http://mathb.reshuege.ru/) Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся? Ответ: 16 Пусть х – количество правильных ответов у – количество неправильных ответов х + у ≤ 25 7х – 10у = 42 у ≥ 1 7х = 10у + 42 (10у + 42) / 7 без остатка у = 7, у = 14, у = 21 у = 7: 7х = 10у + 42 = 10∙7 + 42 = 112, х=16 у = 14: 7х = 10у + 42 = 10∙14 + 42 = 182, х=26 – не подходит 10у / 7 без остатка

Задача №518615 (http://mathb.reshuege.ru/) На ленте по разные стороны от её середины отмечены две тонкие поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по красной полоске, то одна часть будет на 25 см длиннее другой. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет на 5 см длиннее другой. Найдите расстояние (в сантиметрах) между красной и синей полосками. Ответ: 15 Пусть х – расстояние от начала ленты до синей полоски х у – расстояние от синей полоски до красной полоски z – расстояние от красной полоски до конца ленты у z              

Задача №509665 (http://mathb.reshuege.ru/) В корзине лежат 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? Ответ: 27 Единственное решение: 27 груздей + 23 рыжика = 50 грибов В любом другом случае условие задачи не выполняется Среди любых 28 грибов максимально может быть 27 груздей Среди любых 24 грибов максимально может быть 23 рыжика

Задача №507081 (http://mathb.reshuege.ru/) Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего дня бурильщики проходят 300 метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заливается», то есть заполняется грунтом на 30 метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти? 3000 300 2700 Ответ: 11 3000 – 300 = 2700 м 2700 метров: 2700 : 270 = 10 суток За сутки: 300 – 30 =270 м 10 + 1 = 11 дней

Задача №509725 (http://mathb.reshuege.ru/) Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут. Ответ: 8,5 50 + 65 + 80 + 95 = 290 минут 10 минут 60 + 50 + 40 + 30 + 20 + 10 = 210 минут 290 + 10 + 210 = 510 минут 510 : 60 = 8,5 часов