Буханова Елена Германовна

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВИРУСНОЙ ИНФЕКЦИИ В УСЛОВИЯХ ЭПИДЕМИИ.

Материал опубликован 13 December 2021

Работу выполнил: М.А.Ларькин

Студент факультета строительного направления

ГАПОУ»Перевозский строительный колледж»

г. Перевоз, Нижегородской области

Научный руководитель: Е.Г.Буханова

Преподаватель высшей категории

ГАПОУ»Перевозский строительный колледж»

г. Перевоз, Нижегородской области

Перевоз 2021

Оглавление.

Введение 3

Глава 1. Модели распространения инфекции. 5

§1 МОДЕЛЬ SIR 5

§2 МОДЕЛЬ SEIR 6

§3 МОДЕЛЬ SIS 7

§4 МОДЕЛЬ MSEIR 7

§5 Пример моделирования эпидемий с помощью симулятора 9

Глава 2. Модель распространения COVID-19 на территории России 10

§1 COVID-19 – информация, данные о вирусе для создания математической модели 10

§2 Использование модели SEIR.

Исследование и прогнозирование поведения COVID-19 11

Заключение 15

Список источников 16

Введение

Я выбрал данную тему, т.к. хочу изучить механизм развития инфекционных заболеваний и предсказывать возможные исходы эпидемий.

Цель: построить математическую модель эпидемиологической распространенности, иммунных реакций, социальных процессов для исследования болезни и условий для её предотвращения, выработка методов борьбы и вывод исходя из результатов.

Задачи:

Исследовать теоретический материал

Выбрать одну из моделей для прогнозирования развития COVID-19

Изучить полученные результаты

Сделать Вывод

Вирус (лат. Virus – яд) — это микроскопический внутриклеточный паразит, живущий и размножающийся внутри другого живого организма (в т.ч человеке). Несмотря на это, вирусы имеют примитивное строение: одна ДНК или РНК, окруженная оболочкой.

Эпидемия - это постепенное распространение инфекционного заболевания среди людей во времени и пространстве, которое значительно превышает уровень заболеваемости, обычно регистрируемый в той или иной местности, и может вызвать чрезвычайную ситуацию.
Борьба с эпидемиями как со стихийным бедствием была и остается сложной задачей. Несмотря на все существующие меры по предотвращению распространения болезней, число жертв инфекции можно оценить в миллионы человек, и каждая новая вспышка может существенно отличаться от своих предшественников. Влияние на течение эпидемии оказывают климатические и погодные условия, географическое положение региона, а также условия проживания населения.

Эпидемиологический процесс - это непрерывное распространение инфекционного заболевания, которое происходит при соблюдении трех условий:

Наличие источника инфекции.

Передаточный механизм

Люди склонные к заражению.

Отсутствие хотя бы одного из этих случаев нарушает цепочку эпидемиологического процесса и останавливает передачу заболевания.
В то же время на возникновение эпидемии и характер ее течения влияют также природные условия (наличие природных очагов инфекции), социальные факторы и состояние системы здравоохранения.

Распространение эпидемий происходит через определенные механизмы передачи возбудителя от источника инфекции к чувствительному организму.

Любое инфекционное заболевание характеризуется собственным механизмом передачи, который сформировался в результате развития. В зависимости от локализации и размножения возбудителя в пораженном организме, а также факторов передачи выделяют четыре основных механизма:

Аэрозольный;

Фекально-оральный;

Трансмиссивный;

Контактный.

Естественный конец эпидемии наступает тогда, когда все восприимчивые люди заражаются и приобретают иммунитет. Положить конец эпидемии можно с помощью различных методов контроля, нацеленных на все звенья эпидемического процесса. Например, составляя математическую модель для прогноза и выработке методов борьбы с заболеваниями.

Существует несколько математических моделей распространения инфекций.

Глава 1. Модели распространения инфекции.

§1 МОДЕЛЬ SIR.

SIR – широко применяемая на сегодняшний день модель, разработанная британскими учеными Андерсоном Маккендриком и Ульямом Кермаком.

SIR, что означает Susceptible – Infected – Recovered, «Восприимчивые — Зараженные — Выздоровевшие».

SIR-модель популярна из-за своей простоты построения.

Система уравнения SIR:

Г
де:
S (t) - число лиц, восприимчивых к заражению в момент t;
I (t) - число зараженных в момент времени t;
R (t) - количество выздоровевших в момент времени t;
β-коэффициент интенсивности контактов лиц с последующим заражением;
γ - это коэффициент выздоровления зараженных лиц.
Первое уравнение означает, что количество здоровых людей уменьшается со временем пропорционально количеству контактов зараженных.
Второе уравнение показывает, что число инфицированных людей увеличивается пропорционально числу контактов здоровых и инфицированных, и уменьшается с восстановлением последних.
Третье уравнение показывает, что число выздоровевших людей в единицу времени пропорционально числу инфицированных. Другими словами, через некоторое время состояние каждого пациента должно улучшиться.

К
расный график - это интенсивность эпидемии, он показывает количество одновременно болеющих людей, и определяется параметром:

Этот параметр имеет название - «базовый коэффициент воспроизведения».

Со временем модель SIR начала подразделяться на следующие модели:

SIRS - "восприимчивые-зараженные-выздоровевшие-восприимчивые": модель распространения заболеваний с временным иммунитетом (выздоровевшие люди могут снова стать восприимчивыми к инфекции);

SEIR - "восприимчивые-подвергшиеся заражению-зараженные-выздоровевшие": модель распространения заболеваний в инкубационном периоде;

SIS - "восприимчивые-зараженные-восприимчивые": модель распространения заболевания, против которого не развивается иммунитет;

MSEIR – "имеющие иммунитет с рождения-восприимчивые-контактировавшие-зараженные-выздоровевшие": модель, которая учитывает иммунитет детей, приобретенный ими внутри утроба матери.

§2 МОДЕЛЬ SEIR.

Это та модель, по которой определяют опасные эпидемии, так как инкубационный период может помешать вовремя выявить заболевание. В этом случае существует риск того, что болезнь к этому времени распространится на большое количество людей.

Р
азвитие инфекции происходит по типу "восприимчивый" – "подвергшийся заражению" - "зараженный" – "вылеченный" и записывается уравнениями:

Где:
μ-коэффициент смертности;

α является обратной величиной среднего инкубационного периода заболевания;

E (t) – это количество людей, имеющих патоген в момент времени t.
Как и в SIR модели, первое уравнение означает, что количество здоровых людей уменьшается со временем пропорционально количеству контактов зараженных.
Второе уравнение представляет собой задержку перехода из состояния подвергнувшегося заражению в состояние зараженного. Это происходит через период времени, равный инкубационному периоду заболевания.
Третье уравнение означает переход из состояния "подвергнувшегося заражению" в "зараженное".

Ч
етвертое уравнение описыввет, что число людей, вылеченных за единицу времени, пропорционально числу зараженных. В то же время в каждом конкретном случае индивид может умереть, что учитывает параметр μ в каждом уравнении.

Тяжесть эпидемии характеризует базовый коэффициент воспроизведения:

§3 МОДЕЛЬ SIS.

Модель ''Восприимчивые-зараженные-воспиимчивые'' применима при исследовании распространения инфекций, против которых иммунитет не развивается, таких как ОРВИ и грипп. Она записывается нижеуказанными уравнениями:

Вместе эти уравнения означают, что число здоровых и зараженных людей в целом не меняется, а число контактов зараженных и здоровых людей пропорционально числу заражений.

Второе уравнение показывает динамику числа случаев в единицу времени, которое соответственно числу заражений отнимая число выздоровлений.

Пример графика развития инфекции в SIS модели:

Синяя линия - это число людей, подвергшихся заражению, а красная - число людей, инфицированных в настоящее время.

§4 МОДЕЛЬ MSEIR.

Это модель, учитывающая инфекцию с инкубационным периодом и иммунитетом детей, приобретенным в утробе матери, является одной из самых сложных для исследования из-за наличия большого количества независимых параметров. Уравнения для этой модели следующие:

Эти уравнения отличаются от ранее изученных моделей тем, что имеет ввиду рождение детей с иммунитетом, вероятность заражения со временем возрастает по мере потери ими приобретенного иммунитета в утробе матери. Эти зависимости были представлены в первых двух уравнениях.

Приобретенный иммунитет в утробе матери может быть не у всех рожденных детей, но вакцинация может до 100% младенцев. Введение этого параметра в математическую модель приводит к более точному изменению графика развития эпидемии.

Уравнения для данной модели:

Где Р-отношение привитых младенцев, при 0 < Р < 1.

Представления формируются с учетом того, что шанс инфицирования вакцинированных детей равняется 0, а значит, шанс инфицирования равен шансу, что ребенок не вакцинирован, а значит, равна 1-P.

Последнее уравнение берет в расчет смерти от других причин и позволяет рассчитать общую численность населения.

§5 Пример моделирования эпидемий с помощью симулятора.

Пример создан с помощью симулятора ''Epidemic Simulator'', созданного канадским исследователем Беном Бэбкуком.

Например, давайте построим симулятор, используя следующие параметры:

На сетке размером 20 × 20 помещают 100 особей (заполнение 25%);

Люди двигаются на каждом шагу с вероятностью 80%, если здоровый человек вступает в контакт с зараженным человеком, заражение происходит с вероятностью 50%;

Инфекция длится 6 дней, в течение которых организм может погибнуть с вероятностью 50% или полностью восстановиться с приобретением иммунитета;

В начале эпидемии мы предполагаем, что 5% живых организмов заражены, а еще 5% имеют иммунитет;

Один шаг = одному дню.

Используя моделирование, мы можем видеть, что 49 организмов из 100 погибнут в результате 29-дневной эпидемии.

Глава 2. Модель распространения COVID-19 на территории России.

Нашей главной проблемой становится то, что COVID-19 появился сравнительно недавно и он не до конца изучен. К тому же очень много различных факторов из-за которых очень сложно построить точную математическую модель развития этой инфекции

§1 COVID-19 – информация, данные о вирусе для создания математической модели.

Коронавирусы — это большое семейство вирусов, содержащих РНК, которые могут заражать людей и некоторых животных.
COVID-19 - это острая респираторная инфекция, вызванная коронавирусом SARS-CoV-2 (2019-nCoV). Это серьезное заболевание, которое может протекать как в виде острой респираторной вирусной инфекции легкого течения, так и в тяжелой форме. Вирус может заразить различные органы путем прямой инфекции или через иммунную реакцию организма.
Этот вирус способен воздействовать на легочную систему и вызывает прогрессирующие заболевания нижних дыхательных путей, пневмонию и ряд других осложнений.

Наиболее тяжелые формы, вероятно, развиваются у пожилых пациентов с сопутствующими заболеваниями:

Диабет,

Артериальная гипертензия,

Другие сердечно-сосудистые заболевания.

Для моделирования динамики эпидемии COVID-19 в данном исследовании мы использовали следующие данные:

Вероятность передачи инфекции при непосредственном контакте с людьми;

Продолжительность инкубационного периода, пациентов с COVID-19;

Время, необходимое для лечения заболевания после консультации с врачом;

Частота контактов с людьми по одному человеку в день.

Инкубационный период — это разница между первым заражением COVID-19 и временем появления симптомов, а время, необходимое для лечения болезни, - это разница между время диагностики и выздоровления COVID - 19.
Из-за отсутствия данных о вероятности заражения COVID-19 через
контакт с человеком, это исследование примерно подсчитывает возможное количество подтвержденных случаев COVID-19 в стране и количество людей тесно взаимодействующих с носителями вируса в государстве.
Предполагалось, что люди, которые не были идентифицированы с этим вирусом ежедневно взаимодействуют с 5, 10 и 15 людьми соответственно, что позволяет нам предоставить влияние различных уровней прямого контакта на развитие эпидемии COVID-19.

§2 Использование модели SEIR. Исследование и прогнозирование поведения COVID-19.

Модель SEIR (sensitive - exposed - infected - recovered) включает период инкубации патогена. Данная модель была использована для
исследования вспышки COVID-19 и прогноза в Китае и странах Европы. Я использую модифицированную модель SEIR с обособленным временем, описываемое уравнениями:

Здесь S (t), I (t), R (t) имеют то же значение, что и в модели SIR, а E (t)
Количество инфицированных людей с патогеном в инкубационном периоде. Общее количество граждан страны N = S (t) + E (t) + I (t) + R (t), являются постоянными. У SEIR модели присутствуют два параметра, значения которых могут быть взяты из актуальных данных об эпидемиологической обстановке: γ, β. Параметр γ>0 представляет интенсивность выздоровления и смертей, параметр β> 0 соответствует частоте инфицирования среди лиц, подвергшихся заражению во время контакта с зараженными или латентными. Коэффициент σ> 0 определяет время инкубационного периода, при котором появляются первые симптомы у людей, находящихся в этом периоде. Величина σ соответственна средней длительности периода инкубации COVID-19: σ = 1/7.

Число pC > 0 соответствует количеству контактов на 1 человека в день для зараженных I(t) (предположительно, люди с симптомами находятся в карантине), то число Rt> pC - количество контактов на человека в сутки для тех, кто находится в латентном периоде E (t).Параметры Pc и Rt могут измениться, если люди соблюдают социальную дистанцию (находятся в карантине). Так же это зависит от плотности населения.

Важная особенность пандемии COVID-19, как и у предыдущих
пандемий - это большая разница между фактическим количеством инфицированных людей и числом зараженных. Это связано с большим присутствием инфицированных бессимптомно, с невозможностью сделать
полное тестирование населения, а также с неточными и недостаточно технологичными тестами. Статистика по Европе и Соединенным Штатам говорит, что процент незафиксированных случаев может варьироваться от 40% до 90%. Обозначим через α отношение к общему числу инфицированных
Количество зафиксированных зараженных. Учитывая неопределенность α и трудность определения α, мы сделаем расчеты для него α = 52 и α = 10.

Сначала рассмотрим случай когда α = 5. В результате оценки параметров
Модель SEIR через МНК, по данным с 10 марта по 20 апреля, получаем:

β = 0.027 ، γ = 0.017.

Продолжая, я возьму значения остальных параметров в качестве основных: σ = 1/7; pC = 2, r = 10.

Эти значения соответствуют режиму изоляции введенному на том момент. Начальные условия S (t), I (t), E (t), R (t) при t = 0 также задаются по тому же подобию, с использованием соотношения:

E (t) = (I (t + 1) - (1 - γ) I (t) / σ, S (0) = N

I (t) = α (I (t) - D (t) - H (t)

R (t) = D (t) + ah(t).

Данные о количестве инфицированных I (t), количестве выздоровевших H (t) и количестве умерших D (t), взяты из доверенных источников. Результаты калибровки показаны на рис(1).

Рис.1

Они показывают хорошую точность приближенную к реальным данным по модели.

Результаты 120-дневного прогнозирования предоставлены моделью на рис.2.

рис.2а СЕИР рис.2б СЕИР

Рис. 2а (слева) результаты прогнозирования на период с 20 апр. по 18 авг. 2020 г., основанные на данных с 10.03.2020 по 20.04.2020. На графике синяя кривая соответствуют процессу S (t), желтая кривая — процессу E (t), а красная кривая — процессу I (T) и фиолетовая — это R (T). Замечаем, что пик эпидемии должен наступить на сороковой день — 30 мая 2020 года.

Для сравнивания, на рис.2б видны результаты прогноза модели,
прогноз был построен по данным с 10 мар. по 15 апр. Эту модель можно было построить используя меньше данных. Но при этом она должна обладать меньшей предсказательной силой. Однако на графике видно, что такая "устаревшая" модель не позволяет точно предсказать пик заболеваемости, на сорок пятый день или опять же 30 мая.

рис.3 рис.4

На рис. 3 показан схожий прогноз для более строгой карантинной системы ( pC = 1.5, r = 7.5). На рис.4 показан наиболее строгий прогноз карантинной системы ( ПК = 1, y = 5). Таким образом, как свидетельствуют диаграммы на рис. 2-4, при обычном карантинном режиме пик заболеваемости проходит на сороковой день — 30 мая. При строгом режиме — 60-й день — 10 июн., а при крайне строгом на сотый день — 20 июл. 2020 года. Можно также отметить, что более строгий режим влечет за собой снижение пика заболеваемости: стандартная система — количество случаев может достигать 50 миллионов, под строгой карантинной системой, пиковое значение падает до 20 миллионов и при очень строгом карантинном режиме становится меньше 10 миллионов. В то же время процент документированных случаев все еще в несколько раз ниже.

рис.5

Обратимся к рассмотрению случая α = 10. Модель была откалибрована аналогично случаю α = 5. Итоги калибровки показаны на рисунке 5.

График показывает хорошую точность приближения к реальным данным моделью везде, кроме начального участка.

Результаты прогноза видны на 120 дней за период с 20 апр. по 18 авг. 2020 г.

Согласно модели, на рис. 6 на графике видно, что прогноз даты достижения максимального количества зараженных приходятся на 23-24 мая.

рис.6 рис.7

На рис. 7 виден схожий прогноз для улучшенной карантинной системы ( pC = 1.5, r = 7.5), а на рис.8 — прогноз для карантинного режима "очень строгий" ( pC = 1, r = 5). Видно, что изменение значений α от α = 5 до α = 10 мало.

Заключение

В данном проекте представлены результаты создания математической модели распространения инфекции в условиях эпидемии, вызванного коронавирусом COVID-19 на основе статистических данных о появлении в России с 10 марта по 20 апреля 2020 г.

Для рассмотрения была взята модель SEIR. Параметры модели брались на основе опубликованных статистических данных. Варианты диагностики развития инфекции в России за 120 дней при изменении коэффициента режимов социальной дистанции соответствуют разным закономерностям изоляции населения (карантина) и коэффициенту α, определяющему процент недокументированных случаев заражения.

Расчеты показывают, что SEIR модель может использоваться в условиях ограниченных размеров, надежности и при недостатке статистических данных. Они дают не только качественные, но и количественные прогнозы распространения инфекции. В частности, из расчетов следует, что максимальное число инфицированных в России наступит не позднее конца мая.

Результаты прогноза могут использоваться для оценки эффективности систем самоизоляции, определения оптимальной стратегии, к примеру, периодично усилять и ослаблять карантинные меры и т.д.

Следует отметить, что в промежуток времени с марта по апрель 2020 г. СМИ часто, со ссылкой на официальных лиц, выдвигали различные теории о времени "пика" или "плато" распространения вируса COVID-19 в России, оценки менялись в течение нескольких дней.

В середине апреля предполагалось начало "пика" в конце апреля, или в начале мая 2020 г., в конце апреля- начале мая, они предполагали пик в середине мая.

Тем не менее результаты прогноза для модели SEIR основаны на данных с 10 марта по 15 апреля. Они показывают, что такая "старая" модель не позволяет точно предсказать пик заболеваемости на 45-й день, или также в конец мая.

Желательно бы приложить допущения и общие рекомендации, опубликованные доказательства и расчеты, лежащие в основе этих указаний.

Источники ссылающиеся на использование ИИ в моделях без подробных объяснений вызывают скорее сомнение, чем доверие.

Следует также указать, что в расчетах был сделан ряд дополнительных допущений: считалось, что все население восприимчиво к вирусу, вирус не имеет сезонности и т. д. Огромная часть населения только изменяет скорость распространения болезни. По сути распространение вируса может быть ограничено некоторыми факторами, которые существуют в настоящее время. Неизвестное здесь не принимается во внимание.

Дальнейшие исследования должны быть проведены для моделей, учитывающих пространственную изменчивость и неполную восприимчивость населения к инфекции.

Список источников:

М34 Математические методы в экологии: Сборник задач и упражнений / Е.Е. Семенова, Е.В. Кудрявцева. Петрозаводск: Изд-во ПетрГУ, 2005. 130с.

http://www.library.biophys.msu.ru/LectMB/Lect04.htm

http://mathbio.ru/seminar/04.pdf

https://indsi.ru/2020/04/30/математическое-моделирование-проце/

https://coronavirus-monitor.info/country/russia/